Раздел 1-3. Материалы. Расчет по предельному состоянию I группы

Поскольку x₁ = 0,327 < x_R = 0,52, расчет ведем из условия (39) с учетом коэффициента g_s6, определяемого по формуле (41):

h = 1,2 (см. п. 3.7);

Высота сжатой зоны равна:

Тогда R_bbx(h₀ - 0,5x) + R_b(b'_f - b)h¢_f(h₀ - 0,5h¢_f) + R_scA¢_s(h₀ - а'_s) = 15,5×80×340(828 - 0,5×340) + 15,5×200×200(828 - 0,5×200) + 365×226(828 - 40) = 795×10⁶ Н×мм = 795 кН×м > M = 790 кН×м, т.е. прочность сечения обеспечена.

Пример 8. Дано: балка покрытия с размерами сечения - b'_f = 280 мм, h'_f = 200 мм, b = 80 мм, h = 900 мм, a = 90 мм, a¢_s = 40 мм; бетон тяжелый класса В35; напрягаемая арматура S из канатов класса К-7, диаметром 15 мм (R_s = 1080 МПа); ненапрягаемая арматура S' класса А-III (R_sc = 365 МПа), площадью сечения A¢_s = 226 мм² (2 Æ 12); изгибающие моменты: без учета нагрузки от подвесного транспорта M_I = 740 кН×м, с учетом нагрузки от подвесного транспорта M_II = 1000 кН×м.

Требуется определить площадь сечения напрягаемой арматуры S.

Расчет. Проверяем условие (19):

0,82M_II = 0,82×1000 = 820 кН×м > M_I = 740 кН×м, т.е. расчет ведем только по случаю «б» - на действие момента M = M_II = 1000 кН×м, принимая R_b = 21,5 МПа при g_b2 = 1,1;

h₀ = h - a = 900 - 90 = 810 мм.

Проверяем условие (44):

R_bb'_fh'_f(h₀ - 0,5h'_f) + R_scA¢_s(h₀ - a¢_s) = 21,5×280×200(810 - 0,5×200) + 365×226(810 - 40) = 918×10⁶ Н×мм = 918 кН×м < M = 1000 кН×м,

т.е. граница сжатой зоны проходит в ребре, и поэтому требуемую арматуру определяем согласно п. 3.15б.

По формуле (46) определяем значение a_m:

Из табл. 28 при a_m = 0,29 находим x = 0,35.

Из табл. 26 при g_b2 = 1,1, классе арматуры К-7, классе бетона В35 и (s_sp + Ds_sp)/R_s = 0,6 находим x_R = 0,38.

Так как x = 0,35 < x_R = 0,38, то сжатой арматуры поставлено достаточно, и площадь сечения арматуры S вычисляем по формуле (45).

Для этого, согласно п. 3.7, определим коэффициент g_s6.

Для арматуры класса К - 7 h = 1,15.

Тогда

Принимаем 10 Æ 15 (A_sp = 1416 мм²).

ЭЛЕМЕНТЫ, РАБОТАЮЩИЕ НА КОСОЙ ИЗГИБ 3.17. Расчет прямоугольных, тавровых, двутавровых и Г-образных сечений элементов, работающих на косой изгиб, допускается производить, принимая форму сжатой зоны по черт. 7; при этом должно удовлетворяться условие

M_x £ R_b[S_on,x + A_web(h₀ - x₁/3)] + R_scS_sx + s_scS_spx,                                 (47)

где M_x - составляющая изгибающего момента в плоскости оси x (за оси x и y принимаются две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через точку приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре, параллельно сторонам сечения; для сечения с полкой ось x принимается параллельно плоскости ребра);

A_web = A_b - A_on;            (48)

A_b  - площадь сжатой зоны бетона, равная:

                                      (49)

A_on - площадь сечения наиболее сжатого свеса полки;

x₁   - размер сжатой зоны бетона по наиболее сжатой стороне сечения, определяемый по формуле

                                                     (50)

здесь

                                         (51)

S_on,x - статический момент площади А_on в плоскости оси x относительно оси y;

S_on,y - то же, в плоскости оси y относительно оси x;

b₀ - расстояние от равнодействующей усилий в растянутой арматуре до наиболее сжатой боковой стороны сечения (грани ребра);

b  - угол наклона плоскости действия изгибающего момента к оси x, т.е. ctgb = M_x/M_y;

S_sx, S_spx  - статические моменты площади сечения соответственно ненапрягаемой и напрягаемой арматуры S' относительно оси y.

Черт. 7. Форма сжатой зоны в поперечном сечении железобетонного элемента, работающего на косой изгиб

а - таврового сечения; б - прямоугольного сечения; 1-1 - плоскость действия изгибающего момента; 2 - точка приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре

При расчете прямоугольных сечений значения A_on, S_on,x и S_on,y в формулах (47), (48) и (51) принимаются равными нулю.

Если A_b < A_on или если x < 0,2h¢_f, расчет производится как для прямоугольного сечения шириной b = b¢_f.

Если выполняется условие

                                                                (52)

где b_on - ширина наименее сжатого свеса полки,

расчет производится без учета косого изгиба, т.е. по формулам пп. 3.9 и 3.13 на действие момента M = M_x; при этом следует проверить условие (55), принимая х₁, как при косом изгибе.

Приведенную методику расчета следует применять, если относительная высота сжатой зоны, измеренная по нормали к границе сжатой зоны и определяемая по формуле (53), меньше или равна x_R (см. п. 3.6):

                                                      (53)

где b¢_on  - ширина наиболее сжатого свеса;

q  - угол наклона прямой, ограничивающей сжатую зону, к оси y, значение tgq определяется по формуле

tgq = x₁²/(2A_web);                                                            (54)

x₁ - для определения x₁ вычисляется по формуле (50) при g_s6 = 1,0.

Для проверки условия (47) коэффициент g_s6 в формуле (49) определяется, согласно п. 3.7, при значении x, принимаемом равным:

при отсутствии в сжатой зоне полки x = x₁;

при наличии в сжатой зоне полки x = (x₁ + x_R)/2.

Если выполняется условие

x₁ > x_R,                                                                   (55)

следует произвести повторный расчет с заменой для напрягаемой арматуры в формуле (49) значения g_s6R_s напряжением s_s, равным:

для арматуры с условным пределом текучести (см. п. 2.16):

при x £ x_el (где x_el - см. п. 3.18 или табл. 31)

                                               (56)

при x > x_el

                                           (57)

где          b - см. п. 3.18;

s_sc,u, w, s_sp - см. п. 3.6; значение w, а также выражение  можно находить по табл. 31;

для арматуры с физическим пределом текучести - по формуле (57).

При этом ненапрягаемую арматуру с физическим пределом текучести, если площадь ее сечения не превышает 0,2A_sp, допускается учитывать в формуле (49) с полным расчетным сопротивлением. При большей площади указанной ненапрягаемой арматуры, если x > x_R (где x_R определено для этой арматуры), в формуле (49) значение R_s для ненапрягаемой арматуры заменяется на напряжение s_s, определяемое по формуле (57).

Если выполняются условия (58) и (59), то расчет на косой изгиб производится по формулам общего случая расчета нормального сечения согласно п. 3.18:

для прямоугольных и тавровых сечений с полкой в сжатой зоне

x₁ > h;                                                                   (58)

для двутавровых и тавровых сечений с полкой в растянутой зоне

x₁ > h - h_f - b_on,ttgq,                                                        (59)

где h_f, b_on,t - высота и ширина наименее растянутого свеса полки (черт. 8).

Черт. 8. Двутавровое сечение со сжатой зоной, заходящей в наименее растянутый свес полки

1-1 - плоскость действия изгибающего момента

При использовании формул настоящего пункта за растянутую арматуру площадью A_sp и A_s рекомендуется принимать арматуру, располагаемую вблизи растянутой грани, параллельной оси y, а за сжатую арматуру площадью A'_sp и A'_s - арматуру, располагаемую вблизи сжатой грани, параллельной оси y, но по одну наиболее сжатую сторону от оси x (см. черт. 7).

Если арматура распределена по сечению, что не позволяет до расчета определить площади и центры тяжести сечений арматуры S и S', расчет также производится по формулам общего случая согласно п. 3.18.

При наличии ненапрягаемой арматуры с условным пределом текучести учитывается примечание к п. 3.3.

Примеры расчета Пример 9. Дано: железобетонный прогон кровли с уклоном 1:4; размеры сечения по черт. 9; класс бетона В25 (R_b = 13 МПа при g_b2 = 0,9); арматура S класса А-IV (R_s = 510 МПа) площадью сечению A_sp = 314,2 мм² (1 Æ 20); арматура S' класса А-III (R_sc = 365 МПа) площадью сечения A'_s = 226 мм² (2 Æ 12); предварительное напряжение арматуры при g_sp < 1 с учетом всех потерь s_sp = 306 МПа; натяжение арматуры - электротермическое.

Требуется определить предельный изгибающий момент в вертикальной плоскости.

Расчет ведем без учета стержня, расположенного в наименее сжатом свесе. Из черт. 9 имеем:

h₀ = h - а = 300 - 30 = 270 мм; b₀ = 110/2 = 55 мм;

b_on = b¢_on = 55 мм; h¢_f = 60 мм.

Черт. 9. К примеру расчета 9

1-1 - плоскость действия изгибающего момента

Определяем площадь сжатой зоны бетона по формуле (49), учитывая один стержень арматуры S', т.е. A¢_s = 113 мм² (1 Æ 12), и принимая g_s6 = 1:

Площадь сечения наиболее сжатого свеса и ее статические моменты относительно осей x и y соответственно равны:

A_оn = b'_onh'_f = 55×60 = 3300 мм²;

S_on,y = A_оn(b₀ + 0,5b'_on) = 3300(55 + 0,5×55) = 272000 мм³;

S_on,x = A_оn(h₀ - 0,5h'_f) = 3300(270 - 0,5×60) = 792000 мм³

Так как A_b > A_on, далее расчет производим как для таврового сечения:

A_web = A_b - A_on = 9154 - 3300 = 5854 мм².

Определяем размер сжатой зоны x₁ по формуле (50), принимая ctgb = 4:

Проверим условие (52):

следовательно, расчет продолжаем по формулам косого изгиба.

Определим значение x₁ по формуле (53), вычислив:

Поскольку натяжение арматуры электротермическое неавтоматизированное, принимаем, согласно п. 3.6, Ds_sp = 0.

Из табл. 26 и 31 при g_b2 = 0,9, классе арматуры А-IV, классе бетона В25 и при (s_sp + Ds_sp)/R_s = 306/510 = 0,6 находим x_R = 0,54 и x_el = 0,7.

Поскольку выполняется условие (55):

x₁ = 0,614 > x_R = 0,54,

расчет повторяем, заменяя в формуле (49) значение R_s на напряжение s_s, определенное по формуле (56).

Согласно п. 3.18, b = 0,8;

A_web = 8574 - 3300 = 5274 мм²;

Определяем предельный изгибающий момент в плоскости оси x из условия (47):

М_х,u = R_b[S_on,x + A_web(h₀ - х₁/3)] + R_scS_sx = 13[792000 + 5274(270 - 197/3)] + 365×113(270 - 20) = 34,6×10⁶ Н×мм = 34,6 кН×м.

Предельный изгибающий момент в вертикальной плоскости равен:

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАСЧЕТА НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ ИЗГИБАЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (ПРИ ЛЮБЫХ ФОРМАХ СЕЧЕНИЯ, НАПРАВЛЕНИЯХ ДЕЙСТВИЯ ВНЕШНЕГО МОМЕНТА И ЛЮБОМ АРМИРОВАНИИ) 3.18 (3.28). Расчет нормальных сечений изгибаемого элемента в общем случае (черт. 10) выполняется из условия

M £ R_bS_b - Ss_siS_si,                                                           (60)

где M  - проекция момента внешних сил на плоскость, перпендикулярную прямой, ограничивающей сжатую зону сечения;

S_b        - статический момент площади сжатой зоны бетона относительно оси, параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону и проходящей через центр тяжести сечения наиболее растянутого стержня;

S_si        - статический момент площади сечения i-го стержня продольной арматуры относительно указанной оси;

s_si       - напряжение в i-м стержне продольной арматуры.

Черт. 10. Схема усилий и эпюра напряжений в сечении, нормальном к продольной оси железобетонного элемента, в общем случае расчета по прочности

1-1 - плоскость, параллельная плоскости действия изгибающего момента; 1 - точка приложения равнодействующих усилий в сжатой арматуре и в бетоне сжатой зоны; 2 - точка приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре

Высота сжатой зоны x и напряжения s_si определяются из совместного решения уравнений:

R_bA_b = Ss_siA_si,                                                          (61)

при x_i £ x_Ri

                                       (62)

где h - см. п. 3.7;

при x_el,i ³ x_i > x_Ri

                                          (63)

при x_i > x_el,i

                                                (64)

Для продольной арматуры с физическим пределом текучести (см. п. 2.16) при x_i > x_Ri используется только уравнение (64).

В формулах (61) - (64):

A_b  - площадь сжатой зоны бетона;

A_si  - площадь сечения i-го стержня продольной арматуры;

x_i - относительная высота сжатой зоны, равная:

где   h_0i  - расстояние от оси, проходящей через центр тяжести сечения рассматриваемого i-го стержня арматуры и параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону, до наиболее удаленной точки сжатой зоны сечения (см. черт. 10);

x_Ri, x_el,I  - относительная высота сжатой зоны, отвечающая достижению в рассматриваемом стержне напряжений, соответственно равных R_si и bR_si, значение x_Ri определяют по формуле (21) п. 3.6, значение x_el,i - также по формуле (21), принимая

s_sR = bR_si - s_spi,                                                      (65)

здесь b  - коэффициент, принимаемый равным:

при механическом, а также автоматизированных электротермическом и электротермомеханическом способах натяжения арматуры классов А-IV, А-V, А-VI

                                                 (66)

где s_sp1i - определяется при g_sp < 1,0 (см. п. 1.18) с учетом потерь по поз. 3 - 5 табл. 4;

s_sc,u, w               - см. п. 3.6;