Б.4 Для s, m0, m1 и m-1, приведенных выше, а также условий, установленных для L0 и L1, необходимо найти план контроля, дающий наименьший объем выборки. Из колонки таблицы Б.1, соответствующей L0 ³ 600, находят, что минимальное значение , для которого L1 < 12, равно 1,4 (например, план с параметрами В1 = 3,0, В2 = 1,5, К = 3 дает L1 = 10,3; план с параметрами В1 = 3,25, В2 = 1,25 и К =3 дает L1 = 8,8).
Отсюда и n = 5.
(информационное)
B.1 Общая часть
Контрольные карты, использующие только границы регулирования, не во всех случаях достаточно чувствительны к изменению уровня процесса.
Средняя длина серии выборок, по результатам которых принимают решение о корректировке процесса, - критерий чувствительности КК к сдвигу уровня процесса. Если процесс находится в статистически управляемом состоянии, то решение о корректировке ошибочно. В этом случае средняя длина серии выборок должна быть максимально возможной.
Если же процесс вышел из статистически управляемого состояния, то решение о его корректировке необходимо принять как можно быстрее. Здесь средняя длина серии выборок должна быть по возможности меньшей.
Введение предупреждающих границ повышает чувствительность КК к определению состояния процесса.
Если сравнить КК с предупреждающими границами с контрольными картами Шухарта для одного и того же значения L0, то поскольку < 2,5, КК с предупреждающими границами имеют гораздо меньшие значения L0.
,
где Ф - функция нормального распределения.
Рисунок B.1 - Сравнение значений ARL, полученных для процесса, находящегося в статистически неуправляемом состоянии для обычной контрольной карты Шухарта (пунктирная линия) и контрольной карты с предупреждающими границами (сплошная линия)
На рисунке B.1 сплошная линия представляет значения ARL для контрольной карты для арифметического среднего с предупреждающими границами с односторонним критерием с зонами качества при В1 = 3,00; В2; = 1,75; К = 2 (таблица 2 настоящего стандарта). Пунктирная линия показывает значения ARL для обычной КК Шухарта с односторонним критерием, рассчитанной для того же значения L0 = 346,2, что и первая КК (границы будут на расстоянии 2,76 ´ от центральной линии).
Пример приведен для одностороннего критерия. Для двустороннего критерия кривые строят по тем же правилам (7.2.3).
В.2 Формулы для вычисления ARL с односторонним критерием
Точка на контрольной карте может попасть в зону Т с вероятностью р, в зону W - с вероятностью q, а в зону А - с вероятностью 1-р-q (рисунок 2 настоящего стандарта), где вероятности р и q определяют по формулам:
p = Ф(В2 - ); (В.1)
q = Ф(В1 - ) - Ф(В2 - ), (В.2)
где - функция стандартного нормального закона распределения, значения которой приведены в приложении А ГОСТ Р 50779.21;
x - переменная интегрирования и d = 0 для процесса в статистически управляемом состоянии.
Среднюю длину серий выборок L определяют по формуле
. (В.3)
Когда К = 2, рекомендуют использовать формулу (В.3) в следующем виде:
. (В.4)
Значения ARL в таблицах 1-3 настоящего стандарта вычислены с использованием приведенных формул.
В.3 Формула для вычисления ARL с двусторонним критерием
В случае двустороннего критерия формула (В.3) принимает вид (при К = 2):
, (В.5)
rдe q1 и q2 - вероятности попадания в зоны W+ и W- соответственно;
p¢ - вероятность попадания в зону Т.
Очевидно, что р¢ = 2р - 1, где р определяют по формуле (B.1).
Когда = 0, то q1 = q2 = q и формула (В.4) принимает вид
(В.6)
Когда ¹ 0, меньшая из вероятностей q1 и q2 (например, q2) становится настолько малой, что ею можно пренебречь.
Таким образом, для малых значений (0,2; 0,4) необходимо учитывать разницу между значениями ARL с односторонним и двусторонним критериями, но если > 0,6, то эта разница становится настолько малой, что ею можно пренебречь (таблица B.1).
Таблица B.1 - Значение ARL, в случаях с двусторонним и односторонним критериями
|
|
Случай двустороннего критерия |
Случай одностороннего критерия |
|
0,0 |
278,0 |
556,0 |
|
0,2 |
222,6 |
275,2 |
|
0,4 |
134,2 |
141,9 |
|
0,6 |
75,3 |
76,0 |
|
0,8 |
42,8 |
43,0 |
|
1,0 |
25,5 |
25,5 |
Затем, если q1 = q, q2 = 0, то формула (В.5) переходит в формулу (В.4), т. е. ARL процесса, вышедшего из-под контроля, будет такой же, как и ARL процесса с односторонним критерием:
L¢1 = L1. (B.7)
Например, если причиной выхода процесса из-под контроля служит увеличение значения уровня процесса, то возможность выхода за нижнюю предупреждающую границу можно не брать в расчет как и в случае одностороннего критерия.
Формулы (В.6) и (В.7) также применимы для К = 3 и К = 4.
В.4 Взаимосвязь приведенных формул с теорией цепей Маркова
Формулы (В.3), (В.4) и (В.5) могут быть выведены с помощью теории цепей Маркова.
Для процесса с односторонним критерием и К = 2 следует рассматривать цепь Маркова с тремя состояниями:
а) точка находится в зоне Т;
б) точка находится в зоне W, в то время как предыдущая точка - в зоне Т;
в) точка находится в зоне А или в зоне W вместе с предыдущей.
Ключевые слова: контрольная карта для арифметического среднего; предупреждающие границы; статистически управляемое состояние процессов
