---

Предложение-примитив называется открытым, если оно имеет по крайней мере одну свободную пере­менную, в противном случае оно называется замкнутым.

Все, что может быть сформулировано как утверждение, в L может выражаться только замкнутыми предложениями-примитивами. Однако даже простейшие утверждения становятся пространственными, гро­моздкими и неудобными при чтении, если их выразить как предложения-примитивы. Поэтому вводится следу­ющая дополнительная конструкция:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Любое выражение является определением, если оно утверждается как таковое уполномоченным источ­ником.

За исключением небольшого числа специальных случаев, необходимых для начального развертывания, которые здесь не рассматриваются, все определения будут замкнутыми предложениями в одной из двух следу­ющих форм:выражение ”|ff” выражение;

выражение ”=” выражение.

Как будет показано далее, символ ”|ff” интерпретируется как связка, которая, будучи вставлена между двумя предложениями, означает их логическую эквивалентность. Последовательность определений в этой форме строится так, что правостороннее выражение (определяющее выражение) каждого определения в последова­тельности является или предложением-примитивом, или левосторонним выражением (определяемое выра­жение) какого-либо предыдущего определения в последовательности. Благодаря взаимозаменяемости логи­чески эквивалентных выражений очень сложные утверждения можно представить в сжатой форме, логически эквивалентной предложению-примитиву.

Аналогичный процесс в определениях второй формы, т. е. символ ”=”, интерпретируется как предикат идентичности, и также обеспечивает взаимозаменяемость выражений. Конечно, в этой ситуации выражения по обе стороны знака идентичности являются термами, а не предложениями. Используя способ концептуаль­ного определения, можно определить термы везде, где может появиться переменная (также терм) в атомар­ном предложении. Все, что может утверждаться о сущности, обозначенной термом, может быть интерпрети­ровано.

Введя концепцию последовательности определений, можно еще кое-что сказать о конкретном синтак­сисе L. Следующие концепции вводятся здесь для иллюстрации того, что они являются фактически синтакси­ческими понятиями.

АКСИОМА

Любое замкнутое предложение, утверждаемое в качестве такового авторитетным источником.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Любая последовательность замкнутых предложений является доказательством, если для любого предло­жения Q: либо Q есть аксиома, либо до Q в последовательности есть предложения Р и ”Если Р То Q”.

ТЕОРЕМА

Любое предложение, для которого существует доказательство, содержащее это предложение.

Хотя не существует общего алгоритма нахождения доказательства, которое содержит данное предложе­ние и, следовательно, разрешающей процедуры для определения того, является ли предложение-кандидат теоремой или нет (определение «теоремы» — синтаксическое), однако существует механизм определения, является ли данная последовательность доказательством и содержит ли она предложение-кандидат.

Семантика формального языка L устанавливается путем присваивания значений его примитивным кон­струкциям.

Интерпретация двух примитивных связок и примитивного квантора очевидна; она заимствуется из тра­диционной логики первого порядка.

Из предложений L в качестве аксиом выбираются определенные замкнутые предложения. Один набор аксиом А1 составляет аксиомы логики и математики. Применение правил вывода позволяет получить дополни­тельный набор предложений, которые являются теоремами, выводимыми исключительно на основе аксиом А1. Хотя существует большое разнообразие различных наборов предложений, любой из которых может быть выбран в качестве А1, общая совокупность теорем будет, как правило, одним и тем же во всех случаях. Разум­но предположить, что все концептуальные схемы и информационные базы будут включать в себя один и тот же набор А1.

Следует отметить, что большинство аксиом А1 являются схемами аксиом — утверждениями метаязыка о том, что каждое предложение заданной формы — аксиома. Хотя существует ограниченное число таких схем, множество аксиом в А1 фактически не ограничено.

Концептуальная схема не исчерпывает всех предложений. Если бы все возможные предложения были бы выводимыми в концептуальной схеме, это противоречило бы определению. Кроме того, ничто не осталось бы для самой информационной базы. В общем, должно существовать много различных допустимых совокупностей предложений, наборов предложений, несовместимых между собой или с концептуальной схемой. Различные допустимые совокупности предложений, конечно, могут не согласовываться друг с другом. Информационная база будет представлять собой одну из этих допустимых совокупностей предложений вместе с теоремами, выводимыми в данный момент из предложений информационной базы и концептуальной схемы.

Часто для определенных концептуальной схемы и информационной базы требуется, чтобы в информа­ционной базе присутствовал некоторый набор предложений. Эти требования отличаются от аксиом или тео­рем, из них выводимых. Концептуальная схема может потребовать, чтобы, например, было доступно какое- либо параметрическое значение. Здесь концептуальная схема не определяет точное значение, а утверждает, что оно существует. Предложение, указывающее это значение, должно быть в информационной базе, а не в концептуальной схеме. Может быть указано любое из допустимых значений, но должно присутствовать одно из них.

При наличии концептуальной схемы и требуемых предложений остальная часть концептуальной схемы и информационной базы — вспомогательная. Необходимо лишь, чтобы все предложения вместе образовывали 38допустимую совокупность. Конечно, в любой данный момент состояние концептуальной базы — это точно определенный набор предложений.

Должны существовать и другие наборы предложений, совместимые с состоянием концептуальной схе­мы и информационной базы и, следовательно, допустимые для дополнения.

Цель данного подраздела — выработать более удобные формы для примитивных понятий. Сначала рас­сматриваются конструкции, существенные для базовой логики. В этом начальном изложении буквы «Р» и «Q» будут означать произвольные предложения, а буквы «X» и «Y» — произвольные термы.

Связки, используемые обычно в элементарной логике, можно легко определить через связки-примити­вы:

«(Р Или Q)» эквивалентно «(Если Не Р То Q)»;

«(Р & Q)» эквивалентно «Не (Не Р Или Не Q)»;

«(Р I ff Q)» эквивалентно «((Если Р То Q) & (Если Q То Р))»;

Целесообразно использовать дополнительный квантор:

«Для некоторого ХР» эквивалентно «Не Для всех X Не Р»

Приведенные четыре определения (фактически, определяющие схемы) вместе с шестью схемами акси­ом, устанавливающими свойства предложений «Не Р», «(Если Р Тогда Q)», «Для всех ХР» достаточны для всей необходимой логики, не зависимой от специфических предикатов.

Для представления математических формулировок требуется пять предикатов-примитивов: три одноме­стные и два двухместных. Предикаты-примитивы вводились синтаксически в такой форме:

«Рг» {строчная буква} {прим}

Рг устанавливает, что символ — это предикат, строка строчных букв служит просто для отличия одного предиката от другого, а число символов прим определяет, сколько переменных должно следовать за предика­том, чтобы получилось правильно построенное атомарное предложение. Используя определения, можно вве­сти более удобные обозначения:

(Нуль X| ff Рга’Х)

(Индивид Х| ff РгЬ’Х)

(Класс X|ff Ргс’Х)

Интерпретация этих трех предикатов проста. «Нуль X» утверждает, что сущность, обозначенная симво­лом X, — нулевая сущность, «Индивид X» утверждает, что сущность индивидная, а «Класс X» утверждает, что сущность, обозначенная символом X, — класс. В каждой проблемной области, в подходах интерпретируе­мой логики предикатов, все множество сущностей распадается на эти взаимоисключающие категории. Нуле­вая сущность — грубый эквивалент отсутствия чего-либо. Нулевая сущность существует, т. е. должна существо­вать теорема «Для некоторого х Нуль х». Это вид сущности, к которой приводятся невозможные предметы, например «Нуль квадратная-окружность».

Следующие бинарные предикаты фундаментальны:

((Х = Y) | ff Рга’ ’XY)

((х Принадлежит Y) | ff РгЬ’ ’XY).

«Х = Y» утверждает, что сущность, обозначенная символом Х, идентична сущности, обозначенной Y, и «X принадлежит Y» утверждает, что сущность, обозначенная Х, — это член класса, обозначенного симво­лом Y. Для того чтобы высказывание «X принадлежит Y» было истинным, Yдолжен обозначать класс, но это высказывание значимо независимо от того, что обозначает Y. Такая ситуация характерна для подходов интер­претируемой логики предикатов и вынуждает использовать явные ограничения. Должна быть введена аксиома, подобная следующей:

«Для любого X Для любого Y (Если (X Принадлежит Y) То Класс Y)».

Достаточность этих предикатов-примитивов для логики и математики давно продемонстрирована. В обычных формулировках достаточно пяти схем аксиом и семнадцати явных аксиом.

Количество необходимых определений зависит от объема математики, необходимой для описания опре­деленной рассматриваемой проблемной области. В последующем будут излагаться только понятия, относящи­еся к примеру приложения Б, и то неформально, главным образом, чтобы ввести обозначения. Во-первых, вводится понятие определенных описаний:

«The X Р» обозначает такую единственную сущность X, что высказывание, утверждаемое Р, — истин­но, если такая единственная сущность существует.

Описания — это термы или термы специфической формы, которые определяются в контексте всех возможных позиций в атомарных предложениях. Все другие сложные термы, в конечном счете, редуцируются к определенным описаниям. Таким образом, точное определение понятий «класс всех х таких, что Р», обозна­чаемого «{ХР}» определяется следующим образом: ({ХР} = The Y (Класс Y& Для всех X (Если Для некоторо­го Z (X Принадлежит 2) То (X Принадлежит Y) | ff Р))).

Это определение вместе с соответствующими аксиомами (не приведенными здесь) гарантирует, что Р — экстенциональный, т. е. что два класса идентичны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же члены, и что известные парадоксы класса исключаются.

Классы могут задаваться посредством перечисления членов:

({а, Ь, с, ..., z} = {Х Х= а Или Х= Ь Или Х= с Или ...

Или Х = z}).

Упорядоченные пары могут быть определены следующим образом:

([х, у] = ({х}, {х, у}}).

Тогда отношения являются классами упорядоченных пар:

({ХУ Р} = {z Для некоторого х Для некоторого у

(z = [Х, у] & Р)}).

То есть отношение х с у такое, что Р является классом упорядоченных пар [х, у], таких, что Р — истинно. Утверждать, что А находится в связи типа «члена» с В значит утверждать, что ([И, В] Принадлежит {ху х принадлежит у}).

Функции, используемые в строго математическом смысле в подходе интерпретируемой логики предика­тов, задаются следующим образом:

(Тх Y= {уху = Y}).

Функция от х, значение которой (для аргумента х) есть Y, является отношением у с х таким, что у = Y. Функции — это просто специальные отношения, где для каждого аргумента имеется единственное значение.

По разным причинам удобно использовать специфическое обозначение для результата применения фун­кции. Вместо Т(х), L использует:

(Т:х = The у ([у, х] Принадлежит F)).

Если Удвоить = Тх, 2х, то Удвоить : 3=6.

Подобная конструкция допускает идентификацию класса всех сущностей, вступающих в отношение R с каким-либо членом определенного класса. Так:

(R; х = {у Для некоторого z

(z Принадлежит х & [у, z] Принадлежит R)}).

Удобно использовать также некоторые элементарные понятия теории множеств. Это такие обычные понятия:

Объединение:

(х Ду = {zz Принадлежит х или z Принадлежит у}).

Пересечение:

(х У у = {z z Принадлежит х & z Принадлежит у}).

Дополнение:

(С х = {у Не (у Принадлежит х)}).

Подмножество:

(х В у I ff Для всех z (Если z Принадлежит х То z Принадлежит у)).

Оконечное объединение:

(Тя х = {у Для некоторого z (z Принадлежит х & у Принадлежит z)}).

Обратное утверждение:

(Сят R = {ху [у, х] Принадлежит R}).

Декартово произведение:

(хТ'у = {zwz Принадлежит х & w Принадлежит у}).

Некоторые конкретные сущности определяются и обозначаются особо:

Нулевая сущность:

(Й^= The х Нуль х).

Пустое множество:

(О = {х Не х = х}).

Класс индивидов:

(/ = {х Индивид х}).

Класс элементов (Универсальный класс):

(У = {х Для некоторого у (х Принадлежит у)})

Класс всех функций:

(Fen = {F Для некоторого х Для некоторого у.

(ТВхХу

& для всех х’ Для всех у’ Для всех у’ ’

(Если [у’, х’] Принадлежит F

& [у’’, х’] Принадлежит F

То у’ = у’ ’))}).

Левый домен произвольного отношения:

(О/ R = {х Для некоторого у ([х, у] Принадлежит R)}).

Правый домен произвольного отношения:

(Hr R = {у Для некоторого х ([х, у] Принадлежит R)}).

Известно, что все математические конструкции могут быть определены в терминах множеств. Здесь это не делается. Однако предполагается, что это проделано таким образом, что все промежуточные определения являются аксиомами. Явно необходимы для примера лишь такие конструкции:

0, 1, 2, ... Последовательность натуральных чисел (нуль есть пустое множество);

Nn Класс всех натуральных чисел;

N гр Класс всех положительных действительных чисел;

< , > Предикаты арифметического порядка;

+, —, *, / Традиционные арифметические операторы;

К Функция мощности, т. е. К: х — это кардинальное число — число элементов в классе,