Страница 44: ДСТУ-Н Б EN 1999-1-1:2010. Єврокод 9. Проектування алюмінієвих конструкцій. Частина 1-1. Загальні правила для конструкцій (60238)

Рисунок

I.2

Балки з постійними перерізами, симетричними відносно головної осі, центрально симетричними та подвійно симетричними

Figure

I.2

Beams with uniform cross-sections symmetrical about major axis, centrally symmetric and doubly symmetric cross-sections

(4) Для балок, обпертих на обох кінцях, , або для ділянок балок, закріплених у поперечному напрям­ку на обох кінцях, під будь-яким наванта­женням (наприклад, під різними кінцевими моментами у поєднанні з будь-яким по­перечним навантаженням), можна викорис­товувати наступне значення коефіцієнта у наведених вище двох формулах із I.1.3 (2) та (3), щоб отримати наближене значення критичного моменту:

(4) For beams supported on both ends or for beam segments laterally restrained on both ends, which are under any loading (e.g. different end moments combined with any transverse loading), the following value of factor may be used in the above two formulas given in I.1.3 (2) and (3) to obtain approximate value of critical moment:

^(I.9)

де:

– максимальний розрахунковий зги­нальний момент;

– розрахункові згинальні мо­менти на чверті довжини від кінців;

– розрахунковий згинальний момент у середині балки або ділянки балки з дов­жиною, рівною відстані між сусідніми зак­ріпленими від поперечного зміщення пере­різами.

(5) Коефіцієнт за формулою (I.9) можна також використовувати у фор­мулі (I.7), але тільки у поєднанні з відпо­відним значенням коефіцієнта для зада­ного навантаження та граничних умов. Це означає, що для шести випадків із таб­лиці I.2 з граничними умовами k_y=1, k_z=1, 0,5 k_w1, як визначено вище, за наб­лиження можна брати значення разом із формулами (I.9) та (I.7).

(6) Для нерозрізної балки можна вико­ристати наступний наближений метод. Ігно­рується ефект неперервності у попе­речному напрямку між сусідніми ділян­ками, і кожна ділянка розглядається як шарнірно обперта. Кожна ділянка, таким чином, розраховується на пружну втрату стійкості під заданим розподілом моментів у площині балки (можна використати фор­мулу (I.9) для C₁) з приведеною довжиною, рівною довжині ділянки L. Найменший із критичних моментів, розрахованих для кожної ділянки, береться у якості критич­ного навантаженя для нерозрізної балки. Цей метод дає консервативну оцінку.

where:

– is maximum design bending moment,

– are design bending moments at the quarter points and

– is design bending moment at the midpoint of the beam or beam segment with length equal to the distance between adjacent cross-sections which are laterally restrained.

(5) Factor defined by (I.9) may be used also in formula (I.7) but only in combination with relevant value of factor valid for given loading and boundary conditions. This means that for the six cases in table I.2 with boundary condition k_y=1, k_z=1, 0,5 k_w1, as defined above, the value may be used together with (I.9) in (I.7) as an approximation.

(6) In the case of continuous beam the following approximate method may be used. The effect of lateral continuity between adjacent segments are ignored and each segment is treated as being simply supported laterally. Thus the elastic buckling of each segment is analysed for its in-plane moment distribution (formula (I.9) for C₁ may be used) and for an buckling length equal to the segment length L. The lowest of critical moments computed for each segment is taken as the elastic critical load set of the continuous beam. This method produces a lower bound estimate.

I.1.4 Консольні балки з постійними поперечними перерізами, симетричними відносно другої головної осі

(1) У випадку консольної балки постій­ного поперечного перерізу, симетричного відносно другої головної осі, пружний кри­тичний момент для згину відносно першої головної осі при втраті стійкості за попе­речно-крутильною формою дається форму­лою (I.2), де відносний безрозмірний кри­тичний момент береться з таблиць I.3 та I.4. У таблицях I.3 та I.4 слід вико­ристовувати нелінійну інтерполяцію.

(2) Правило знаків для визначення та дається у I.1.2(7) та (8).

I.1.4 Cantilevers with uniform cross-sections symmetrical about the minor axis

(1) In the case of a cantilever of uniform cross-section, which is symmetrical about the minor axis, for bending about the major axis the elastic critical moment for lateral-torsional buckling is given by the formula (I.2), where relative non-dimensional critical moment is given in table I.3 and I.4. In table I.3 and I.4 non-linear interpolation should be used.

(2) The sign convention for determining and is given in I.1.2 (7) and (8).

Таблиця

I.3

Відносний безрозмірний критичний момент для консольних балок , навантажених зосередженою кінцевою силою F

a) Для та

b) Для та можна розрахувати також за формулами (I.7) і (I.8), де слід використовувати наступні наближені значення коефіцієнтів для консольної балки, навантаженої на кінці силою F:

^при

, ^при

^при

^при

Тable

I.3

Relative non-dimensional critical moment for cantilever loaded by concentrated end load F

a) For and

b) For and may be calculated also from formulae (I.7) and (I.8), where the following approximate values of the factors should be used for the cantilever under tip load F:

^if

^if

^if

^if

Таблиця

I.4

Відносний безрозмірний критичний момент для консольної балки , навантаженої рівномірно розподіленим навантаженням q

a) Для та

b) Для та можна обчислити також за формулами (I.7) і (I.8), де слід використовувати наступні наближені значення коефіцієнтів для консольної балки під рівномірно розподіленим навантаженням q:

^при

^при

^при

^при

Тable

I.4

Relative non-dimensional critical moment for cantilever loaded by uniformly distributed load q

a) For and

b) For and may be calculated also from formulae (I.7) and (I.8), where the following approximate values of the factors should be used for the cantilever under uniform load q:

^if

^if

^if

^if

I.2 Гнучкість при поперечно-крутильній втраті стійкості

(1) Загальний коефіцієнт гнучкості при поперечно-крутильній втраті стійкості визначається формулою:

I.2 Slenderness for lateral torsional buck­ling

(1) The general relative slenderness parameter for lateral-torsional buckling is given by:

^{, (I.10)}

де:

α – коефіцієнт форми з таблиці 6.4.

(2) Інакше, для двотаврів та швелерів згідно з таблицею I.5 значення можна отримати за формулами:

where:

α is the shape factor taken from Table 6.4.

(2) Alternatively, for I- sections and channels covered by table I.5, the value of may be obtained from:

^{, (I.11)}

де:

where:

^(I.12)

– приведена довжина при поперечно-крутильній втраті стійкості;

– радіус інерції перерізу брутто відносно другої головної осі;

h – повна висота перерізу;

– товщина полиць ( для випадків 2 і 4 у таблиці I.5);

X та Y – коефіцієнти з таблиці I.5. Для швелера з буртиками (профіль 18 у таблиці I.8) X = 0,95 та Y = 0,071. Для усіх випадків консервативну оцінку можна отримати при X = 1,0 та Y = 0,05.

(3) Якщо підсилення полиць у двотаврі або швелері не має точно такої форми, як у таблиці I.5 (прості буртики), дозволяється обчислювати за вищенаведеною фор­мулою за умови, що X та Y беруться як для еквівалентного простого буртика з такою самою внутрішньою глибиною c, тоді як обчислюється для перерізу з фактичним підсиленням.

(4) Зазвичай , де L – фактична відстань між точками поперечного закріп­лення стиснутої полиці. Якщо у цих точках обидві полиці на кінцях ділянки закріплені від обертання навколо осі z, то довжину L можна зменшити з коефіцієнтом 0,5 у випадку теоретичного повного защем­лення, з коефіцієнтом 0,7 у випадку прак­тично досяжного повного защемлення, і з коефіцієнтом 0,85 у випадку часткового за­щемлення. Ці значення приведеної довжи­ни слід збільшити з коефіцієнтом 1,2, якщо балки з перерізами з таблиці I.5 знахо­дяться під поперечним дестабілізуючим навантаженням, прикладеним на рівні верхньої полиці. Для балки, яка може вільно втрачати стійкість протягом своєї довжини, відсутність кінцевих розкріплень можна врахувати, ще збільшивши на величину 2h у порівнянні зі значенням, які застосовуються в іншому випадку. Спро­щені методики з I.2(2) та (3) не слід використовувати для консольних балок, якщо невідоме відповідне значення , у якому враховуються всі типи консольних закріплень та дестабілізуючий ефект поперечних навантажень.

is the buckling length for lateral torsional buckling

is the minor axis radius of gyration of the gross section

h is the overall section depth

is the flange thickness (for Case 2 and 4 in table.I.5)

X and Y are coefficients obtained from table I.5. For lipped channel (profile 18 in table I.8) X = 0,95 and Y = 0,071. For all Cases it is conservative to take X = 1,0 and Y = 0,05.

(3) If the flange reinforcement to an I-section or channel is not of the precise form shown in table I.5 (simple lips), it is still permissible to obtain using the above expression, providing X and Y are taken as for an equivalent simple lip having the same internal depth c, while is calculated for the section with its actual reinforcement.

(4) Normally , where L is actual distance between points of lateral support to the compression flange. If at these points the both flanges of the segment ends are restrained against rotation about z-axis, the length L may be reduced by the factor 0,5 in the case of theoretical full restraints, by the factor 0,7 in the case of practically achieved full restraints and by the factor 0,85 in the case of partial restraints. Such values of the buckling lengths should be increased by the factor 1,2 if the beams with the cross-sections given in table I.5 are under transverse destabilizing load applied at top flange level. For beam that is free to buckle over its whole length, the absence of end-post can be allowed for by further increasing by an amount 2h above the value that would otherwise apply. Simplified procedure in I.2(2) and (3) should not be used in the case of cantilever beams if appropriate value of taking into account all type of cantilever restraints and destabilizing effect of transverse loads is not known.

Таблиця

I.5

Поперечно-крутильна втрата стійкості балок, коефіцієнти X та Y

Table

I.5

Lateral-torsional buckling of beams, coefficients X and Y

I.3 Пружна критичка осьова сила для крутильної та крутильно-згинної втрати стійкості

(1) Пружна критична осьова сила для крутильної та крутильно-згинної втрати стійкості конструкційного елемента постійного поперечного перерізу зі стан­дартними умовами закріплення (див. I.1.1(2)) на кожному кінці під дією рівно­мірного осьового навантаження, прикладе­ного до центру мас, визначається фор­мулою:

I.3 Elastic critical axial force for torsional and torsional-flexural buckling

(1) The elastic critical axial force for torsional and torsional-flexural buckling of a member of uniform cross-section, under standard conditions of restraint (see I.1.1(2)) at each end and subject to uniform axial force in the gravity center is given by:

,

де:

where:

^{, (I.14)}

^{, (I.15)}

^{. (I.16)}

та G див. у розділі I.1.1.

L – довжина елемента між точками попе­речного закріплення.

and G see I.1.1.

L is the length of the member between points that have lateral restraint.

^(1.17)

та – координати центру зсуву від­носно центру ваги;

та залежать від ком­бінації граничних умов згину та кручення, див. таблицю I.6, де символіка граничних умов для кручення розшифровується у таблиці I.7

and are the coordinates of the shear center related to centroid.

and depend on the combinations of bending with torsion boundary conditions, see table I.6, where symbols for torsion boundary conditions are explained in table I.7

Таблиця

I.6

Значення або для комбінацій граничних умов згину і кручення

Тable

I.6

Values of or for combinations of bending and torsion boundary conditions

Таблиця

I.7

Граничні умови кручення у таблиці I.6

Table

I.7

Torsion boundary conditions in table I.6

Символ у таблиці I.6

Symbol in table I.6

Деформація кінця елемента

Deformation of member end

Гранична умова для кручення

Torsion boundary condition

Обертання заборонене, депланація дозволена

Rotation restrained, warping free

Обертання заборонене, депланація заборонена

Rotation restrained, warping restrained

Обертання дозволене, депланація дозволена

Rotation free, warping free

Обертання дозволене, депланація заборонена

Rotation free, warping restrained

(2) Для перерізів, симетричних віднос­но осі z, , і розв’язок рівняння (I.14) має вигляд:

(2) For cross-sections symmetrical about the z-axis and the solution to equation (I.14) is:

^{, (I.18)}

^{. (I.19)}

(I.18) – згинна втрата стійкості

(I.18) – flexural buckling

(I.19) – крутильно-згинна втрата стійкості

(I.19) – torsional-flexural buckling

(3) Для подвійно-симетричних перері­зів і , а розв’язок рівняння (I.13) має вигляд:

(згинна форма) та (крутильна форма).

(4) Наближені формули гнучкості для деяких перерізів наведені у I.4(2).

(3) For doubly symmetrical cross sections and and the solution to equation (I.13) is:

(flexural buckling) and (torsional buckling)

(4) Slenderness based on approximate formulae for certain cross sections are given in I.4(2).

I.4 Гнучкість для крутильної та кру­тильно-згинної форм втрати стій­кості

(1) Загальний вираз коефіцієнта гнуч­кості для крутильної та крутильно-згинної форм втрати стійкості має вигляд:

I.4 Slenderness for torsional and torsional-flexural buckling

(1) The general expression for relative slenderness parameter for torsional and torsional-flexural buckling is:

^{, (I.20)}

де:

– розрахункова площа для крутильної та крутильно-згинної втрати стійкості, див. 6.3.1.2, таблиця 6.7;

– пружне критичне навантаження для крутильної втрати стійкості, з урахуванням взаємодії зі згинною втратою стійкості у разі потреби (крутильно-згинна втрата стійкості). Див. I.3.

(2) Інакше, для перерізів з таблиці I.8:

where:

– is the effective area for torsional or torsional-flexural buckling, see 6.3.1.2, Table 6.7

– is the elastic critical load for torsional buckling, allowing for interaction with flexural buckling if necessary (torsional-flexural buckling). See I.3.

(2) Alternatively, for sections as given in table.I.8

^{, (I.21)}

де k береться з рисунка I.3 або обчислю­ється за формулою:

where k is read from figure I.3 or given by the expression:

^{, (I.22)}

у якій X > 0, а s знаходиться за таблицею I.8.

обчислюється за формулою:

in which X > 0 and s are found in table I.8.

is found as follows:

^(I.23)

(I.23) – для кутиків, таврів, хрестів

(I.23) – for angles, tees, cruciforms

^(I.24)

(I.24) – для мілких та глибоких швелерів

(I.24) – for channels, top-hats

таблиця I.8 містить вирази для та Y, а також s та X (які необхідні для обчислення (I.22) та для рисунка I.3).

У формулі (I.24) величину слід брати рівною розрахунковій гнучкості для втрати стійкості колоною відносно осі y–y (див. таблицю I.8, випадки з 15 по 18).

table I.8 contains expressions for and Y and also for s and X (needed in expression (I.22) and for figure I.3).

In expression (I.24) the quantity should be taken as the effective slenderness for column buckling about axis y-y (as defined in table I.8, Cases 15 to 18).