---

УДК 658.562.014:65.011.56

ОТРАСЛЕВОЙ стандарт

ОСТ 1 00321-78

О

На 25 страницах

Введен впервые

ТРАСЛЕВАЯ
АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ.
ПОДСИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ
Построение математических моделей
временных рядов показателей

Проверено в 1982 г.

Распоряжением Министерства от

26 декабря 1978 г.

Nt 087-16

срок введения установлен с 1 июля 1979 г.

Настоящий стандарт распространяется на теоретические методы моделирования временных рядов показателей, закладываемых в отраслевой автоматизированной системе управления (ОАСУ).

Стандарт устанавливает способ построения математических моделей, времен­ные ряды которых являются случайными реализациями процессов изменения показа­телей

.

КД>1

Издание официальное

ГР 8113679 от 07.02.79

Перепечатка воспрещена

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

   1. Временные рады показателей строятся по результатам контроля изделий на этапах производства и эксплуатации. При этом вероятностные оценки значений показателей должны быть состоятельными, а временные ряды представительными.

   2. М

      моделей как стационарных,

      етоды, используемые при построении математических моделей, инвариант­ны к видам показателей и этапам- •’жизненного цикла' изделий.

   3. Стандарт позволяет осуществлять построение

так и нестационарных со стационарными

ми приращениями временных рядов

прогнозирова­

ния будущих значений показателей, для формирования динамических моделей и иссле

дования свойств временных рядов показателей при синтезе автоматизированной сис­

темы И ТДІ.

• проверка ряда на стационарность; ri

• идентификация пробной модели;

• оценка параметров модели;

• проверка адекватности модели.

2. МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

   1. Общая блок-схема процесса построения математической модели временного ряда представлена на черт. 1.

   2. Стационарность временных рядов определяется из предположения о нормаль- №

ности закона распределения значений временного ряда, когда постоянные значения первых двух моментов (математического ожидания и автокорреляционной функции, зависящей только от величины сдвига) обеспечивают строгую стационарность рас-

*

сматриваемого ряда

.Ии». № дубліката

Ина. № нодлннннка

4001

№ изи.

№ и зв.

Проверка ряда на стационарность

Идентификация пробной модели

Оценка параметров модели

Проверка адекватности модели

Вычисление
статистических
характеристик

Определение
оценок параметров

Проверка по статистике &

Проверка
по верхней границе
стандартной ошибки
автокорреляции

Выбор вида
математической модели

порядка

Определение
доверительного ингер
вала оценок
параметро

в

П

ОСТ 1

р едваригельная оценка параметров модели 1-го или 2-го порядка

Выбор вида модели и предварительная оценка параметров модели выше 2-го порядка

Черт.

1Гипотеза о постоянстве значений первых двух моментов подтверждается, если *

их изменение во времени не превышает стандартной ошибки 2/W (где N - длина временного ряда). Если гипотеза не подтверждается, то осуществляется взятие разностей

при t =1, 2, . . ., /V , где Р - значения показателя, представленные в виде временного ряда;

■

Р. - значения, полученные в результате взятия разностей.

F

Число процедур взятия разностей до приведения ряда к стационарному виду
определяет порядок нестационарности ряда d (d 4). При этом длина стационар-
+

ного временного ряда становится равной

2*3. При построении математических вспомогательные операторы сдвига назад как

(2)

моделей временных рядов используются В и сдвига вперед F , определяемые

В

= <4)

. . ., /7 ).

общем виде где К - число шагов сдвига ( X =O_t 1

2»4. Целью идентификации временного ряда является выбор наиболее экономной модели среди класса линейных параметрических моделей, с помощью которой может быть описан данный ряд. К этому классу относятся следующие математические модели.

2.4.1. Модель авторегрессии АР

где

значения

импульс "белого шума"; оператор авторегрессии;

- параметры авторегрессии;

7* - порядок процесса авторегрессии

2,4,2. Модель скользящего среднего СС

(6)

где 6(B) *1-6,8- 6>В

оператор скользящего среднего;'

.,0_- параметры скользящего среднего;

порядок процесса скользящего среднего

2,4.3, Смешанная модель АРСС

(7)

Порядок смешанной модели определяется как сумма (

(

(8)

/> (В) p_t=

где у)(в) = Ф(в)(і-аг - обобщенный оператор авторегрессии; d - порядок нестационарности процесса.

Гипотеза о равенстве нулю установившихся значений частной автокорреляцион­ной функции подтверждается, если эти значения не превышают по модулю стандарт­ной ошибки выборочной частной автокорреляции.

При проверке гипотезы о равенстве нулю установившихся значений автокорре­ляционной функции используется стандартная ошибка Бартлетта.

Анализ спектров автокорреляционной и частной автокорреляционной функций состоит в отнесении их к одному из видов: * слабозатухающий спектр - спектр, имеющий на рассматриваемом интервале

К зад более половины ненулевых значений, причем первые 6 из них находятся в начале спектра;

быстрозатухающий спектр - спектр, имеющий на рассматриваемом интервале К зад ^менее половины ненулевых значений, причем в начале спектра это могут быть только первые три составляющие и не менее грех следующих должны быть равны нулю.

П

ной

роцессу авторегрессии соответствует слабозатухающий спектр автокорреляцион-

})ункции и быстрозатухающий спектр частной автокорреляционной функции. При­чем число первых ненулевых составляющих частной автокорреляционной функции (за исключением первой, равной 1) соответствует порядку авторегрессии.

Процессу скользящего среднего соответствует слабозатухающий спектр част­ной автокорреляционной функции и быстроэатухающий спектр автокорреляционной функции» Число первых ненулевых составляющих автокорреляционной функции (за ис­ключением первой, равной 1) соответствует порядку процесса скользящего среднего.

В случае, когда спектры обеих функций слабозатухающие, подбирается смешан­ная модель. Для смешанной модели выше второго порядка выбор модели и получение предварительных оценок параметров производится в соответствии с алгоритмом I

Ньютона-Рафсона.

При выборе вида математической модели должно учитываться то, что в случае высокого порядка (2-3) моделей авторегрессии или скользящего среднего предпочти­тельнее строить смешанную модель.

Примеры выбора вида математической модели приведены в справочном приложе­нии 1.

терием наименьших квадратов.

Для среднего и большого числа наблюдений временного ряда в предположении о нормальном распределении его значений изолинии безусловной суммы квадратов импульсов CL - практически совпадают с изолиниями функции правдоподобия. Поэтому точные оценки параметров определяются при минимизации суммы квадратов импуль-

в

сов

где

пространстве параметров (ф , & )

(9)
, Q , Р - соответственно векторы параметров авторегрессии, скользящего

среднего и значений временного ряда. t

Безусловная сумма квадратов находится суммированием квадратов всех

НИЙ

последовательности импульсов

вычисленных из системы уравнений

(10)

п

где

последовательность независимо распределенных случайных

им-

ульсов, имеющих нулевое среднее значение и дисперсию

п

, генерированные воз

оператор сдвига впе

риведенные значения стационарного временного ряда;

момент времени, в который оценки Р вратной моделью ф(Р)Р₄,^в(Р)сХ_я. { F . * ■ £ £ ред) практически равны нулю;

параметры авторегрессии;

порядок процесса авторегрессии

;

параметры скользящего среднего;

порядок процесса скользящего среднего.

Оценки параметров получаются итеративным путем из системы нормальных урав­

нений

где

99g” параметры модели;

X = 7*+Q - порядок модели^

(12)

2.8. Определение доверительных интервалов оценок наименьших квадратов осу­ществляется исходя из того, что приближенная (1-£)% доверительная область оце-

I

нок параметров ограничена изолинией суммы квадратов, для которой

_ 2 . _ .

(13)

где - квантиль уровня (1-S) распределения X с К⁼ 7**0, степенями свободы.

2.9. Гипотеза об адекватности полученной модели реальному временному ряду 2

подтверждается, если величина 5- распределена приблизительно как X

(14)

где £ - автокорреляция Величина X,,. такая.

импульсов а. , .

при которой веса W модели, представленной в виде

(15)

будут пренебрежимо малы.

Л

Это условие берется в основу проверки адекватности полученной модели иссле

дуемому временному ряду.

Для более строгого утверждения об адекватности модели сравниваются значе­ния модулей автокорреляций остаточных ошибок с верхней границей стандартной ошибки автокорреляции 1/[Ы . Если большинство значений автокорреляций (из рас­сматриваемой последовательности) меньше этой величины, то модель считается

удовлетворительной.

3. АЛГОРИТМ ПРОВЕРКИ РЯДА НА СТАЦИОНАРНОСТЬ

3.1. Входные данные:

число наблюдений временного ряда

л/

- значения временного ряда J р. I _}t~1.

3.2. Вычисление статистических характеристик проводится следующим образом. +

Временной ряд разбивается на участки. На каждом участке должно быть не ме­

нее 15 значений временного ряда. Статистические характеристики вычисляют­ся по формулам: