---

Примечания:

Заданное значение р₀ =

Выбранный уровень значимости а =

Объем выборки п =

Число целевых элементов в выборке X =

Процедура проверки гипотез

I Критические значения известны (см. 7.2.1) О

t ~ ^и, t ~

Гипотезу Hq ОТКЛОНЯЮТ, если X < С[ _t или х > С_иt, в противном случае гипотезу не отклоняют.

II Критические значения неизвестны

1. Процедура для п < 30 О

По 8.1.3 (форма A-З) определяют двусторонние доверительные границы для л, хи уровня доверия (1 - «):

Pl,t =

Ри, t ~

Гипотезу Hq ОТКЛОНЯЮТ, если Р; _t > р₀ или р_иt < р₀, в противном случае гипотезу не отклоняют.

2. Процедура для л > 30 □

1. Случай х = 0 О

р_оf=1__(a/2)1/n =

Гипотезу Н_о отклоняют, если р_иt < р₀, в противном случае гипотезу не отклоняют.

2. Случай х = л О

Р/, _t = (а/2)1'" =

Гипотезу Hq ОТКЛОНЯЮТ, если Р; _f > р₀, в противном случае гипотезу не отклоняют.

3. Случай 0 < х < л О

По таблице 3 для q = (1 — а/2) определяют и₁ _ _/2 =

и 1 = 21 ^(п — х)р₀— д/(х + 1)(1 — р₀)
и2 = 2 ( 7 х(1 — Ро) — V (л — х + 1)р₀

Гипотезу Hq ОТКЛОНЯЮТ, если и₁> и₁__а^2ИЛИи₂ > Л-1 __а/₂, в противном случае гипотезу не отклоняют.

Результат проверки гипотез:

Гипотеза Hq отклонена

Гипотеза Hq не отклонена

В качестве х*²) определяют значение пр₀, округленное до ближайшего целого числа.

Pl, t X =Х* ~ Ри, t к =х* ^-

р, _t |_{х =х}* и р_иt |_{х =х}* определяют по 8.1.3 (форма А-3);

^хстарт (нижнее) = значение пр/ _t |_{х =х}*, округленное до ближайшего целого числа, =

х_Старт (верхнее) = значени пр_иt |_{х =х}», округленное до ближайшего целого числа, =

Интерпретация результатов проверки гипотез по форме В-3 (II):

для х < С/ _t — 1 = гипотезу Н_о отклоняют;

для x=C_/f= и х = С_иt= гипотезу Н_о не отклоняют;

ДЛЯ X > С_цf + 1 =гипотезу Н_о отклоняют

Результаты проверки гипотез:

Є/. t -⁷t -

Критическое значение (или одно из критических значений) может не существовать для некоторых значе­ний р₀ и/или для очень маленьких объемов выборок п.

²> х* — вспомогательная величина для нахождения х__пт

и I dp I -

8.3 Формы С. Сравнение двух пропорций

8.3.1 Форма С-1. Сравнение двух пропорций для одностороннего критерия Н_о: р₁ > р₂

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Выбранный уровень значимости а =

Объем выборки 1: л₁ =

Объем выборки 2: п₂=

Число целевых элементов в выборке 1: х₁ =

Число целевых элементов в выборке 2: х₂ =

Проверка для тривиального случая

^Л1 ^п2

Неравенство является истинным О

Неравенство не является истинным О

Если неравенство является истинным, нулевую гипотезу не отклоняют и результат проверки гипо­тез может быть объявлен немедленно. В противном случае проводят следующую процедуру, которая может привести к отклонению или к неотклонению гипотезы Н_о.

I Биномиальная аппроксимация

Определение величин: Кд, К₂, гц, г₂

Если [п₂< Пд И п₂< (х₁ + х₂)] ^или [(^п1 ^+п2 — ^Х1 — ^хг) ^{< п}1 ^и (^П1 ^+п2 — ^Х1 — ^х2) ^< (^Х1 ^{+ х}2)]’ ^иско- мые величины определяют следующим образом:

m = п₂=

112 = ^П1 =

— Д?2 — ^Х₂ —

К₂= ^п1 — х₁ =

В противном случае:

Пі = ^П1 = 112 ^=п2 ⁼Кд = Х₁ = К₂⁼ х₂⁼

Вычисление статистики и определение значений по таблице 4

1. Случай д-| < Кд + К₂ Q

р (тц — +2К₂)

²(Кд + 1)(тц + 2г|₂ - Кд - 2К₂ + 1)

Числа степеней свободы Е-распределения:

f₁₌2(K_{l +} 1) =

f₂ = 2(_1ll-K₁) =

Потаблице4дляд = (1 —а), /д и/₂(принеобходимостиприменяютинтерполяцию)определяют:

^F1 - ⁼

2. Случай г] д > Кд + К₂

р К₂(2_Чд-Кд)

²(Кд + 1)(2_П2 - К₂ + 1)

Число степеней свободы F-распределения:

f₁₌2(K_{l +} 1) =

f₂= 2К₂=

По таблице 4 для q = 1— а, и f₂ определяют Рд _ _u(f , f₂) =

(при необходимости применяют интерполяцию)

Заключение в нетривиальном случае для биномиальной аппроксимации:

Гипотезу Н_о отклоняют, если F₂>Рд __а(ґд , f₂), в противном случае гипотезу Н_о не отклоняют.

II Нормальная аппроксимация

Вычисление статистики и определение значений по таблице 3 _z _ л₁(х₁+ х₂) —(х₁+1/2)^+л₂)

² Jn₁n₂(x₁ + Х₂)(Л1 + П₂—Хд —Х₂)1(Пд +п₂)

По таблице 3 для q = (1 — а) определяют гл _ =

I хЛ¹

Заключение в нетривиальном случае для нормальной аппроксимации:

Гипотезу Н_о отклоняют, если z₂ >u₁ __а, в противном случае гипотезу Н_о не отклоняют.

8.3.2 Форма С-2. Сравнение двух пропорций для одностороннего критерия Н_о: р₁ < р₂

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Выбранный уровень значимости а =

Объем выборки 1: п₁=

Объем выборки 2: п₂=

Число целевых элементов в выборке 1: х₁ =

Число целевых элементов в выборке 2: х₂=

Проверка гипотез для тривиального случая

Х_{1 <}^х2
^П1 ~^п2

Неравенство является истинным О

Неравенство не является истинным О

Если неравенство является истинным, гипотезу не отклоняют и результат проверки гипотезы может быть объявлен немедленно. В противном случае проводят следующую процедуру, которая может привести к отклонению или к неоткпонению гипотезы Н_о.

Проверка гипотез для нетривиальных случаев

Если, ПО крайней мере, ОДНО ИЗ четырех значений n₁,n₂>(^x1 ^+x2)’(ⁿ1 ^+п2— ^{12131415161718192021}1 —^х₂) меньше или равно (л₁ + л₂)/4, то применяют биномиальную аппроксимацию, приведенную в I настоящей формы; в противном случае применяют нормальную аппроксимацию, приведенную в II настоящей формы. Одна­ко даже если вышеупомянутое условие выполнено, можно применять нормальную аппроксимацию, если выполнены два следующих условия:

• при применении биномиальной аппроксимации в таблице 4 F-pacnределения необходимо использовать интерполяцию;

• п₁и п₂ или (х₁ + х₂) и (л₁ + п₂— х₁ — х₂) попарно являются величинами одного порядка.

Решение:

Должна применяться биномиальная аппроксимация (продолжить I) О

Должна применяться нормальная аппроксимация (продолжить II) П

Вычисление статистики и определение значений по таблице 4

1. Случай д і < + К₂ О

р - ^1(^1 + 2т|2 ——2К₂) _
¹ ’ (_П1 - ^ + 1)(К| + 2К₂ + 1) ’

Числа степеней свободы F-распределения:

f₁=2(_1l1-K₁ + 1) =

f₂= 2К_а=

По таблице 4 для q = (1 — а), и f₂ определяют F₁ _ _a(f^, f₂) = (при необходимости применяют интерполяцию).

2. Случай т] ₁ > + К₂ О

_F _ ^(2^2-К₂) _

¹ (К₂ + 1)(2щ — К, + 1)

Числа степеней свободы F-распределения:

Г₁₌2(К₂+1) =

f₂= 2К^ =

По таблице 4 для q = (1 — а), и f₂ определяют F₁ _ _а(^, f₂) =

(при необходимости применяют интерполяцию)

Заключение в нетривиальном случае биномиальной аппроксимации:

Гипотезу Н_о отклоняют, если >F₁ _ f₂), в противном случае гипотезу Н_о не отклоняют.

II Нормальная аппроксимация

Вычисление статистики и определение значений по таблице 3

_z _ (Xj —1/2)^+П₂) —П1(Х1+ х₂)

1. J Л₁Л₂(Х₁ + Х₂)(Л₁ + Л₂ — Xi — Х₂)/(П1 + п2)

По таблице 3 для q = (1 — а) определяют и₁_ „ = I чА¹

Заключение в нетривиальном случае для нормальной аппроксимации:

Гипотезу Н_о отклоняют, если Zy >и₁__а, в противном случае гипотезу Н_о не отклоняют.

Результат проверки гипотез:

Гипотеза Н_о отклонена О

Гипотеза Н_о не отклонена □

8.3.3 Форма С-3. Сравнение двух пропорций для двустороннего критерия Н_о: р₁ = р₂

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Выбранный уровень значимости a =

Объем выборки 1: л₁ =

Объем выборки 2: п₂=

Число целевых элементов в выборке 1: х₁ =

Число целевых элементов в выборке 2: х₂ =

Проверка гипотез для тривиального случая

^Х1 - ^х2 ^п1 ^п2

Равенство является истинным Q

Равенство не является истинным | |

Если равенство является истинным, нулевую гипотезу Hq не отклоняют и результат проверки гипотез может быть объявлен немедленно. В противном случае проводят следующую процедуру, кото­рая может привести к отклонению или к неотклонению гипотезы Н_о.

Процедура проверки гипотез для нетривиальных случаев

Если, по крайней мере, одно из четырех значений п₁,п₂,(^х1 + х₂),(п₁+ п₂— х₁ —х₂) меньше или равно (л₁ + п₂)/4, применяют биномиальную аппроксимацию, приведенную в I настоящей формы; в противном случае применяют нормальную аппроксимацию, приведенную в 11 настоящей формы. Одна­ко даже если вышеупомянутое условие выполнено, можно применять нормальную аппроксимацию, если выполнены два следующих условия:

• при применении биномиальной аппроксимации в таблице 4 F-pacnределения необходимо использовать интерполяцию;

• л₁ и п₂ или (х₁ + х₂) и (л₁ + п₂— — х₂) попарно являются величинами одного порядка.

Решение:

Должна применяться биномиальная аппроксимация (продолжить с I) | |

Должна применяться нормальная аппроксимация (продолжить с II) | |

I Биномиальная аппроксимация

Определение величин К^, к₂, 1]-|, д₂

Если [л₂ < л₁ и п₂< (х₁ + х₂)] или [(л₁ + п₂— х₁ — х₂) < л₁ и (л₁ + п₂— х₁ — х₂) < (х₁ + х₂)], величины определяют следующим образом:

П1 = п₂=

П2 = ^Л1 =

• л₂ — х₂ —

К₂= п₁— х₁=

В противном случае:

Пі = ^П1

112 ^=п2

Ki = Х₁ =

К₂⁼ х₂⁼

Вычисление статистики и определение значений по таблице 4

1. Случай д! <К^+ К₂□

1. Случай — > — □

Щ П2

Значения F_r и f₂ определяют по 8.3.2 (форма С-2)

Fi = ; ^ = ; f₂ =

Потаблице4 для q = (1 —а/2),^ и f₂ (при необходимости применяют интерполяцию) определяют -а/2 (^f1> h) ⁼

2. Случай — <— □

Пі Т12

Значения F₂, f, и f₂ определяют по 8.3.1 (форма С-1)

F₂ = ; f-| = ;f₂=

По таблице4 для q = (1 — а/2), и/₂(при необходимости применяют интерполяцию) определяют

2. Случай т] і > + К₂

1. Случай — > —

Ш П2

Значения F^,f^ и f₂ определяют по 8.3.2 (форма С-2)

Fi = ; Л] = ',f₂=

По таблице 4 для q = 1 — а/2, и f₂ (при необходимости применяют интерполяцию) определяют ^F1 - а/2 (^І’ ⁼

2. Случай — < — О

Ш П2

Значения F₂, f| и f₂ определяют по 8.3.1 (форма С-1).

^F2^{= =}'’^f2 ⁼