Страница 11: ДСТУ-Н Б EN 1998-4:20ХХ. Проектування сейсмостійких споруд. Частина 4. Силоси, резервуари та трубопроводи (60842)

Гнучкий розподіл тиску залежить від мод вібрації системи резервуар-рідина, серед яких інтерес представляє тільки мода з однією кільцевою хвилею наступного типу:

The flexible pressure distribution depends on the modes of vibration of the tank-fluid system, among which only those with one circumferential wave, of the following type, are of interest:

(,) = f()cos (A.18)

У наступному термін “фундаментальна" або перша частота, або перша мода не відноситься до реальних фундаментальних мод повного резервуару, а тільки до мод типу виразу (A.18).

Радіальний розподіл гнучкого ударного тиску на дні резервуару є кількісно таким же самим, як і для жорсткого ударного тиску. Виходячи з допущення, що моди відомі, гнучкий розподіл тиску на стінки має наступну форму:

In the following, the term fundamental or first frequency, or first mode, is not related to the real fundamental modes of the full tank, but only to eigenmodes of the type of expression (A.18).

The radial distribution of the flexible impulsive pressure on the tank bottom is qualitatively the same as for the rigid impulsive pressure. Assuming the modes as known, the flexible pressure distribution on the walls has the form:

(A.19)

де:

where:

(A.20)

(A.21)

(A.22)

_s  — масова щільність оболонки, s() — її товщина і A_fn(t) — реакція прискорення (по відношенню до її основи) простого осцилятора, що має період і коефіцієнт демпфування моди n. Фундаментальної моди (n=1) зазвичай достатньо, так що у виразах (A.19), (A.21), (A.22) індекс моди, n, і підсумовування по усіх модальних вкладах опускаються.

У більшості випадків гнучких резервуарів, тиск р_f(·) у виразі (A.19) забезпечує домінуючий вклад у загальний тиск завдяки тому факту, що, у той час, як жорсткий ударний вплив - вираз (A.1) - змінюється з прискоренням грунту A_g(t), гнучкий вплив - вираз (A.19) - змінюється з прискоренням реакції A_fn(t), яка для звичайного діапазону періодів системи "резервуар-рідина" істотно збільшене по відношенню до A_g(t).

Для визначення форми першої моди резервуару, передбачаються наступні ітераційні процедури в [2], [3]. Пробна форма вибирається для f() у виразах (A.18)-(A.22) (форма пропорційна , зазвичай є хорошим наближенням, особливо для вузьких тонких резервуарів). Позначивши з f^і(), форма, яка використовується в і-й ітерації, “ефективна” масова щільність оболонки оцінюється як:

_s   is the mass density of the shell, s() is its thickness and A_fn(t) is the response acceleration (relative to its base) of a simple oscillator having the period and damping ratio of mode n. The fundamental mode (n=1) is normally sufficient, so that in expressions (A.19), (A.21), (A.22), the mode index, n, and the summation over all modal contributions are dropped.

In most cases of flexible tanks, the pressure р_f(·) in expression (A.19) provides the predominant contribution to the total pressure, due to the fact that, while the rigid impulsive term - expression (A.1) - varies with the ground acceleration A_g(t), the flexible term -expression (A.19) - varies with the response acceleration A_fn(t), which, for the usual range of periods of the tank-fluid systems, is considerably amplified with respect to A_g(t).

For the determination of the first mode shape of the tank, the following iterative procedure is suggested in [2], [3]. A trial shape is selected for f() in expressions (A.18)-(A.22) (a shape proportional to  is usually a good approximation, especially for slender tanks). Denoting with f^і() the shape used in the i-th iteration, an ‘effective’ mass density of the shell is evaluated as:

(A.23)

де p^і_f() - значення тиску, що оцінюється з виразу (A.19) на і-му кроці.

Ефективна масова щільність з виразу (A.23) може потім використовуватися в конструктивному аналізі резервуару для оцінки форми моди в (і + 1)-й ітерації і далі до досягнення сходження.

Фундаментальна кругова частота системи “резервуар-рідина” може оцінюватися за допомогою наступного приблизного виразу, виведеного з [4] для сталевих резервуарів:

where p^і_f() is the value of the pressure evaluated from expression (A.19) at the i-th step.

The effective mass density from expression (A.23) may then be used in a structural analysis of the tank to evaluate the mode shape in the (і + 1)-iteration, and so forth until convergence.

The fundamental circular frequency of the tank-fluid system may be evaluated by means of the following approximate expression, derived in [4] for steel tanks:

(для =1/3)

(for =1/3)

(A.24)

де E модуль пружності матеріалу стінки резервуару.

where E is the elastic modulus of the material of the tank wall.

Зсув в основі дорівнює:

The base shear is:

Q_f(t) = m_fA_f(t) (А.25)

де:

where:

(А.26)

Момент безпосередньо над дном резервуару може розраховуватися таким чином:

The moment immediately above the tank bottom may be calculated as:

M_f(t) = m_fh_fA_f(t) (А.27)

де:

where:

(A.28)

A.3.2 Комбінація умов тиску, завдяки горизонтальній складовій сейсмічного впливу

A.3.2.1 Загальні процедури

Загальний тиск з урахуванням часу в гнучких резервуарах є сумою жорсткого ударного тиску з урахуванням часу (вираз (A.1)), конвективного тиску (вираз (A.7)), і гнучкого тиску (вираз (A.19)), кожен з яких по-різному розподіляється по висоті і має різні зміни з часом. Зсув основи з урахуванням часу, який викликаний цими тисками (вирази (A.3), (A.11) і (A.25)) має наступний вигляд :

А.3.2 Combination of the pressure terms due to horizontal components of the seismic action

A.3.2.1 General procedures

The time-history of the total pressure is in flexible tanks is the sum of the time-histories of the rigid impulsive pressure (expression (A.l)), of the convective one (expression (A.7)), and of the flexible pressure (expression (A.19)), each of them differently distributed along the height and having a different variation with time. The time-history of the base shear produced by these pressures (expressions (A.3), (A11) and (A.25)) is:

(A.29)

де   A_cn(t)  - загальне або абсолютне прискорення реакції простого осцилятора з круговою частотою _cn (вираз (A.9)) і коефіцієнт демпфування, відповідний реакції розплескування, відносяться до базового прискорення A_g(t), тоді як A_f(t) - прискорення реакції (що відноситься до основи) простого осцилятора кругової частоти _f (вираз (A.24)) і демпфування, характерне для системи "резервуар - рідина", також відносяться до A_g(t).

Якщо індивідуальні максимуми умов у виразі (A.29) відомі, наприклад, зі спектру реакції абсолютних і відносних прискорень, відповідні тиски на резервуар, потрібні для детального аналізу напруги, можуть бути отримані шляхом поширення результуючої кожного з трьох членів у виразі (A.29) по стінках і дну резервуару відповідно до застосовного розподілу тисків. Для прискорення процесу проектування, маси m_i, m_cn и m_f, остання з яких грунтується на передбачуваній формі першої моди, розраховані як функції відношення  і доступні в табличній формі або у вигляді графіків (див., наприклад, Рисунки A.2(a), A.4(a), стовпці 4 і 5 в Таблиці A.2 і [4]). Використання виразу (A.29) у поєднанні зі спектрами реакції ставить, однако, питання про комбінацію максимумів. Окрім необхідності виведення відносного спектру реакції прискорення для A_f(t), не існує точного способу комбінування піку функції A_g(f) з піком функції A_f(t). Насправді, оскільки вхідна величина і її реакція не можуть передбачатися незалежними в діапазоні відносно високих частот, правило "квадратного кореня з суми квадратів" не є досить точним. З іншого боку, складання індивідуальних максимумів могло б привести до надмірно обережних оцінок.

За наявності вказаних утруднень були запропоновані різні приблизні підходи, грунтовані на вищезгаданій теорії. Три з них, детально представлені в [4], [5], приписуються Велетсосу і Янгу, Харуну і Хуснеру або Шарфу [4].

where   A_cn(t)  is the total or absolute response acceleration of a simple oscillator with circular frequency _cn (expression (A.9)) and damping ratio appropriate for the sloshing response subjected to a base acceleration A_g(t) while A_f(t) is the response acceleration (relative to the base) of a simple oscillator of circular frequency _f (expression (A.24)) and damping appropriate for the tank-fluid system, also subjected to A_g(t).

If the individual maxima of the terms in expression (A.29) are known, e.g. from a response spectrum of absolute and relative accelerations, the corresponding pressures on the tank needed for a detailed stress analysis may be obtained by spreading the resultant of each of the three terms in expression (A.29) over the tank walls and floor according to the relevant distribution of pressures. To expedite the design process, the masses m_i, m_cn and m_f, the latter based on assumed first mode shapes, have been calculated as functions of the ratio  and are available in tabular form or in diagrams (see, for example, Figures A.2(a), A.4(a), columns 4 and 5 in Table A.2 and [4]). Use of expression (A.29) in combination with response spectra, however, poses the question of the combination of the maxima. Apart from the need to derive a relative acceleration response spectrum for A_f(t), there is no accurate way of combining the peak of A_g(f) with that A_f(t). As a matter of fact, since the input and its response cannot be assumed as independent in the range of relatively high frequencies under consideration, the ^‘square root of the sum of squares’ rule is not sufficiently accurate. On the other hand, addition of the individual maxima could lead to overconservative estimates.

Given these difficulties, various approximate approaches based on the theory above have been proposed. Three of these, presented in detail in [4], [5], are due to Veletsos and Yang, Haroun and Housner, or Scharf [4].

Підхід Велетсоса і Янга полягає в заміні виразу (A.29) наступним виразом:

The Veletsos and Yang approach consists in replacing expression (A.29) with the following:

(A.30)

тобто, виходячи з допущення, що повна ударна маса реагує з посиленим абсолютним прискоренням у відповідь системи гнучкого резервуару (А_fa(t)=A_f(t)+A_g(t)) з циклічною частотою _f (вираз (A.24)) і демпфуванням, що відповідає системі "резервуар - рідина". Максимум A_fa(t) виходить безпосередньо з відповідного спектру реакції. Повна сила зсуву в основі може бути приблизно оцінена виразом:

i.e., in assuming the entire impulsive mass to respond with the amplified absolute response acceleration of the flexible tank system (А_fa(t)=A_f(t)+A_g(t)) with circular frequency _f (expression (A.24)) and damping appropriate for the tank-fluid system. The maximum of A_fa(t) is obtained directly from the appropriate response spectrum. The total base shear may be evaluated approximately by the expression:

Q_w(t) = (₀m)A_fa(t) (A.31)

де (₀m) — ефективна маса стінки резервуару, що бере участь в першій моді, де m — загальна маса системи "резервуар - рідина", а коефіцієнт ₀ може бути визначений з Таблиці A.1.

where (₀m) is the effective participating mass of the tank wall in the first mode, where m is the total mass of the tank-fluid system and the factor ₀ may be determined from Table A.1

Таблиця A.1 - Ефективна маса стінки резервуару, що бере участь в першій моді, як доля цілого, в процедурі Велетсоса і Янга

Table А.1 — Effective participating mass of tank wall in first mode as fraction of the total, in the Veletsos and Yang procedure

H/R

0,5

1,0

3,0

₀

0,5

0,7

0,9

Процедура Велетсоса і Янга надає оцінку верхньої межі, прийнятну для відношення H/R, що не набагато перевищує 1. Вище цього значення були запропоновані поправки для зниження консервативності. З точки зору консервативного характеру методу, дією інерції резервуару зазвичай буває можна нехтувати.

У підході Харуна і Хуснера вираз (A.29) записується у формі, прийнятній для використання спектру реакції, а саме:

The Veletsos and Yang procedure provides an upper bound estimate, acceptable for HIR ratios not much larger than 1. Above this value, corrections to reduce the conservativeness have been suggested. In view of the conservative nature of the method, the effects of tank inertia may generally be neglected.

In the Haroun and Housner approach expression (A.29) is written in a form suitable for the use of the response spectrum, as:

(A.32)

Маси m_i и m_f представляються на графіках як функції H/R и s/R, разом з висотами, у яких ці маси повинні бути розташовані для отримання правильного значення моменту основи [5]. Дії інерції стінки резервуару включаються в значення мас та їх висот.

Правило “квадратного кореня з суми квадратів” використовується для комбінування максимальних значень трeх складових у виразі (A.32).

Нарешті, грунтуючись на тому факті, що абсолютне і відносне прискорення реакції не відрізняються помітним чином у відповідному діапазоні частот, в підході Шарфа [4] вираз (A.29) записується таким чином:

The masses m_i and m_f are given in graphs as functions of H/R and s/R together with the heights at which these masses should be located to yield the correct value of the base moment [5]. The effects of the inertia of the tank wall are incorporated in the values of the masses and of their heights.

The “square root of the sum of squares” rule is used to combine the maximum values of the three components in expression (A.32).

Finally, based on the fact that absolute and relative response accelerations do not differ appreciably in the relevant frequency range, in the Scharf [4] approach expression (A.29) is written as:

(A.33)

Правило "квадратного кореня з суми квадратів" використовується для комбінування максимальних значень трeх складових у виразі (A.34).

The ‘square root of the sum of squares‘ rule is used to combine the maximum values of the three components in expression (A.34).

(A.34)