Исходные данные. Размеры плиты 5980 ?? 3580 мм, толщина 220 мм. Диаметр пустот d = l40 мм, шаг пустот svac = 200 мм, количество пустот n = 17. Толщина ребер: крайнего — b??o = 90 мм, промежуточного — b?? = 60 мм. Толщина (высота) верхней и нижней полок h??f = hf =40 мм.

Плита после установки на нее перегородок защемляется на опорах в платформенных стыках стеновыми панелями. Глубина опирания плиты: по коротким сторонам 80 мм, по длинной стороне 100 мм.

Расчетные пролети плиты: l1 = 5980 — 2 ?? 0,5 ?? 80 = 5900 мм; l2 = 3580 — 0,5 ?? 100 = 3530 мм; ?? = l2/l1 = 0,6.

Бетон плиты тяжелый класса по прочности на сжатие В20. Сопротивления бетона Rb,ser = 15 МПа, Rbt,ser = 1,4 МПа, Rb = 11,5 ?? 0,9 = 10,3 МПа, Rbt = 0,9 ?? 0,9 = 0,81 МПа. Начальный модуль упругости бетона Eb = 24000 МПа.

Напрягаемая арматура из стали класса Ат-V диаметром 10 — 12 мм, для которой Rs,ser = 785 МПа, Rsp = 680 МПа, Еsp = 190 000 МПа, цена 1 т — 181 руб.

Ненапрягаемая арматура из проволоки класса Вр-I диаметром 5мм, для которой Rs,ser = 395 МПа, Rs =360 МПа, Еs = 170000 МПа, цена 1 т — 202 руб.

Защитные слон: для напрягаемой арматуры — 25 мм, для ненапрягаемой арматуры — 15 мм.

Нагрузка на плиту равномерно распределенная.

Нормативная нагрузка на 1 м плиты: от собственного веса плиты 4 кН; от веса пола 0,1 кН, от веса перегородок 1,3 кН, временная нагрузка 1,5 кН, в том числе длительная 0,3 кН.

Расчетные нагрузки с учетом коэффициента надежности по назначению ??n = 0,95:

при расчете прочности

q = (1,1??4 + 1,2??0,1 + 1,1??1,3 + 1,3??1,5) 0,95 = 7,5 кН/м2 = 7,5??10-3 Н/мм2;

при проверке трещиностойкости

q1n = (4 + l,3) 0,95 = 5,0 кН/м2 = 5??10-3 Н/мм2;

q2n = (0,1 + 1,5) 0,95 = 1,52 кН/м2 = 1,52??10-3 Н/мм2;

при проверке прогибов и раскрытия трещин

q1l = q1n = 5 кH; q2l = (0,1 + 0,3) 0,95 = 0,4 кH/м2 = 0,4??10-3 Н/мм2.

Проверка прочности плиты вдоль пустот. Моменты инерции бетонного сечения плиты:

при изгибе вдоль пустот

I = l2h3/12 n??d4/64 = 3530??2203/12 3,14??17??1404/64 = 2,79/109 мм;

при кручении

Вычисляем безразмерный параметр

Приведенные толщины полок hf,red = h??f,red = h1 + 0,0569d = 40 + 0,0569??140 = 48 мм.

Прочность плиты по сечению вдоль средней по ее ширине пустоты без армирования проверяем по условию

Так как q = 7,5 кН/м2, то прочность без армирования не обеспечена. Необходимо предусмотреть установку арматуры.

Определение требуемой по условиям прочности арматуры. При расчете прочности плита считается свободно опертой по трем сторонам (двум коротким и одной длинной). Частичное защемление плиты в платформенных стыках не учитываем в запас прочности.

Расчетные высоты сечения соответственно вдоль пролетов l1, l2: h01 = 220 25 0,5 ?? 10 = 190 мм; h02 = 220 15 0,5 ?? 5 = 208 мм. Вдоль пролета l1 плита имеет комбинированное армирование. Примем предварительно, что площади напряженной и ненапряженной арматуры вдоль пролета имеют соотношение 3:1. Тогда для комбинированного армирования приведенное сопротивление арматуры Rs1 = (3Rsр + Rs)/4 = (3 ?? 680 + 360)/4 = 600 МПа, приведенная цена 1 т Cs1 = (3 ?? 181 + 202)/4 = 186 руб.

Для арматуры вдоль пролета l2 Rs2 = 360 МПа, Cs2 = 202 руб. Определяем коэффициент ??s = (Rs2Cs1)/(Rs1Cs2) = (369 ?? 186)/(600 ?? 200) = 0,56.

Изгибающий момент от расчетной нагрузки в среднем сечении при опирании плиты по балочной схеме по двум коротким сторонам М0 = ql12l2/8 = 7,5 ?? 5,92 ?? 3,530/8 = 115,2 кН??м = 115,2??106 Н??мм.

Проверим условие ??2 > 0,25??sh02/h01. Имеем ??2 = 0,62 = 0,36 > 0,25 ?? 0,56 ?? 202/190 = 0,15.

Условие выполнено.

Определим оптимальное по условию прочности армирование плиты: vopt = 0,5??sh02/(??h01) = 0,5 ?? 0,52 ?? 202/(0,6 ?? 190) = 0,495;

М2 = М0v2opt/(3??) = 115,2 ?? 0,4952/(3 ?? 0,6) = 15,7 ?? 106 Н??мм.

Определим требуемое армирование плиты. Высота сжатой зоны бетона

Так как х1 = 21,8 мм < h??f = 40 мм и х'2 = 1,28 мм < h??f = 40 мм, то сжатая зона проходит в пределах толщины полки. Поэтому требуемую площадь арматуры определяем как для прямоугольного сечения по формулам: As1 = x1l2Rb/Rs1 = 12,5 ?? 3530 ?? 10,3/600 = 757 мм2; Аs2 = x2l1Rb/Rs2 = 1,28 ?? 5900 ?? 10,3/360 = 216 мм2.

Ранее было принято, что площадь предварительно напряженной арматуры вдоль пролета l1 составляет 3/4 площади поперечного сечения всей арматуры в этом направлении. Тогда требуемая площадь предварительно напряженной арматуры Ар = 0,75 ?? 757 = 568 мм2.

Принимаем 8 стержней диаметром 10 мм из стали класса Ат-V, площадь сечения Ap1 = 628 мм2.

Требуемая площадь ненапряженной арматуры вдоль пролета l1 Аs1 = Areds1 — Aр1 = 757 628 = 129 мм2.

Принимаем 7 стержней диаметром 5 мм из проволоки класса Вр-1, площадь сечения As1 = 137 мм2 (шаг 400 мм).

Вдоль пролета l1 принимаем 16 стержней диаметром 5 мм из проволоки класса Вр-1, площадь сечения 313 мм (шаг 400 мм).

Проверка прочности ребер на срез. Расстояние по горизонтали от оси опоры плиты до центра первой пустоты So = (b??o + d)/2 = (90 + 140)/2 = 115 мм.

Прочность крайнего опорного ребра проверяем по формуле

Так как q = 7,5 кН/м2, то условие прочности для крайнего ребра выполнено.

Прочность ближайшего к опоре промежуточного ребра проверяем по формуле

Так как q = 7,5 кН/м2, то условие прочности для первого промежуточного ребра выполнено.

Расчет по образованию трещин. Нормальные трещины при изгибе плиты не возникают, если выполняется условие М ?? Мсrс, где М — изгибающий момент от нормативной нагрузки в сечении, для которого проверяется возможность образования трещин; Mсrc — момент, воспринимаемый сечением при образовании трещин.

Изгибающий момент М определим с учетом двух стадий работы плиты до и после защемления стенами.

По рис. 49 ??1 = 0,073, ??2 = 0,033, ??3 = 0,08. Тогда изгибающие моменты в среднем (Мп) и опорном (Моп) сечениях от нормативной нагрузки равны: Мп = (??1q1n + ??2q2n)l2l21 = 0,073 ?? 5 ?? 10-3 + 0,033 ?? 1,52 ?? 10-3)3530 ?? 59002 = 51 ?? 106 Н??мм; Моп = 1,1??3q2n l2l21 = 1,1 ?? 0,08 ?? 1,52 ?? 10-3 ?? 3530 ?? 59002 = 16,4 ?? 106 Н??мм2.

Проверим возможность образования трещин в середине пролета l1. Вдоль этого пролета плита имеет предварительно напряженное армирование. Поэтому момент Мсгс определяем по формуле Мсгс = Rbt,serWpl + P(eop + r), где Wpl — момент сопротивления приведенного сечения для крайнего растянутого волокна с учетом неупругих деформаций растянутого бетона; Р — усилие предварительного напряжения за минусом всех потерь; eop — эксцентриситет усилия предварительного обжатия Р относительно центра тяжести приведенного сечения; r — расстояние от центра тяжести приведенного сечения до ядровой точки, наиболее удаленной от проверяемой растянутой грани сечения.

Для проверки трещиностойкости плиты при ее изгибе вдоль пролета l1 примем расчетное двутавровое сечение, в котором круглые пустоты заменены эквивалентными по площади квадратными со стороной а = 124 мм.

Расчетное сечение имеет следующие геометрические размеры: bf = b??f = l2 = 3530 мм, b = l2 na = 3530 — 17 ?? 124 = 1422 мм; hf = h??f = hred = 48 мм. Вычислим параметры: y1 = (bf b)hf/(bh) = (3530 — 1422)48/(1422 ?? 220) = 0,323; y??1 = 2y1 = 2 ?? 0,323 = 0,647.

Так как коэффициент армирования плиты вдоль пролета l1 ?? = (628 + 156)/(220 ?? 3530) = 0,001 < 0,01, то момент сопротивления Wpl определяем без учета влияния арматуры по формуле Wpl = (0,292 + 0,75y1 + 0,057y??1) = (0,292 + 0,75 ?? 0,323 + 0,075 ?? 0,647) 122 ?? 2202 = 4,01 ?? 107 мм3.

Для определения усилия предварительного натяжения Р необходимо задать начальное значение напряжения арматуры ??sp и вычислить потери натяжения. Примем, что натяжение арматуры осуществляется электротермическим способом на упоры, при котором рекомендуется назначить напряжение ??sp из условия ??sp = Rs,ser — р, где Rs,ser = 785 МПа; р = 30 + 360/l = 30 + 360/6 = 90 МПа (l = 6м — длина натягиваемого стержня, м). При максимально допустимом предварительном напряжении арматуры ??sp = 785 — 90 = 685 МПа.

Определим первые потери предварительного напряжения: потери от релаксации ??1 = 0,03??sp = 0,03 ?? 695 = 21 MПa; потери от температурного перепада ??t между температурами нагреваемого стержня и упоров; величины ??t примем по СНиП 2.03.01—84, равными 65 °С, тогда ??2 = 1,25 ??t = 1,25 ?? 65 = 81 МПа;

потери ??3 = ??4 = ??5 = 0;

потери от быстронатекающей ползучести ??6 определяется в зависимости от значения напряжений в бетоне ??bp на уровне центра тяжести напряженной арматуры с учетом потерь ??1 ... ??5. Для определения напряжений ??bp вычислим следующие величины:

усилие предварительного напряжения за минусом потерь ??1 ... ??5

площадь приведенного сечения Аred = 3530 ?? 202 — 17 ?? 1242 = 5,19 ?? 105 мм2;

эксцентриситет усилия в предварительно напряженной арматуре относительно центра тяжести приведенного сечения еор = уred ap = 110 — 30 = 80 мм;

изгибающий момент от собственного веса плиты в ее среднем сечении при изгибе по балочной схеме вдоль пролета l1 Mg = gl2l21/8 = 4 ?? 10-3 ?? 3530 ?? 59002 = 6,14-107 Н??мм (g = 4 кН/м2 = 4 ?? 10-3 Н/мм2 — распределенная нагрузка от собственного веса плиты).

Тогда ??bp = P1/Ared + (P1eop Mg)eop/I = (3,725 ?? 105/5,15 ?? 105 + (3,725 ?? 105 ?? 80 6,14 ?? 107) ?? 80/2,79 ?? 10o = 0,182 МПа.

Знак «минус» означает, что напряжения растягивающие. В этом случае потери напряжения ??6 = 0.

Первые потери предварительного напряжения

Определим теперь вторые потери предварительного напряжения:

потери от релаксации напряженной арматуры при натяжении на упоры ??i = 0;

потери от усадки ??s = 40 MПа;

потери от ползучести бетона не учитываем, так как напряжения ??bр растягивающие.

Тогда вторые потери

Суммарные потери ?? = 102 + 40 = 142 МПа > 100 МПа. Поэтому найденное значение потерь не увеличиваем.

С учетом всех потерь усилие обжатия

Расстояние r определяем как для упругого тела по формуле r = I (yredAred) = 2,79 ?? 109/(110 ?? 5,15 ?? 105 = 49,2 мм.

С учетом найденных величин Mcrc = l,4 ?? 4,01 ?? 107 + 3,47 ?? 105(80 + 49,2) = 101 ?? 106 H??мм > Мn = 51 ?? 106 Н??мм. Трещины в пролете не образуются.

Проверим теперь возможность образования трещин на опоре при защемлении плиты стенами. Так как изгибающий момент Mocrc = Rbt,serI/yred = 1,4 ?? 2,79 ?? 109/110 = 35,5 ?? 106 Н??мм > Mon = 16,4 ?? 106 Н??мм, то трещины на опоре не образуются.

При проверке прочности плиты на изгиб вдоль пролета l2 было установлено, что возможно образование трещин вдоль пустот. При проверке трещиностойкости плиты необходимо вместо расчетной принять нормативную нагрузку на плиту qn, а вместо расчетного сопротивления бетона растяжению Rbt ?? величину Rbt,ser.

Условно образования трещин

Так как qn = qn1 + qn2 = (5 + 1,52)10-3 = 0,00652 Н/мм2, то при проверке по второй группе предельных состояний трещины вдоль пустот не образуются.

Проверка прогибов плиты. Так как в плите при действии нормативных нагрузок трещины не образуются, то прогибы определяем как для упругого тела. В первом приближении прогибы определим как для плиты, свободно опертой по двум коротким сторонам по формуле

Прогиб, подсчитанный для балочной схемы опирания, меньше предельно допустимого. Поэтому нет необходимости уточнять значение прогиба плиты с учетом опирания по трем сторонам и защемления на опорах.

Пример 10. Монолитная плита перекрытия сплошного сечения, защемленная по трем сторонам (рис. 55).

Рис. 55. Схемы к примеру расчета монолитной плиты перекрытия

Исходные данные. Плита толщиной 13 см в конструктивной ячейке 6 ?? 6 м сборно-монолитного здания с внутренними стенами из монолитного бетона и навесными фасадными панелями. Плита перекрытия формуется в едином цикле с внутренними стенами. Внутренние стены и плиту перекрытия изготавливают из тяжелого бетона класса по прочности В15.

Расчетная схема плиты: плита защемлена по трем сторонам и не имеет опоры по четвертой стороне.

Расчетные пролеты плиты: l1 = 6000 — 160 = 5840 мм; l2 = 6000 80 = 5920 мм.

Соотношение сторон плиты ?? = l2/l1 = 5920/5840 ?? 1 < 1,5 — плита работает на изгиб из плоскости в двух направлениях.

Рабочие высоты сечения плиты: h01 = 160 20 = 140 мм; h02 = 160 25 = 135 мм.

Унифицированные нагрузки на плиту:

без учета собственного веса р = 4,5 ?? 10-3 Н/мм2; рп = 3,6 ?? 10-3; pl = 2,4 ?? 10-3 Н/мм2;

с учетом собственного веса g = 0,16 ?? 2500 ?? 9,8 = 4 ?? 103 Н/м2 = 4 ?? 10-3 Н/мм2.

Расчетные нагрузки с учетом коэффициента надежности по назначению yn = 0,95:

q = 0,95(p + l,lg) = 0,95(4,5-3 + 1,1 ?? 4 ?? 10-3) = 8,45 ?? 10-3 Н/мм2;

qn = 0,95(pn + g) = 0,95(3,6 ?? 10-3 + 4 ?? 10-3) = 7,22 ?? 10-3 Н/мм2;

ql = 0,95(pl + g) = 0,95(2,4 ?? 10-3 + 4 ?? 10-3) = 6,l ?? 10-3 Н/мм2.

Расчетные характеристики бетона и арматуры.

Для тяжелого бетона класса В15 естественного твердения: Rb = 8,5 ?? 0,9 = 7,65 МПа; Rbt = 0,75 ?? 0,9 = 0,675 МПа;

при расчете прогибов плиты Rbn = Rb,ser = 11 МПа; Rbt,n = Rbt,ser = 1,15 МПа; Eb = 23 ?? 103 МПа.

Характеристика арматуры:

стержни периодического профиля класса А-III диаметром 6 — 8 мм — Rs = 355 МПа; Rsn = Rs,ser = 390 МПа; Es = 20 ?? 104 МПа;

проволочная арматура периодического профиля класса Вр-1, диаметром 4 мм — Rs = 370 МПа; Rsn = Rs,ser = 405 МПа; Еs = 17 ?? 104 MПа;

диаметром 5мм — Rs = 360 МПа; Rsn = Rs,ser = 395 МПа; Es = 17 ?? 104 МПа.

Нагрузка образования трещин в опорных и пролетном сечениях плиты

По табл. 13 при ?? = 1: а01 = 3,3, а02 = 4,2, а03 = 4,8;

qcrc,1 = 3,3(1602 ?? 1,15)/58402 = 2,85 ?? 10-3 Н/мм2 < qn;

qcrc21 = 3,3(1602 ?? 1,15)/58402 = 3,62 ?? 10-3 Н/мм2 < qn;

qcrc,3 = 3,3(1602 ?? 1,15)/58402 = 4,14 ?? 10-3 Н/мм2 < qn.

В плите в опорных и пролетном сечении образуются трещины, тогда при назначении арматуры должны удовлетворяться условия: в опорных сечениях аsi ?? as,crc, в пролетном сечении 0,5(as1 + as2) ?? as,crc.

Момент, воспринимаемый сечением плиты при образовании трещин на длину b = 1 м,

mcrc = (bh2Rbt,ser)/3,5 = (1000 ?? 1602 ?? 1,15)/3,5 = 8,41 ?? 106 Н??мм.

Требуемое сечение арматуры для восприятия mcrc:

Ao = mcrc/(Rbbh20) = (8,41 ?? 106)/(7,65 ?? 1000 ?? 1402) = 0,056; ?? = 0,97;

as,crc = mcrc/(Rs??ho) = (8,41 ?? 106)/(355 ?? 0,97 ?? 140) = 173 мм2.

Расчет несущей способности плиты. При одностороннем сопряжении перекрытия с несущей стеной опорная сетка анкеруется поперечным стержнем, заведенным в толщу стены на глубину lan = 120 мм, тогда:

поверхность выкалывания на длине b = 1000 мм

s = 2lan b = 2 ?? 120 ?? 1000 = 2,4 ?? 105 мм2;

растягивающее усилие, воспринимаемое анкером,

nan = 0,5sRbt = 0,5 ?? 2,4 ?? 105 ?? 0,675 = 0,81 ?? 105 Н.

Максимальное усилие, воспринимаемое анкером,

man = 0,9nanho = 0,9 ?? 0,81 ?? 105 ?? 140 = 10,2 ?? 106 Н??мм;

требуемое армирование для восприятия момента man

Ао = (10,2 ?? 106)/(7,65 ?? 1000 ?? 1402) = 0,068; ?? = 0,965;

as,an = (10,2 ?? 106)/(355 ?? 0,965 ?? 140) = 213 мм2.

Плита работает с трещинами по опорному сечению. Площадь арматуры подбираем из условий

m??1 ?? man (a??s,1 ?? as,an);

m1 ?? mcrc(a??s,1 ?? as,crc).

Принимаем проволоку диаметром 10 мм с шагом 100 мм из стали класса Вр-I (a??s,1 = 196 мм2).

Момент, воспринимаемый сечением плиты на данной опоре, m??1 = rsa??s,1 (ho 0,5rsa??s,1/Rbb) = 360 ?? 196(140 — 0,5 ?? 360 ?? 196)/(7,65 ?? 1000) = 9,55 ?? 106 Н??мм.

Поперечный анкерующий стержень назначается в зависимости от усилия, приходящегося на один продольный стержень опорной сетки,

Анкерующий стержень принимаем диаметром 8 мм из стали класса А-III.