---

ет - угол перигея - угол между положительным направлением линии узлов и направлением на перицентр;

і- наклонение орбиты - угол между плоскостью экватора и плоско­стью орбиты. Угол і изменяется от 0° до 180°;

3 - угол истинной аномалии, образуемый радиусом-вектором, ко­торый связывает начало координат КА, с направлением на (Г.2)

где д - гравитационная постоянная;

Q Рис, Г.1 - Кеплеровы элементы невозмущенного движения >

Задают сетку по времени {/,}, значения г_а и г„ и решают трансцен­дентное уравнение (Г.2) итерационным методом.

Для каждого момента времени f, получают соответствующее ему зна­чение . Последующее применение зависимости (Г.2) дает значение ис­тинной аномалии Д.

Величина и параметры орбиты ст, £2, і полностью определяют значения координат x_i,y_i,z_i положения КА на искомый момент времени /,в абсолютной геоцентрической системе:

Xj = р, [cos(i9 + ят) cos £2 - sin(.9 + ст) sin fl cos f] (Г.З )

J7 = Pt [cos(.9 + ст) sin £2 + sin(j9 н ст)cos Q cos і], (Г.4)

z, = p_i sin(,9 + ст) sin і, (Г.5)

где . (Г.6)

" l+есозд ^V7

Для точного вычисления элементов орбиты КА учитывают возму­щающие факторы, которые вызывают отклонение от кеплеровского дви­жения. К этим факторам в первую очередь относят дополнительные силы притяжения Земли, обусловленные ее не сферичностью, силы притяжения Луны и Солнца.

Возмущения, вызванные не центральностью поля тяготения Земли приводят к вековому «уходу» линии узлов Д£2 и к вековому «уходу» ар­гумента перигея Дет. Смещение Д£2 и Дет за один оборот КА вычисляют по формулам [5]: F а (1-е )

Л ст = — ^Ej (5 cos²і -1), (Г, 8)

2a²(l-e²)²⁷

где Е₃ = 4.1378 -10⁵ - параметр эксцентриситета гравитационного поля Зем­ли.

3

і * -- [5cos²/sin² ст і (I -<?²)(2 - 5sin² ет)], (Г. 12)

Vl-e²

(Г.9)

'Є^/Х-е² sin² zsin2w,

15# //j! а

⁴ РІП;

OCT 134 -1044 -2007

Вековые изменения элементов орбиты КА за один оборот за счет возмущающего влияния Солнца и Луны оценивают следующими зависи­мостями:

= _^L(l-_e²₊5e²sm²ar), (Г.Ю)

.. 15# /Zj (a V e². _ л-11

Дг = — ~ -_f- --sinlzsin 2cr, (Г.11)

8 p W VT7

. 3n zz, (a

Aw =——

2 /z^r,

где - расстояние притягивающего тела (Луны, Солнца) от Земли,

//, /Zj — гравитационные параметры Земли и притягивающего тела, соответственно.

Для представления положения КА в виде полярных сферических координат (r^abs, , Я^а/”), где r^^s - расстояние до центра Земли, ^-ши­

рота, долгота, решают следующую систему тригонометрических уравнений

cos^cos^^, (Г.13)

Л

cos sin 2*-4-, (Г. 14)

^ri

(Г. 15)

где r₍^at>c= ~⁺УЇ » ^х!>УіУ^гі определятся соотношениями (Г.3)-(Г.5).

Для представления положения КА в заданный момент времени в обычно используемой в практике относительной геоцентрической системекоординат л), оси которой совпадают с осями абсолютной системы координат в момент, когда начальный гринвичский меридиан пересекает ось х абсолютной системы координат, выполняют преобразование

r_t=r^, Л =^^С+Й,г, (Г.16)

где Q - угловая скорость вращения Земли,

т - местное звездное время гринвичского меридиана.

Г.2 Метод расчета L-B координат

Параметр L в дипольном поле имеет одно и то же значение во всех точках магнитной силовой линии. Во внешних слоях магнитосферы (£>5-6) магнитное поле Земли описывают с помощью так называемого смещенного диполя [10].

Для смещенного диполя:

(rcosAcosp~r₀cosA^cos^)²+ (г cos Л sin cos Af, sin^_e)^z +

V+(r sin A - r_o sinA_o)²

A_m = arcsin{[(rsin2“r_osin%_o)sni2₀ -Ь(гС0зЛС08$9-Г_осозА_оcospjcos^cos^ +

+ (r cos A sin <p r_a cos A_B sin ^>_o) cos A_g sin (p_o] I r_m}, (Г. 18)

где A_a = 79°, = 291’ В.Д., r_a = 430 km, A_b = 15.5°, <p₀ -150.5°.

Вычисление L в этой области производят с помощью простого соот­ношения

Г

L

(Г. 19)

~ ^гл^—

R_a cos А_т

где R_o— радиус Земли,

а значение В по дипольной зависимости

(Г.20)

где М, = 8.06-10²⁵Гс*см³-магнитный момент Земли;

і I J

¹ OCT 134-1044-2007

1 множитель g учитывает изменения момента во времени

Во внутренних слоях магнитосферы магнитное поле имеет сложную

1 структуру. В этом случае значения вертикальной В..,меридиональной B_s и

азимутальной В_л составляющих геомагнитного поля определяют с помо- ^! щью соотношений

* / d V ^п ( х

в

(Г.21)

(Г,22)

(Г.23)

_г=£|~1 ^s*^nтЛ) в™ (cos#) ’

Г /

« / р ^и*2 я

В

sin#

_Л = ^cosтЛ~ ^s’ⁿ отЛ)

n=l ? ) ш=0

в₀=-£fEfe ^c°^{s +sinтл}) ~’^^cos
* de sin#

где P"(cos#) - присоединенные функции Лежандра степени п порядка

# = 90°-??;

~~ гауссовы коэффициенты, определяющие величину и ори­

ентацию мультиполей.

Присоединенные функции Лежандра и их производные рассчитывают с помощью рекуррентных соотношений [6]. Значения коэффициентов q™,h™ приводятся, например, в [7, 8], а их производные по времени - в [8].

Полную величину магнитного ноля вычисляют по формуле

В = + Bj + . (Г.24)

Значения В_г, В_й и В_д позволяют произвести построение магнитной силовой линии интегрированием следующих дифференциальных уравне­ний:

у = ^²⁵)

as Вd

(Г.26)

(Г.27)

B _ cr B₉ds г В ’

dZ _ er В_лds rsinB В

В „

где СГ = —^r—, если силовая линия строится в сторону от Земли и

I^Sr I

если силовая линия строится в сторону Земли;

• ї - длина дуги силовой линии [9].

В данном магнитном поле, в отличие от дипольного, захваченная час­

тица пересекает силовые линии, экваториальное расстояние которых име­ет различную величину. В этом случае параметр L рассчитывают более сложным способом. Для нахождения параметра L используют тот факт, что для областей пространства с L < 5 параметр L имеет с точностью до 1% одинаковое значение вдоль силовой линии [10]. Это свойство позволя­ет несколько упростить процедуру расчета параметра L путем присвоения магнитной оболочке значения L, которое она имеет на магнитом экваторе. Значение I, соответствующее магнитной оболочке связано с величиной поля В_о оболочки на экваторе простым соотношением [10]

L = 3/0.311653/Х • (Г.28)

Распределение магнитного поля вдоль магнитной оболочки дают уравнения (Г.25) - (Г.27).

Методика расчета L, в -координат по заданным геоцентрическим координатам (г, Л, <р) может быть реализована следующим образом:

• всю область магнитосферы разбивают на две области: внешнюю (L > 5.5) и внутреннюю L < 5.5;

• во внешней области координату В вычисляют по зависимости (Г.20), а координату L - по соотношению (Г. 19) в соответствии с задан­ными значениями (г, Л, р).;

• во внутренней области координату В вычисляют по зависимо­стям (Г.21) - (Г.24);

координаты L из заданной точки пространства определяют путем интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (Г.25) - (Г.27) (с учетом соотношений (Г.21) - (Г.24)). Интегрирование проводят до достижения точки магнитного экватора. Найденное в этой точке значение магнитного поля позволяет определить координату L по зависимости (Г.28).Приложение Д
(обязательное)

Метод расчета энергетических спектров заряженных частиц ЕРПЗ на орбитах Земли

Усредненный интегральный поток электронов и протонов Ф(Е > EJ, имеющих энергию Е > E_s, определяют как

1 V

Ф(£>^)=-—- Ь(£>Е„Г)Л, (Д.1)

‘к to •

где /_0>t_k- время детектирования начала и конца воздействия, соответст­венно;

(?(£ > E_s,f) - интенсивность потока частиц, воздействующих на КА в момент времени с

Функцию <p(E>E_s,f) определяют как интенсивность Y(E > E_li,L(t),B(t)') потока частиц ЕРПЗ в той точке траектории КА, которая имеет координа­ты (ДО,

Околоземное пространство разбивают на У + і оболочек. Каждой из получившейся таким образом областей присваивают ее среднее значение L_t (индекс і соответствует номеру А-области в порядке возрастания /.). Интервал изменений координаты В в каждой области разбивают наЛ' подинтервалов, при этом каждому подинтервалу присваивают индекс J. Таким образом все околоземное пространство оказывается разбитым на N_L х N_B число ячеек, координаты каждой которой определяются парой чи­сел (і,;).

Величину Уц(Е>Е_я) обозначают средним значением плотности пото­ка частиц в ячейке (/, /) и разностный аналог интеграла (Д.1) записывают в виде

(Д.2)

где Д _} означает время пребывания КА в ячейке (i, j).

Время Дг_<у определяют при вычисление движения КА по заданной траектории в L, В -координатах.

Вводится обозначение m._j= и выражение (Д.2) переписывают в виде

(

и->

Д-З)

который и определяет алгоритм численного расчета усредненных инте­гральных потоков электронов и протонов, действующих на космический аппарат.

Дифференциальную плотность потока частиц определяют следующим соотношением

(Д.4)

Для проведения операции дифференцирования в (Д.4) усредненные интегральные потоки протонов &(E>E_S), полученные с помощью соот­ношения (Д.1), аппроксимируют выражением [3]

^Ф^^{Е >Е}>^)=+ехР(”М) • (Д’⁵)

Коэффициенты аппроксимации а₃, Ь_иЬ₂ рассчитывают, например, с помощью решения задачи поиска минимума функционала

ў

(Д-6)

Г Ф_а(Е>ЯУ²

44 Ф(Е>Е,))

в пространстве ( а₃, а₂, а₃, Ь., Ь₂).

Дифференциальная плотность потока частиц имеет следующий вид

<P_a⁼f • ^{+ eX}P<"^A2^£) ’ (Д'⁷)

(a₃ +

Коэффициенты аппроксимации в выражениях (Д.5) и (Д.7) связаны

между собой: Oj = а_га₂, а'₂= а₂ + 1, = а₃,6, = b.b₇, Ь'_г= Ь₂.

Усредненные интегральные потоков электронов Ф(Е>Е₁)_> получен­

ные с помощью соотношения (Д.З), аппроксимируют выражением

^ф_м(Е > = «1 expH^+ftj expH^^+c^xpt-e^) (Д.8)

Аппроксимация дифференциальной плотности потока электронов имеет вид

=а ехр(~аЕ)+Ьехр(-Ь'₂Е²)+с ехр(-с'₂£) (Д.9)

Коэффициенты аппроксимации в выражениях (Д.8) и (Д.9) связаны

между собой: =а_{а₂, а'_г= а₂, =2/>,6₂,6' =b₂, с 1 -=Ci сг, с'з^Са

.Приложение E
(обязательное)
Метод расчета функции проникновения потоков заряженных
частиц ГКЛ и СКЛ в магнитосферу Земли

Свойства магнитного поля Земли таковы, что в данную точку око­лоземного пространства внутри ее магнитосферы из межпланетного про­странства проникают не все заряженные частицы космических лучей. Дифференциальные энергетические спектры потоков 34 СКЛ и ГКЛ, оп­ределенные в моделях для околоземного пространства вне магнитосферы Земли в соответствии с Приложением Б и Приложением В), трансформи­руют с учетом функции проникновения на заданную орбиту КА по фор­муле

где y^R/E)) - функция проникновения, которая является универсальной функцией для любого иона и зависит только от его магнитной жесткости

R_I(E) = ^E(E + 2mc¹), (Е.2)

где А_аQ₂и Е ~ массовое число, заряд и энергия (МэВ/нуклон) тяжелой заряженной частицы с зарядом z;

т - масса протона.

Функцию проникновения частиц дня заданной орбиты опреде­ляют при значении жесткости обрезания Rq/X) для вертикального направ­ления прихода частиц в точку с координатами А[11]

(Е.З)

где 3— А£~Е4тг- доля общего потока частиц, падающих из межпланетного пространства с «незатененных» Землей направлений ДО (то есть не поги­бающая на земной поверхности до прихода в заданную точку X(t)}. Эту величину определяют из эмпирического выражения

6 = (1 + coso))/2,

где<у = arctg[?7/(l — г})²] при Г}<1, о = тс 12 при i/ = l; t] = R₃/(R₃+ H) ;

X- радиус Земли;

Н- высота данной точки орбиты.

Задача расчета функции проникновения частиц с жесткостью R/Е) на заданную орбиту в течение заданного времени полета КА (А - С) сводится к расчету суммарного интервала времени полета КА At{R_z> Ro_c), в течение которого жесткость частицы R_Z(E) превышает жесткость вертикального геомагнитного обрезания 7?^.

Ошибка расчетных значений <Л74) при использовании в расчетах зна­чений жесткости вертикального геомагнитного обрезания Roc в наихуд­шем случае может достигать ~10 % по сравнению с «точными» расчетами.