---

р'<р₀— Р = 1 — Ф(и') =

А.2 Односторонний критерий для Н_о: р < р₀

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Заданное значение р₀ =

Выбранный уровень значимости а =

Объем выборки п =

Пропорция, для которой рассчитывается вероятность неотклонения гипотезы Hq — р' =

Если критические значения, соответствующие п и р₀ для указанного уровня значимости а, неизвестны, они должны быть вычислены по 8.2 (формы В).

Определение вероятности неотклонения нулевой гипотезы Hq — Р .

Если гипотеза Н_о истинна, вероятность ошибки первого рода равна 1 — Р . Достигнутый уровень значимос­ти а' равен вероятности ошибки первого рода при р' = р₀.

Если альтернативная гипотеза истинна, вероятность ошибки второго рода равна Р_п.

р')

По таблице 3 определяют:

Ф(и") =

Результаты вычислений:

р_а=ф(и") =

р' = Ро — а' = Ф (и") = р'>р₀— р = 1 —Ф(и") =

А.З Двусторонний критерий для р = Pq

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Заданное значение р₀ =

Выбранный уровень значимости а =

Объем выборки п =

Пропорция, для которой рассчитывается вероятность неотклонения гипотезы Hq — р' =

Если критические значения, соответствующие п и р₀ для указанного уровня значимости а, неизвестны, они должны быть вычислены по 8.2 (формы В).

Определение вероятности неотклонения нулевой гипотезы Нц — Р

Если гипотеза Н_о истинна, вероятность ошибки первого рода равна (1 — Р ). Достигнутый уровень значи­мости а' равен вероятности ошибки первого рода при р' = р₀.

Если альтернативная гипотеза истинна, вероятность ошибки второго рода равна Р_п.

По таблице 3 определяют:

Ф(и') =

Ф(и") =

Результаты вычислений:

Если р' = Ро — Если р'#Ро —

Приложение В
(справочное)

Примеры заполненных форм

В.1 Формы А

В.1.1 Пример 1 — Форма А-2. Односторонний интервал с нижней доверительной границей для пропорции р

Характеристика: Наличие видеомагнитофонов в квартирах.

Процедура определения: Интервью.

Элементы: Жилые дома в определенном районе.

Критерий для идентификации целевых элементов: Наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона.

Примечания: Нет.

Выбранный уровень доверия 1 — а = 0,95.

Объем выборки л = 20

Число целевых элементов в выборке х = 14.

Определение границы доверительного интервала

1. Процедура для п < 30

1. Случай х = 0

Pi, о “ °

2. Случай х > 0

По таблице 2 для известных значений л, Х= п — х ид =(1 — а) определяют:

Л (л, л— х) = 0,508. I VAk

Pi,o = ¹ — ^г1-а (л, л — х) = 0,492.

2. Процедура для л > 30

1. Случай х = 0

Pi, о “ ⁰

2. Случай х = л

Pi, о = «^1/п =

3. Случай 0 < х < л

По таблице 3 для q = (1 — а) определяют іь _ _п =

Значение (У, соответствующее выбранному уровню доверия, определяют по следующей таблице.

Pl,о = Р* + (¹ — 2р* )d / (л + 1) — щ _ _а 7 р*(1 — р,)[1 —<//(л + 1)]/(л + 1) = где р, = х/(л + 1)

Результат (искомый доверительный интервал): р > Рд 0 = 0,492.

В.1.2 Пример 2 — Форма A-З. Двусторонний доверительный интервал для пропорции р

Характеристика: Наличие видеомагнитофонов в квартирах.

Процедура определения: Интервью.

Элементы: Жилые дома в определенном районе.

Критерий для идентификации целевых элементов: Наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона в здании.

Примечания: Нет.

Выбранный уровень доверия 1 — а = 0,99.

Объем выборки п = 90.

Число целевых элементов в выборке х = 19.

Определение границы доверительного интервала

1. Процедура для п < 30

1. Определение верхней границы доверительного интервала

• Случай х = п | |

p₀,f⁼¹

• Случай х < п LJ

По таблице 2 для известных значений л, X = х и q = (1 — а/2) определяют:

Ри, t=^T-i- а/2 («- *) =

2. Определение нижней границы доверительного интервала:

• Случай х = 0 □

• Случай х > 0 LJ

По таблице 2 для известных значений л, X = п — хид = (1 — а/2) определяют:

• 1 - а/2 ^п — ^х) =

Р_и=1-Г₁__а/2(п,п-х) =

2. Процедура для л > 30 ^3

3. Определение верхней границы доверительного интервала | |

• Случай х = 0 I—I

Ри, t = 1 - («^/2)^1/П = —

• Случай х = л I |

^₽U’^f=1 K7I

• Случай 0 < х < л IXI

По таблице 3 для q = (1 — а/2) определяют -а/2 = 2,576.

Значение d, соответствующее выбранному уровню доверия, определяют по следующей таблице.

Ри,t = Р* + (¹ — ²Р»№ /(^л + ¹) + «1 - а/2 -УІ— — d 1(П + 1)]/(п + 1) = 0,341,

где р_# = (х + 1)/(п+ 1).

3. Определение нижней границы доверительного интервала:

• Случай х = 0 | |

Р/ _f = о

• Случай х-п □

Р/, _t = (а/2)1/" =

• Случай 0 < х < л |Х|

По таблице 3 для q = (1 — а/2) определяют _ _/2 = 2,576.

Значение d, соответствующее выбранному уровню доверия, определяют по следующей таблице.

Pl,t = Р* +(1 — 2p*)dl(n + V) +_а/2J p^ — p^l — d/(п + 1)]/(л + 1) = 0,111, где р^ = х/(п + 1).

Результаты (искомый доверительный интервал):

Pz, t⁼°>²²²³;

Ри, t⁼ 0,341;

Pl, P^Pu,t-

B.2 Формы В

Характеристика: Наличие видеомагнитофонов в квартирах.

Процедура определения: Интервью.

Элементы: Жилые дома в определенном районе.

Критерий для идентификации целевых элементов: Наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона.

Примечания: Нет.

Заданное значение р₀ = 0,48.

Выбранный уровень значимости а = 0,05.

Объем выборки п = 20.

Число целевых элементов в выборке х = 14.

Процедура проверки гипотез:

I Критические значения известны (см. 7.2.1)

^Си, 0 ⁼

Гипотезу Hq ОТКЛОНЯЮТ, если X > С_и Q.

В

[см. 8.1.2 b) 2)].

противном случае гипотезу Hq не отклоняют.

Результат проверки гипотезы:

Гипотеза Hq отклонена ЕЗ

Гипотеза Hq не отклонена I I

Определение критических значений

С_и о — наибольшее целое число х, для которого процедура проверки гипотез по форме В-2 (II) не ведет к от­клонению нулевой гипотезы. Значение С_и0 определяют методом итераций путем повторного применения формы В-2 (II) с различными значениями х, пока не будут найдены такие два значения, которые отличаются друг от друга на 1, и при этом одно из значений приводит к отклонению нулевой гипотезы Hq, а другое значение приводит к неот- клонению нулевой гипотезы Н_о¹ Начальное значение х_старт может быть получено следующим образом.

В качестве х*²) принимают лр₀, округленное до ближайшего целого числа, = 10.

Ри,ох=х* = °’⁶⁹⁹(Ри, 0Іх=х* по 8.1.1, форма А-1)

х_с’ _т равно значению пр_и0|_х 2_Х*„ округленному до ближайшего целого числа, и равно 14.

Интерпретация результатов проверки гипотез по форме B-2(l I):

длях< С_и Q =13 гипотезу не отклоняют;

длях> С_и0+1 = 14 гипотезу Н_о отклоняют.

Результат проверки гипотез:

С и, 0 “ ¹3

Критическое значение (или одно из критических значений) может не существовать для некоторых значе­ний Pq и/или для очень маленьких объемов выборок п.

²) х* — вспомогательная величина для нахождения х™_пт.

UI dp I

1. .2.2 Пример 2 — Форма В-3. Сравнение пропорции р с заданным значением р₀ для двустороннего крите- рия с Н_о: р = р₀

Характеристика: Наличие видеомагнитофонов в квартирах.

Процедура определения: Интервью.

Элементы: Жилые дома в определенном районе.

Критерий для идентификации целевых элементов: Наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона.

Примечания: Нет.

Заданное значение р₀ = 0,33.

Выбранный уровень значимости а = 0,01.

Объем выборки л = 90.

Число целевых элементов в выборке х = 19.

Процедура проверки гипотез

I Критические значения известны (см. 7.2.1)

^Cl, t ^{= ; С}и, t ⁼

Гипотезу Hq отклоняют, если X < С/ _t или х > С_иt, в противном случае гипотезу не отклоняют.

11. Критические значения неизвестны 1/3

1. Процедура п < 30

Определяют по 8.1.3 (форма A-З) двусторонние доверительные границы для л, х и уровня доверия (1 — а)

Pl,t= '>Pu,t =

Гипотезу Hq ОТКЛОНЯЮТ, если Pl _t> Pq ИЛИ р_иt< Pq, в противном случае гипотезу не отклоняют.

2. Процедура для п > 30 ІХІ

1. Случай х = 0 О

Р_и,t = 1 - (ct/2)^1/n -

Гипотезу Hq ОТКЛОНЯЮТ, если р_иt< Pq , в противном случае гипотезу не отклоняют.

2. Случай х = п I I

Р_О = (а/2)^1м =

Гипотезу Hq ОТКЛОНЯЮТ, если Pl _t > р₀, в противном случае гипотезу не отклоняют.

3. Случай 0 < х < л |Х|

По таблице 3 для q = (1 — а/2) определяют _ _а/2 - 2,576 _Ы1 = 2f 7(n-x)p₀ - V(x + 1)(1-Po) 1 = 2,359707; u₂ = 2 f 7x(1-p₀) - 7(n-x + 1)p₀ = —2,613021.

Гипотезу Hq отклоняют, если щ _ _а/2 или л₂ > л₁ _ _а/2> ^в противном случае гипотезу не отклоняют.

Результат проверки гипотез:

Гипотеза Hq отклонена

Гипотеза Hq не отклонена

Определение критических значений

С/ _f — наименьшее неотрицательное целое число х и С_пf— наибольшее целое число х, для которого про- £ -L Ц4 jp -L

верка гипотез по форме В-3 (II) не ведет к отклонению Н_о. Значения C_{z f} и С_иt определяют методом итераций пу­тем повторного применения формы В-3 (II) с различными значениями х до тех пор, пока не будут определены такие две пары значений, у которых значения в каждой паре отличаются друг от друга на 1, и при этом одно из зна­чений приводит к отклонению нулевой гипотезы Н_о, а другое значение приводит к неотклонению нулевой гипоте­зы Н_о²⁴ Начальное значение х_старт может быть получено следующим образом.

В качестве х*²⁵> определяют значение лр₀, округленное до ближайшего целого числа, х* = 30 р^ fix = х* ^— 0,210, р_и J_x _ _х* — 0,473.

Pl, Jx = х* ^иРи, fix = х* определяют по 8.1.3 (форма А-3).

х_старт (нижнее) равно значению npi _f|_{x= х}*, округленному до ближайшего целого числа, и равно 19.

х_старт (верхнее) равно значению пр_иf|_{x= х}*, округленному до ближайшего целого числа, и равно 43.

Интерпретация результатов проверки гипотез по форме В-3 (II): для х < C_z1 — 1 = 18 гипотезу Н_о отклоняют;

для х = С/ _t = 19 и х = С_иt = 42 гипотезу H_Q не отклоняют;

для х > С_иt + 1 = 43 гипотезу Н_о отклоняют

Результаты проверки гипотез:

С/₍= 19; С ₍= 42.

* j і V* j *

В.З Формы С

Характеристика: Наличие видеомагнитофонов в квартирах.

Процедура определения: Интервью.

Элементы:

1. жилые дома в области А;

2. жилые дома в области В.

Критерий для идентификации целевых элементов: Наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона в

зданиях.

Примечания: Нет.

Выбранный уровень значимости а = 0,05.

Объем выборки 1 л₁ = 10.

Объем выборки 2 п₂ = 15.

Число целевых элементов в выборке 1 х₁ = 8.

Число целевых элементов в выборке 2 х₂ = 13.

Процедура проверки гипотез для тривиальных случаев

Неравенство является истинным | |

Неравенство не является истинным И

Если неравенство является истинным, нулевую гипотезу не отклоняют; результат проверки гипотез может быть объявлен немедленно. В противном случае проводят следующую процедуру, которая может привести к от­клонению ИЛИ К НЄОТКЛОНЄНИЮ гипотезы Hq

Процедура проверки гипотез для нетривиальных случаев