Требуется проверить элемент по образованию трещин.
Расчет производим из условия (171).
Так как к трещиностойкости элемента предъявляется требование 2-й категории, учитываем коэффициент точности натяжения ??sp 1. Согласно п. 1.18, при механическом натяжении ??sp = 1 - ??sp = 1 - 0,1 = 0,9, т.е. ??sp = 0,9 × 922 = 830 МПа.
Определяем усилие Р согласно п. 1.19. Для центрально-обжатого элемента формула (8) приобретает вид
P = ssp Asp,tot - ss As,tot = 830 1275 - 201 314 = 995000 Н.
Для напрягаемой и ненапрягаемой арматуры значения соответственно равны:
;
= 1,95 (250 280 + 2 5,8 1275 +
+ 2 6,45 314) + 995 103 = 1158 103 Н N = 1100 кН,
т.е. от действия всех нагрузок трещины не образуются и, следовательно, расчета по закрытию трещин не требуется.
Пример 29. Дано: элемент нижнего пояса фермы с размерами поперечного сечения 250 ?? 280 мм; бетон тяжелый класса В35 (Rbt,ser = 1,95 МПа, Eb = 3,1 104 МПа); напрягаемая симметричная арматура класса A-IV, площадью сечения Asp = A¢sp = 1232 мм2 (2 28) (Es = 1,9 104 МПа), момент инерции приведенного сечения Ired = 608,3 106 мм4; расстояние от центра тяжести сечения до нижней грани y0 = 140 мм; усилие предварительного обжатия с учетом всех потерь и коэффициента точности натяжения ??sp = 1,0 (требования к трещиностойкости 3-й категории) Р = 650 кН; его эксцентриситет относительно центра тяжести приведенного сечения е0р = 0; продольная осевая растягивающая сила от всех нагрузок N = 850 кН; изгибающий момент от всех нагрузок М = 45 кН · м.
Требуется проверить сечение по образованию трещин.
Расчет. Эксцентриситет внешней продольной силы относительно центра тяжести приведенного сечения равен:
мм.
Для проверки условия (163) определяем момент сопротивления Wpl с помощью коэффициента ?? по табл. 38. Для этого вычисляем момент сопротивления Wred:
мм3.
По табл. 38 находим = 1,75 (так как элемент прямоугольного сечения), и, следовательно,
Wpl = Wred = 1,75 4,35 106 = 7,61 × 106 мм3.
Так как Р = 650 кН N = 850 кН, значение r определяем по формуле (169), принимая :
мм.
Момент усилия предварительного обжатия относительно оси, проходящей через ядровую точку, определяем по формуле (165):
Mrp = P (e0p + r) = 650 103 76 = 49,4 106 Н · мм = 49,4 кН · м.
Момент внешней продольной силы относительно той же оси, согласно формуле (167), равен:
Mr = N (e0 + r) = 850 103 (52,9 + 76) = 109,6 106 Н · мм.
Проверяем условие трещинообразования (163):
Mcrc = Rbt,ser Wpl + Mrp =
= 1,95 7,61 106 + 49,4 106 = 64,2 106 Н · мм ?? Mr = 109,6 106 Н · мм,
т.е. от действия всех нагрузок трещины образуются и требуется проверка их ширины раскрытия.
Пример 30. Дано: многопустотная плита перекрытия - по черт. 43; бетон легкий класса В15 (Rbt,ser = 1,15 МПа, Rb,ser = 11 МПа); передаточная прочность Rbp = 12,5 МПа ; геометрические характеристики приведенного сечения: площадь Ared = 45,1 ?? 104 мм2, расстояние от центра тяжести до растянутой (нижней) грани y0 = 107 мм, момент инерции Ired = 2734 106 мм4; момент в середине пролета от всех нагрузок M = 133,7 кН · м; момент от веса плиты в стадии изготовления Mw = 35,6 кН · м; усилие предварительного обжатия при sp = 1,0 с учетом первых потерь Р1 = 765,8 кН, а с учетом всех потерь Р2 = 636 кН; требования к трещиностойкости 3-й категории.
Требуется проверить плиту по образованию трещин.
Расчет. Определяем моменты сопротивления относительно грани, растянутой от внешней нагрузки и от предварительного обжатия :
мм3;
мм3.
Черт. 43. К примерам расчета 30 и 34
а - фактическое сечение плиты; б - эквивалентное сечение плиты
Находим моменты сопротивления Wpl по формуле (175). Для этого представляем сечение плиты в виде двутаврового сечения, заменив пустоты прямоугольниками, эквивалентными по площади и моменту инерции.
Ширина и высота такого прямоугольника соответственно равны:
А = 0,907D = 0,907 ?? 159 = 144,2 мм; В = 0,866D = 0,866 ?? 159 = 138 мм.
Тогда из черт. 43 имеем:
bf = bf = 3580 мм; b = 3580 - 18 144,2 = 984 мм;
мм.
Из табл. 38 для двутаврового симметричного сечения при находим = 1,5.
Отсюда
= 1,5 ?? 25,5 ?? 106 = 38,25 ?? 106 мм3;
= 1,5 ?? 24,2 ?? 106 = 36,3 ?? 106 мм3.
Поскольку в плите располагается в основном только напрягаемая арматура, точка приложения усилия обжатия во всех стадиях совпадает с центром тяжести арматуры, т.е. e0p = y0 - a = 107 - 30 = 77 мм. Определяем ядровые расстояния rsup и rinf по формуле (168). При действии внешней нагрузки в стадии эксплуатации максимальное напряжение в сжатом бетоне (т.е. по верхней грани) равно:
Тогда = 1,6 - = 1,15 ?? 1. Принимаем ?? = 1 и мм.
При действии усилия обжатия Р1 в стадии изготовления максимальное напряжение в сжатом бетоне (т.е. по нижней грани) равно:
=
= 1,7 + 0,95 = 2,65 МПа.
При этом можно видеть, что минимальное напряжение бетона в этой стадии, равное , будет больше нуля (1,7 0,95), т.е. будет сжимающим. Следовательно, верхние начальные трещины заведомо не образуются и образование нижних трещин проверяем без учета коэффициента .
Согласно п. 4.2, принимаем:
Mr = M = 133,7 кН · м;
Mrp = P2 (e0p + rsup) = 636 103 (77 + 56,5) = 84,9 кН · м;
Mcrc = Rbt,ser Wpl + Mrp = 1,15 × 38,25 106 + 84,9 × 106 =
= 128,9 106 Н · мм = 128,9 кН · м Мr = 133,7 кН · м,
т.е. нижние трещины образуются и, следовательно, расчет по раскрытию трещин необходим.
Пример 31. Дано: плита перекрытия по черт. 44; бетон тяжелый класса В25 (Rbt,ser = 1,6 МПа, Rbt,ser = 18,5 МПа, Eb = 2,7 104 МПа); передаточная прочность Rbp = 20 МПа ( = 1,4 МПа, = 15 МПа); напрягаемая арматура класса А-IV, площадью сечения Asp = 491 мм2 (1 25); ненапрягаемая арматура, растянутая и сжатая, класса A-III, площадью сечения соответственно As = 78,5 мм2 (1 ?? 10) и As = 50,3 мм2 (1 8); геометрические характеристики приведенного сечения: площадь Ared = 5,55 104 мм2, расстояние от центра тяжести до растянутой (нижней) грани y0 = 220 мм, момент инерции Ired = 718 × 106 мм4; максимальный момент при ??f = 1,0 для половины сечения плиты М = 66 кН · м; момент от собственного веса плиты в стадии изготовления Мw = 5,3 кН · м; усилие предварительного обжатия (с учетом первых потерь и ??sp = 1,0) Р1 = 230 кН; его эксцентриситет относительно центра тяжести приведенного сечения e0p = 167 мм; усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь и ??sp = 1,0) Р2 = 150 кН; его эксцентриситет e0p = 165 мм; требование к трещиностойкости 3-й категории.
Требуется определить момент трещинообразования Mcrc.
Расчет. Предварительно определяем моменты сопротивления и ядровые расстояния относительно грани, растянутой от внешней нагрузки и от предварительного обжатия (см. черт. 39):
мм3;
мм3.
Ядровые расстояния rsup и rinf определяем по формуле (168).
При действии внешней нагрузки в стадии эксплуатации максимальное напряжение в сжатом бетоне равно:
МПа.
Тогда = 1,6 - = 1,6 - = 1,05 ?? 1,0. Принимаем ?? = 1,0 и мм.
При действии усилия обжатия Р1 в стадии изготовления максимальное напряжение в сжатом бетоне равно:
МПа.
Тогда = 1,6 - = 1,6 - = 0,647 ?? 0,7. Принимаем ?? = 0,7 и мм.
Находим моменты сопротивления и по упрощенной формуле (175):
= 1,75 ?? 3,26 ?? 106 = 5,7 ?? 106 мм3;
= 1,5 ?? 55,2 ?? 106 = 8,28 ?? 106 мм3
(??inf = 1,75 и ??sup = 1,5 согласно табл. 38).
Проверим образование верхних начальных трещин согласно п. 4.5:
Р1 (e0p - rinf) - Mw = 230 103 (167 - 69,6) - 5,3 106 =
= 17,1 106 Н · мм ?? = 1,4 ?? 8,28 ?? 106 = 11,59 ?? 106 Н · мм,
т.е. верхние трещины образуются и, следовательно, значение Мcrc определяем с учетом коэффициента ??, вычисляемого согласно п. 4.6:
= 0,678 ?? 0,45;
= 1,55 ?? 1,4.
Принимаем = 1,4; тогда
.
Определяем момент трещинообразования Mcrc согласно п. 4.4а:
=
= 1,6 ?? 5,7 ?? 106 + 150 ?? 103 (165 + 58,7) = 42,7 106 Н · мм = 42,7 кН · м,
а с учетом коэффициента
Mcrc = 0,724 × 42,7 = 31 кН · м.
Пример 32. Дано: плита перекрытия по черт. 44; бетон тяжелый класса В25 (Rb,ser = 18,5 МПа, Rbt,ser = 1,6 МПа, Eb = 2,7 104 МПа); передаточная прочность бетона Rbp = 20 МПа; геометрические характеристики приведенного сечения: площадь Ared = 5,55 ?? 104 мм2, расстояние от центра тяжести сечения до растянутой грани y0 = 220 мм, момент инерции Ired = 718 ?? 106 мм4, расстояние от центра тяжести всей растянутой арматуры до растянутой грани а = 50 мм; напрягаемая арматура класса A-IV без анкеров (Es = 1,9 105 МПа), диаметром 25 мм; площадь сечения сжатой арматуры As = 50,3 мм2 (1 ?? 8); усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь и ??sp = 1,0) Р2 = 150 кН; его эксцентриситет e0p = 165 мм; предварительное напряжение (с учетом потерь по поз. 1 - 5 табл. 4) ??sp1 = 475 МПа; поперечная сила от внешней нагрузки в опорном сечении (при ??f = 1,0) Qmax = 50 кН; требования к трещиностойкости 3-й категории.
Требуется проверить, образуются ли наклонные трещины в пределах длины зоны передачи напряжений, и установить необходимость расчета по раскрытию наклонных трещин.
Черт. 44. Предварительно напряженная плита перекрытия
а - приопорный участок; б - поперечное сечение
Расчет. Рассмотрим сечения у грани опоры (сечение I - I) и на расстоянии lp от торца плиты (сечение II - II) - в обоих случаях проверку производим в центре тяжести сечения (y0 = 220 мм).
Определяем значение Р2 в рассматриваемых сечениях. Для этого по формуле (19) вычисляем длину зоны передачи напряжений lp, имея в виду, что tp = spI = 475 МПа;
мм
(??p = 0,25 и ??p = 10 - из табл. 24).
Для сечения I - I lx = 200 мм; в этом сечении, согласно п. 1.19,
кН.
Для сечения II - II lx = lp, следовательно, кН.
Определяем нормальные напряжения ??x на уровне центра тяжести сечения по формуле (10) при y = 0 и Р = Р2:
МПа;
МПа.
Определяем касательные напряжения xy по формуле (189). Для этого вычисляем статический момент приведенной площади части сечения, расположенной выше центра тяжести сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения:
.
В сечении I - I принимаем Q1 = Qmax = 50 кН. Сечение II - II отстоит от точки приложения опорной реакции на расстоянии x = lp - 135 = 398 - 135 = 263 мм (см. черт. 44), следовательно, согласно п. 3.22, для этого сечения
QII = Qmax - q1 x = 50 - 10,5 0,263 = 47,2 кН,
где q1 = g + v/2 = 3,5 + 14/2 = 10,5 кН/м;
g = 3,5 кН/м - постоянная нагрузка;
v = 14 кН/м - временная нагрузка.
Тогда
МПа;
МПа.
Поскольку напрягаемая поперечная арматура отсутствует, ??yp = 0. Напряжения y,loc от местного действия опорной реакции Qmax = F = 50 кН определяем по формуле (187).
Для сечения I - I: xI = 200 - 135 = 65 мм (см. черт. 44); yI = y0 = 220 мм; I = xI /h = 65/350 = 0,186 0,7; I = yI /h = 220/350 = 0,63.
Из табл. 39 имеем y = 0,45.
Тогда
МПа.
Для сечения II - II: xII = 263 мм; II = 263/350 = 0,75 0,7, следовательно, принимаем .
По формуле (185) определяем главные растягивающие и главные сжимающие напряжения, принимая y = y,loc:
Для сечения I - I:
МПа;
Для сечения II - II:
МПа;
МПа; МПа.
Так как для обоих сечений mc < 0,5Rb,ser = 0,5 × 18,5 = 9,25 МПа и В ?? 30 МПа, принимаем b4 = 1,0, т.е. b4 Rbt,ser = 1,6 МПа. Проверяем условие (183). Так как для обоих сечений ??mt b4 Rbt,ser = 1,6 МПа, наклонные трещины в пределах длины зоны передачи напряжений на уровне не выше уровня центра тяжести сечения не образуются, следовательно, требование п. 1.11 выполнено.
Поскольку в более удаленных от опоры сечениях значение Q, а следовательно, ??xy и ??mt будут меньшими, чем в сечении II - II, то наклонные трещины на уровне центра тяжести сечения нигде не образуются и, следовательно, расчет по раскрытию наклонных трещин не производится.
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО РАСКРЫТИЮ ТРЕЩИН
4.14 (4.13). Железобетонные элементы рассчитываются по раскрытию трещин:
нормальных к продольной оси элемента;
наклонных к продольной оси элемента.
Проверки ширины раскрытия трещин не требуется, если, согласно расчету по пп. 4.1 - 4.13, в рассматриваемом сечении трещины не образуются от действия нагрузок, указанных в табл. 2.
Для элементов, к трещиностойкости которых предъявляются требования 3-й категории, расчет по раскрытию трещин в общем случае производится два раза: на продолжительное и непродолжительное раскрытие трещин (см. п. 1.10). Для изгибаемых элементов при предельно допустимой ширине раскрытия трещин acrc1 = 0,4 мм и acrc2 = 0,3 мм (см. табл. 1б) расчет по раскрытию нормальных трещин можно производить только один раз:
при проверяется только продолжительное раскрытие трещин от действия момента Ml;
при проверяется только непродолжительное раскрытие трещин от действия момента Mtot,
где Mrp - см. п. 4.2; при этом используется то же значение Р, что и при расчете по раскрытию трещин.
Расчет по раскрытию трещин, нормальных к продольной оси элемента
4.15 (4.14). Ширину раскрытия трещин, нормальных к продольной оси элемента, acrc, мм, следует определять по формуле
, (194)
где - коэффициент, принимаемый равным для элементов: изгибаемых, внецентренно сжатых и внецентренно растянутых при P N - 1,0; центрально и внецентренно растянутых при P N - 1,2;
??l - коэффициент, принимаемый равным при учете:
кратковременных нагрузок и непродолжительного действия постоянных и длительных нагрузок - 1,0;
многократно повторяющейся нагрузки, а также продолжительного действия постоянных и длительных нагрузок для конструкций из бетона:
тяжелого:
естественной влажности.......................................................... l = 1,6 - 15, но не менее 1,3
в водонасыщенном состоянии.......................................................... 1,2
при попеременном водонасыщении
и высушивании..................................................................................... 1,75
мелкозернистого, групп:
А............................................................................................................. 1,75
Б............................................................................................................. 2,0
В............................................................................................................. 1,5
легкого........................................................................................................ 1,5
значения l для мелкозернистого и легкого бетонов в водонасыщенном состоянии умножают на 0,8, а при попеременном водонасыщении и высушивании - на 1,2;
?? - коэффициент, принимаемый равным для арматуры классов: А-III, A-IV, A-V, A-VI - 1,0; Bp-II, K-7, K-19 - 1,2; B-II - 1,4;
??s - приращение напряжений в стержнях крайнего ряда арматуры от действия внешней нагрузки, определяемое согласно указаниям п. 4.17;
- коэффициент армирования сечения, принимаемый равным отношению площади сечения арматуры S к площади сечения бетона при рабочей высоте h0 и без учета сжатых свесов полок, но не более 0,02; для прямоугольных, тавровых и двутавровых сечений
