Раздел 4-5. Расчет по предельному состоянию II группы. Конструктивные требования

где A_sp,inc₁ - площадь сечения напрягаемой отогнутой арматуры, заканчивающейся на опоре или на участке между опорой и сечением, расположенным на расстоянии h/4 от рассматриваемого сечения 0 - 0 (см. черт. 41);

q - угол между осью арматуры и продольной осью элемента в рассматриваемом сечении.

При переменной высоте балки значение поперечной силы для вычисления касательных напряжений определяется по формуле

, (191)

где b - угол между сжатой и растянутой гранями балки;

Q₁, М₁ - поперечная сила и изгибающий момент (без учета предварительного напряжения) в рассматриваемом поперечном сечении.

В формуле (191) знак «минус» принимается, если высота балки возрастает с увеличением абсолютного значения изгибающего момента, и знак «плюс» - если высота убывает с увеличением этого значения.

Для элементов, подвергающихся совместному действию изгиба и кручения, значение t_xy принимается равным сумме касательных напряжений от изгиба, определяемых по формуле (189), и от кручения t_t.

Значение t_t определяют по формулам пластического кручения, т.е. принимая, что к моменту образования трещин эти напряжения имеют одинаковые значения по всему сечению элемента:

, (192)

где W_t - момент сопротивления сечения при пластическом кручении, равный W_t = 2V [здесь V - объем тела, ограниченного поверхностью равного ската с углом наклона 45° к плоскости сечения, построенного на рассматриваемом сечении (черт. 42)].

Для элементов прямоугольного сечения (черт.42, а) значение t_t равно:

, (193)

где h, b - соответственно больший и меньший размеры сечения.

Черт. 42. Схема определения момента сопротивления при пластическом кручении для сечений

а - прямоугольного; б - таврового

4.13 (4.12). При действии многократно повторяющейся нагрузки расчет по образованию трещин должен производиться согласно указаниям пп. 4.9 - 4.12; при этом расчетные сопротивления бетона R_bt,ser и R_b,ser вводятся в расчет с коэффициентом условий работы g_b₁, принимаемым по табл. 35.

Примеры расчета Пример 28. Дано: элемент нижнего пояса фермы с размерами поперечного сечения 250 ´ 280 мм; бетон тяжелый класса В35 (R_bt,ser = 1,95 Мпа, E_b = 3,1 × 10⁴ МПа); продольная арматура: напрягаемая класса К-7 (E_s = 18 × 10⁴ МПа), площадью сечения A_sp = 1275 мм² (25 Æ 9), ненапрягаемая класса А-III (E_s = 2 × 10⁵ МПа), площадью сечения A_s,tot = 314 мм² (4 Æ 10); предварительное напряжение с учетом всех потерь s_sp = 922 МПа; суммарные потери напряжения от усадки и ползучести бетона s_s = 201 МПа; усилие предварительного обжатия приложено центрально; способ натяжения арматуры - механический; продольная осевая растягивающая сила от всех нагрузок (при g_f > 1,0) N = 1100 кН; требования к трещиностойкости 2-й категории.

Требуется проверить элемент по образованию трещин.

Расчет производим из условия (171).

Так как к трещиностойкости элемента предъявляется требование 2-й категории, учитываем коэффициент точности натяжения g_sp < 1. Согласно п. 1.18, при механическом натяжении g_sp = 1 - Dg_sp = 1 - 0,1 = 0,9, т.е. s_sp = 0,9 × 922 = 830 МПа.

Определяем усилие Р согласно п. 1.19. Для центрально-обжатого элемента формула (8) приобретает вид

P = s_spA_sp,tot - s_sA_s,tot = 830 × 1275 - 201 × 314 = 995000 Н.

Для напрягаемой и ненапрягаемой арматуры значения соответственно равны:

;

= 1,95 (250 × 280 + 2 × 5,8 × 1275 +

+ 2 × 6,45 × 314) + 995 × 10³ = 1158 × 10³ Н > N = 1100 кН,

т.е. от действия всех нагрузок трещины не образуются и, следовательно, расчета по закрытию трещин не требуется.

Пример 29. Дано: элемент нижнего пояса фермы с размерами поперечного сечения 250 ´ 280 мм; бетон тяжелый класса В35 (R_bt,ser = 1,95 МПа, E_b = 3,1 × 10⁴ МПа); напрягаемая симметричная арматура класса A-IV, площадью сечения A_sp = A¢_sp = 1232 мм² (2 Æ 28) (E_s = 1,9 × 10⁴ МПа), момент инерции приведенного сечения I_red = 608,3 × 10⁶ мм⁴; расстояние от центра тяжести сечения до нижней грани y₀ = 140 мм; усилие предварительного обжатия с учетом всех потерь и коэффициента точности натяжения g_sp = 1,0 (требования к трещиностойкости 3-й категории) Р = 650 кН; его эксцентриситет относительно центра тяжести приведенного сечения е₀_р = 0; продольная осевая растягивающая сила от всех нагрузок N = 850 кН; изгибающий момент от всех нагрузок М = 45 кН · м.

Требуется проверить сечение по образованию трещин.

Расчет. Эксцентриситет внешней продольной силы относительно центра тяжести приведенного сечения равен:

мм.

Для проверки условия (163) определяем момент сопротивления W_pl с помощью коэффициента g по табл. 38. Для этого вычисляем момент сопротивления W_red:

мм³.

По табл. 38 находим g = 1,75 (так как элемент прямоугольного сечения), и, следовательно,

W_pl = g W_red = 1,75 × 4,35 × 10⁶ = 7,61 × 10⁶ мм³.

Так как Р = 650 кН < N = 850 кН, значение r определяем по формуле (169), принимая :

мм.

Момент усилия предварительного обжатия относительно оси, проходящей через ядровую точку, определяем по формуле (165):

M_rp = P (e₀_p + r) = 650 × 10³× 76 = 49,4 × 10⁶ Н · мм = 49,4 кН · м.

Момент внешней продольной силы относительно той же оси, согласно формуле (167), равен:

M_r = N (e₀ + r) = 850 × 10³ (52,9 + 76) = 109,6 × 10⁶ Н · мм.

Проверяем условие трещинообразования (163):

M_crc = R_bt,serW_pl + M_rp =

= 1,95 × 7,61 × 10⁶ + 49,4 × 10⁶ = 64,2 × 10⁶Н · мм < M_r = 109,6 × 10⁶ Н · мм,

т.е. от действия всех нагрузок трещины образуются и требуется проверка их ширины раскрытия.

Пример 30. Дано: многопустотная плита перекрытия - по черт. 43; бетон легкий класса В15 (R_bt,ser = 1,15 МПа, R_b,ser = 11 МПа); передаточная прочность R_bp = 12,5 МПа ; геометрические характеристики приведенного сечения: площадь A_red = 45,1 × 10⁴ мм², расстояние от центра тяжести до растянутой (нижней) грани y₀ = 107 мм, момент инерции I_red = 2734 × 10⁶ мм⁴; момент в середине пролета от всех нагрузок M = 133,7 кН · м; момент от веса плиты в стадии изготовления M_w = 35,6 кН · м; усилие предварительного обжатия при g_sp = 1,0 с учетом первых потерь Р₁ = 765,8 кН, а с учетом всех потерь Р₂ = 636 кН; требования к трещиностойкости 3-й категории.

Требуется проверить плиту по образованию трещин.

Расчет. Определяем моменты сопротивления относительно грани, растянутой от внешней нагрузки и от предварительного обжатия :

мм³;

мм³.

Черт. 43. К примерам расчета 30 и 34

а - фактическое сечение плиты; б - эквивалентное сечение плиты

Находим моменты сопротивления W_pl по формуле (175). Для этого представляем сечение плиты в виде двутаврового сечения, заменив пустоты прямоугольниками, эквивалентными по площади и моменту инерции.

Ширина и высота такого прямоугольника соответственно равны:

А = 0,907D = 0,907 × 159 = 144,2 мм; В = 0,866D = 0,866 × 159 = 138 мм.

Тогда из черт. 43 имеем:

b_f = b¢_f = 3580 мм; b = 3580 - 18 × 144,2 = 984 мм;

мм.

Из табл. 38 для двутаврового симметричного сечения при находим g = 1,5.

Отсюда

= 1,5 × 25,5 × 10⁶ = 38,25 × 10⁶ мм³;

= 1,5 × 24,2 × 10⁶ = 36,3 × 10⁶ мм³.

Поскольку в плите располагается в основном только напрягаемая арматура, точка приложения усилия обжатия во всех стадиях совпадает с центром тяжести арматуры, т.е. e₀_p = y₀ - a = 107 - 30 = 77 мм. Определяем ядровые расстояния r_sup и r_inf по формуле (168). При действии внешней нагрузки в стадии эксплуатации максимальное напряжение в сжатом бетоне (т.е. по верхней грани) равно:

Тогда j = 1,6 - = 1,15 > 1. Принимаем j = 1 и мм.

При действии усилия обжатия Р₁ в стадии изготовления максимальное напряжение в сжатом бетоне (т.е. по нижней грани) равно:

= 1,7 + 0,95 = 2,65 МПа.

При этом можно видеть, что минимальное напряжение бетона в этой стадии, равное , будет больше нуля (1,7 > 0,95), т.е. будет сжимающим. Следовательно, верхние начальные трещины заведомо не образуются и образование нижних трещин проверяем без учета коэффициента q.

Согласно п. 4.2, принимаем:

M_r = M = 133,7 кН · м;

M_rp = P₂(e₀_p + r_sup) = 636 × 10³(77 + 56,5) = 84,9 кН · м;

M_crc = R_bt,serW_pl + M_rp = 1,15 × 38,25 × 10⁶ + 84,9 × 10⁶ =

= 128,9 × 10⁶ Н · мм = 128,9 кН · м < М_r = 133,7 кН · м,

т.е. нижние трещины образуются и, следовательно, расчет по раскрытию трещин необходим.

Пример 31. Дано: плита перекрытия по черт. 44; бетон тяжелый класса В25 (R_bt,ser = 1,6 МПа, R_bt,ser = 18,5 МПа, E_b = 2,7 × 10⁴ МПа); передаточная прочность R_bp = 20 МПа ( = 1,4 МПа, = 15 МПа); напрягаемая арматура класса А-IV, площадью сечения A_sp = 491 мм² (1 Æ 25); ненапрягаемая арматура, растянутая и сжатая, класса A-III, площадью сечения соответственно A_s = 78,5 мм² (1 Æ 10) и A¢_s = 50,3 мм² (1 Æ 8); геометрические характеристики приведенного сечения: площадь A_red = 5,55 × 10⁴ мм², расстояние от центра тяжести до растянутой (нижней) грани y₀ = 220 мм, момент инерции I_red = 718 × 10⁶ мм⁴; максимальный момент при g_f = 1,0 для половины сечения плиты М = 66 кН · м; момент от собственного веса плиты в стадии изготовления М_w = 5,3 кН · м; усилие предварительного обжатия (с учетом первых потерь и g_sp = 1,0) Р₁ = 230 кН; его эксцентриситет относительно центра тяжести приведенного сечения e₀_p = 167 мм; усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь и g_sp = 1,0) Р₂ = 150 кН; его эксцентриситет e₀_p = 165 мм; требование к трещиностойкости 3-й категории.

Требуется определить момент трещинообразования M_crc.

Расчет. Предварительно определяем моменты сопротивления и ядровые расстояния относительно грани, растянутой от внешней нагрузки и от предварительного обжатия (см. черт. 39):

мм³;

мм³.

Ядровые расстояния r_sup и r_inf определяем по формуле (168).

При действии внешней нагрузки в стадии эксплуатации максимальное напряжение в сжатом бетоне равно:

МПа.

Тогда j = 1,6 - = 1,6 - = 1,05 > 1,0. Принимаем j = 1,0 и мм.

При действии усилия обжатия Р₁ в стадии изготовления максимальное напряжение в сжатом бетоне равно:

МПа.

Тогда j = 1,6 - = 1,6 - = 0,647 < 0,7. Принимаем j = 0,7 и мм.

Находим моменты сопротивления и по упрощенной формуле (175):

= 1,75 × 3,26 × 10⁶ = 5,7 × 10⁶ мм³;

= 1,5 × 55,2 × 10⁶ = 8,28 × 10⁶ мм³

(g_inf = 1,75 и g_sup = 1,5 согласно табл. 38).

Проверим образование верхних начальных трещин согласно п. 4.5:

Р₁(e₀_p - r_inf) - M_w = 230 × 10³(167 - 69,6) - 5,3 × 10⁶ =

= 17,1 × 10⁶ Н · мм > = 1,4 × 8,28 × 10⁶ = 11,59 × 10⁶ Н · мм,

т.е. верхние трещины образуются и, следовательно, значение М_crc определяем с учетом коэффициента q, вычисляемого согласно п. 4.6:

= 0,678 > 0,45;

= 1,55 > 1,4.

Принимаем d = 1,4; тогда

Определяем момент трещинообразования M_crc согласно п. 4.4а:

= 1,6 × 5,7 × 10⁶ + 150 × 10³ (165 + 58,7) = 42,7 × 10⁶ Н · мм = 42,7 кН · м,

а с учетом коэффициента q

M_crc = 0,724 × 42,7 = 31 кН · м.

Пример 32. Дано: плита перекрытия по черт. 44; бетон тяжелый класса В25 (R_b,ser = 18,5 МПа, R_bt,ser = 1,6 МПа, E_b = 2,7 × 10⁴ МПа); передаточная прочность бетона R_bp = 20 МПа; геометрические характеристики приведенного сечения: площадь A_red = 5,55 × 10⁴ мм², расстояние от центра тяжести сечения до растянутой грани y₀ = 220 мм, момент инерции I_red = 718 × 10⁶ мм⁴, расстояние от центра тяжести всей растянутой арматуры до растянутой грани а = 50 мм; напрягаемая арматура класса A-IV без анкеров (E_s = 1,9 × 10⁵ МПа), диаметром 25 мм; площадь сечения сжатой арматуры A¢_s = 50,3 мм² (1 Æ 8); усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь и g_sp = 1,0) Р₂ = 150 кН; его эксцентриситет e₀_p = 165 мм; предварительное напряжение (с учетом потерь по поз. 1 - 5 табл. 4) s_sp₁ = 475 МПа; поперечная сила от внешней нагрузки в опорном сечении (при g_f = 1,0) Q_max = 50 кН; требования к трещиностойкости 3-й категории.

Требуется проверить, образуются ли наклонные трещины в пределах длины зоны передачи напряжений, и установить необходимость расчета по раскрытию наклонных трещин.

Черт. 44. Предварительно напряженная плита перекрытия

а - приопорный участок; б - поперечное сечение

Расчет. Рассмотрим сечения у грани опоры (сечение I - I) и на расстоянии l_p от торца плиты (сечение II - II) - в обоих случаях проверку производим в центре тяжести сечения (y₀ = 220 мм).

Определяем значение Р₂ в рассматриваемых сечениях. Для этого по формуле (19) вычисляем длину зоны передачи напряжений l_p, имея в виду, что s_tp = s_sp_I = 475 МПа;

мм

(w_p = 0,25 и l_p = 10 - из табл. 24).

Для сечения I - I l_x = 200 мм; в этом сечении, согласно п. 1.19,

кН.

Для сечения II - II l_x = l_p, следовательно, кН.

Определяем нормальные напряжения s_x на уровне центра тяжести сечения по формуле (10) при y = 0 и Р = Р₂:

МПа;

МПа.

Определяем касательные напряжения t_xy по формуле (189). Для этого вычисляем статический момент приведенной площади части сечения, расположенной выше центра тяжести сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения:

В сечении I - I принимаем Q₁ = Q_max = 50 кН. Сечение II - II отстоит от точки приложения опорной реакции на расстоянии x = l_p - 135 = 398 - 135 = 263 мм (см. черт. 44), следовательно, согласно п. 3.22, для этого сечения

Q_II = Q_max - q₁x = 50 - 10,5 × 0,263 = 47,2 кН,

где q₁ = g + v/2 = 3,5 + 14/2 = 10,5 кН/м;

g = 3,5 кН/м - постоянная нагрузка;

v = 14 кН/м - временная нагрузка.

Тогда

МПа;

МПа.

Поскольку напрягаемая поперечная арматура отсутствует, s_yp = 0. Напряжения s_y,loc от местного действия опорной реакции Q_max = F = 50 кН определяем по формуле (187).

Для сечения I - I: x_I = 200 - 135 = 65 мм (см. черт. 44); y_I = y₀ = 220 мм; a_I = x_I/h = 65/350 = 0,186 < 0,7; b_I = y_I/h = 220/350 = 0,63.

Из табл. 39 имеем j_y = 0,45.

Тогда

МПа.

Для сечения II - II: x_II = 263 мм; a_II = 263/350 = 0,75 > 0,7, следовательно, принимаем .

По формуле (185) определяем главные растягивающие и главные сжимающие напряжения, принимая s_y = s_y,loc:

Для сечения I - I:

МПа;

Для сечения II - II:

МПа;

МПа; МПа.

Так как для обоих сечений s_mc < 0,5R_b,ser = 0,5 × 18,5 = 9,25 МПа и В < 30 МПа, принимаем g_b₄ = 1,0, т.е. g_b₄R_bt,ser = 1,6 МПа. Проверяем условие (183). Так как для обоих сечений s_mt < g_b₄R_bt,ser = 1,6 МПа, наклонные трещины в пределах длины зоны передачи напряжений на уровне не выше уровня центра тяжести сечения не образуются, следовательно, требование п. 1.11 выполнено.

Поскольку в более удаленных от опоры сечениях значение Q, а следовательно, t_xy и s_mt будут меньшими, чем в сечении II - II, то наклонные трещины на уровне центра тяжести сечения нигде не образуются и, следовательно, расчет по раскрытию наклонных трещин не производится.

РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО РАСКРЫТИЮ ТРЕЩИН 4.14 (4.13). Железобетонные элементы рассчитываются по раскрытию трещин:

нормальных к продольной оси элемента;

наклонных к продольной оси элемента.

Проверки ширины раскрытия трещин не требуется, если, согласно расчету по пп. 4.1 - 4.13, в рассматриваемом сечении трещины не образуются от действия нагрузок, указанных в табл. 2.

Для элементов, к трещиностойкости которых предъявляются требования 3-й категории, расчет по раскрытию трещин в общем случае производится два раза: на продолжительное и непродолжительное раскрытие трещин (см. п. 1.10). Для изгибаемых элементов при предельно допустимой ширине раскрытия трещин a_crc₁ = 0,4 мм и a_crc₂ = 0,3 мм (см. табл. 1б) расчет по раскрытию нормальных трещин можно производить только один раз:

при проверяется только продолжительное раскрытие трещин от действия момента M_l;

при проверяется только непродолжительное раскрытие трещин от действия момента M_tot,

где M_rp - см. п. 4.2; при этом используется то же значение Р, что и при расчете по раскрытию трещин.

Расчет по раскрытию трещин, нормальных к продольной оси элемента 4.15 (4.14). Ширину раскрытия трещин, нормальных к продольной оси элемента, a_crc, мм, следует определять по формуле

, (194)