ПРИЛОЖЕНИЕ 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
1. АЛГЕБРА:
Формулы сокращенного умножения
(а ± b)2 = а2 ± 2ab + b2;
(а + b + с)2 = a2 + b2 + с2 + 2ab + 2ac + 2bс;
(а + b - с)2 = a2 + b2 + с2 + 2ab - 2ac - 2bс;
(а ± b)3 = а3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3;
а2 - b2 = (а + b) (а - b);
а3 ± b3 = (а ± b) (а2 ab + b2);
аn + bn = (а - b) (an-1 + an-2 + an-3b2 + … + abn-2 + bn-1).
Решение квадратных уравнений
|
ax2 + bx + c = 0 |
x2 + px + q = 0 |
Примечания |
|
|
|
- |
|
b2 - 4ac > 0 |
|
Оба корня действительные и различные по величине |
|
b2 - 4ac = 0 |
|
Оба корня действительно равной величины |
|
b2 - 4ac < 0 |
|
Оба корня мнимые |
|
|
x1 + x2 = -p |
- |
|
|
x1 x2 = q |
- |
Разложение квадратного трехчлена
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2),
где х1 и х2 - корни квадратного уравнения,
ax2 + bx + c = 0.
Бином Ньютона
где m - положительное число; при m дробном или отрицательном числе ряд получается бесконечным.
Общее выражение для n-го члена бинома Ньютона
.
Вычисление площадей геометрических фигур
|
Очертание фигуры |
Название фигуры и расчетные формулы |
|
|
Квадрат F = a2; F = d2 |
|
|
Прямоугольник F = ab |
|
|
Параллелограмм F = ah; F = ab sin |
|
|
Треугольник F = ah; F = ab sin C = ac sin B = bc sin A; F = , где (a + b + c) = p |
|
|
Трапеция с параллельными основаниями F = (a + b)h |
|
|
Трапеция с непараллельными основаниями F = [(H + h) a + bh + cH] |
|
|
Правильный многоугольник ?? = ; = 180° - ; = 2d (n - 2) = 180° (n - 2); F = anr, где a = 2 |
|
|
Окружность Длина окружности L = 2r Площадь круга f = r2 |
|
|
Сегмент Длина хорды c = 2r sin ; длина стрелки h = r (1 - cos ); длина дуги l = ; F = r2 |
|
|
Сектор F = lr; F = |
|
|
Кольцо F = (R2 - r2) |
Вычисление поверхности и объема геометрических тел
|
Геометрическое тело |
Боковая и полная поверхности |
Объем |
|
|
Параллелепипед |
|
|
|
s = (2a + 2b) h; S = s + 2ab |
V = abh |
|
|
Цилиндр |
|
|
|
s = 2Rh; S = 2?? R (h + R) |
V = ?? R2 h |
|
|
Призма |
|
|
|
s = ahn, где n - число граней; S = s + 2F, где F - площадь основания |
V = Fh |
|
|
Правильная пирамида |
|
|
|
s = abn; S = s + F |
V = Fh |
|
|
Правильная усеченная пирамида |
|
|
|
s = (a + c) bn; S = s + F1 + F2, где f1 - площадь нижнего основания; F2 - площадь верхнего основания |
V = (F1 + F2 + |
|
|
Конус |
|
|
|
s = Rl; S = R(R + l) |
V = R2 h |
|
|
Усеченный конус |
|
|
|
s = l (R + r); S = s + (R2 + r2) |
V = (R2 + r2 + Rr) |
3. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Знаки тригонометрических функций в различных четвертях
|
Четверти |
Знаки функций |
Четверти |
Знаки функций |
||||||
|
|
sin |
cos |
tg |
ctg |
|
sin |
cos |
tg |
ctg |
|
I |
+ |
+ |
+ |
+ |
III |
- |
- |
+ |
4- |
|
II |
+ |
- |
- |
- |
IV |
- |
+ |
- |
- |
Приведение тригонометрических функций любого угла к функциям острого угла
|
Функции |
Углы |
||||
|
|
± |
90 ± |
180° ± |
270 ± |
360 ± |
|
sin |
±sin |
+cos |
±sin |
-cos |
±sin |
|
cos |
+cos |
±sin |
-cos |
±sin |
+cos |
|
tg |
tg |
ctg |
tg |
ctg |
tg |
|
ctg |
ctg |
tg |
ctg |
tg |
ctg |
Зависимость между тригонометрическими функциями одного угла
|
sin |
- |
|
|
|
|
1 cosec |
|
cos |
|
- |
|
|
1 sеc |
|
|
tg |
|
|
- |
1 ctg |
|
|
|
ctg |
|
|
1 tg |
- |
|
|
|
sec |
|
1 cos |
|
|
- |
|
|
cosec |
1 sin |
|
|
|
|
- |
Тригонометрические функции двух углов
|
Функции суммы и разности двух углов |
Сложение и вычитание функций |
||
|
sin ( ± ) |
sin cos ± cos sin |
sin ( + ) + sin ( - ) |
2sin cos |
|
cos ( ± |
cos cos ± sin sin |
sin ( + ) - sin ( - ) |
2cos sin |
|
tg ( ± ) |
tg ± tg l ± tgtg |
cos ( + ) + cos ( - ) |
2cos cos |
|
ctg ( ± ) |
ctg ctg ± 1 ctg ± ctg |
cos ( + ) - cos ( - ) |
-2sin sin |
Тригонометрические функции двойного и половинного углов
|
Функции двойного угла |
Функции одинарного угла |
|
sin 2 = 2 sin cos = |
|
|
cos 2 = cos2 - sin2 a = |
|
|
tg 2 = |
|
|
сtg 2 = |
|
Решение косоугольных треугольников
|
Обобщенная теорема Пифагора (косинусов) |
Теорема синусов |
Теорема проекций |
|
а2 = b2 + с2 - 2bс cos A |
|
a = b cos С + с cos B |
|
b2 = a2 + с2 - 2aс cos B |
, и т.д. |
b = a cos С + с cos A |
|
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C |
|
с = a cos B + b cos A |
В таблице приняты следующие обозначения:
a, b, с - длины сторон треугольника;
A, В, С - противолежащие углы.
4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Уравнение прямой, проходящей через данную точку по данному направлению
|
Рис. 1 |
у - уА =(х - хА) tg где х и у - текущие координаты; хА и уА - координаты точки А, заданной на прямой; - угол между осью ОХ и прямой. Уравнение вытекает непосредственно из треугольника АВС (рис. 1). Угловой коэффициент tg, входящий в уравнение, имеет знак плюс, когда острый угол от оси ОХ до прямой отсчитывают против часовой стрелки (рис. 2). |
При отсчете острого угла по часовой стрелке tg , имеет знак минус (рис. 3).
Рис. 2
Рис. 3
Формулы для определения координат точек пересечения двух прямых, каждая из которых задана точкой и направлением
Общая формула
Рис. 4
Даны: 1, 2 M1 (x1; y1), M2 (x2; y2).
Определяется: М (x; у).
;
у = (х - х1) tg1 + y1.
Проверка:
y1 - y2 = (х - х2) tg 2.
Примечания. 1. Все заданные величины подставляют в формулы с их знаками.
2. При отсчете острого угла от оси х (рис. 4) по часовой стрелке tg 2 имеет минус.
Формулы для отдельных случаев1
_____________
1 Основные данные для проектирования железнодорожных путей. Сост. В.Н. Вдовиченко - М.: 1951. (Мосгипротранс).
|
|
; у = х tg |
|
|
; у = х tg |
|
|
; у = х tg |
|
|
; у = х tg |
|
|
; у = х tg |
|
|
; у = х tg |
|
|
; у = х tg |
Преобразование координат
|
|
Х = (х - х0) cos + (y - y0) sin; Y = (y - y0) cos + (x - x0) sin |
Уравнение окружности
|
|
центр окружности в точке (а, b): (х - а)2 + (y - b)2 = R2 |
Значения некоторых математических постоянных и часто встречающихся величин
|
Величина |
Значение |
Величина |
Значение |
Величина |
Значение |
Величина |
Значение |
|
|
3,1415927 |
|
1,4142 |
2 |
1,5707963 |
1 м с |
3,6 км/ч |
|
2 |
6,2831854 |
|
1,7321 |
360 |
0,0087260 |
1 км/ч |
0,2778 м/с |
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГАБАРИТНЫХ РАССТОЯНИЙ ПРИ УСТРОЙСТВЕ ПАССАЖИРСКИХ ПЛАТФОРМ В КРИВЫХ УЧАСТКАХ ПУТИ
При проектировании пассажирских платформ, расположенных в кривых, горизонтальные расстояния В от оси пути и вертикальные Н от головки рельса до края платформ следует определять по эксплуатационным нормам Указаний по применению габаритов приближения строений ГОСТ 9238-73.
Госстрой СССР письмом № НК-1499-1 от 6 апреля 1976 г. согласовал поправки и дополнения к Указаниям по применению габаритов приближения строений ГОСТ 9238-73 (№ П-4106), необходимость которых появилась в процессе их практического применения.
В связи с этим следующие тексты проектных норм, помещенных в приложении 3 к Указаниям:
примечание 3 к табл. 1 (с. 67),
примечание 2 к табл. 2 (с. 82),
примечание 2 к табл. 3 (с. 96),
заменены единым текстом:
«При проектировании и строительстве пассажирских и грузовых платформ, расположенных в кривых, координаты точек габаритов приближения строений С (Сп) - 4а, 4б, 4в, 4г, 4д, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 можно устанавливать по эксплуатационным нормам, приведенным в табл. 12 Указаний (с. 162) для 4-го и 5-го классов понизу, исходя из величин возвышения наружного рельса и максимальной скорости движения, предусматриваемых на проектируемом участке на ближайшие 5 лет его эксплуатации».
Таким образом, по эксплуатационным нормам следует определять не только высоту, но и горизонтальные расстояния от оси пути до борта пассажирских и грузовых платформ.
Координаты точек пассажирских платформ теперь следует определять по табл. 12/4 (с. 166-169) Указаний в зависимости от возвышения наружного рельса, а для определения координат низких платформ необходимо знать еще и непогашенное ускорение. Координаты точек грузовых платформ следует определять по табл. 12/4 и 12/5 (с. 166 - 175) Указаний.
Выписки из табл. 12/4 для расчета координат точек высоких и низких пассажирских платформ приведены в табл. 1 и 2 настоящего приложения.
Возвышение наружного рельса зависит от фактически развиваемых на данной кривой скорости движения всех пассажирских и грузовых поездов различного веса или максимальной скорости, развиваемой на данной кривой пассажирским поездом. Скорость проходящих по кривой пассажирских и грузовых поездов устанавливают тяговыми расчетами или принимают максимальную (заданную) скорость пассажирских поездов для данной линии (участка).
Ниже приведены примеры расчета устройства пассажирских платформ, расположенных в кривых участках пути (см. рисунок).
Схема расположения платформ на перегоне:
1 - пассажирские платформы; НнарI, НвнII - вертикальные и ВнарI, ВвнII - горизонтальные координаты точек 4 и 10 соответственно для наружной и внутренней сторон кривой (номера точек на рисунке даны в соответствии с рис. 16, приведенном на с. 21 Указаний по применению габаритов приближения строений ГОСТ 9238-73)
