- объем производства асфальтобетонной смеси на i-м АБЗ по r-му варианту функционирования в году t;
- показатели эффективности r-го способа производства на i-м предприятии (АБЗ) - показатель критерия оптимальности данного способа в году t.
При передислокации передвижного асфальтобетонного завода в году t, к добавляются затраты на ее осуществление:
- затраты на передислокацию передвижного АБЗ (i I2, r R2);
- удельный расход g-го сырья по способу функционирования r i-го АБЗ;
- транспортные затраты на доставку g-го вида сырья из h-го пункта в пункт размещения i-го асфальтобетонного завода в году t;
- транспортные затраты на доставку асфальтобетонной смеси с i-го АБЗ к j-му объекту дорожного строительства в году t;
- максимально возможный объем выделенного сырья g-го h-м поставщиком вида для производства асфальтобетонной смеси в году t;
bjt - объем потребности в асфальтобетонной смеси в j-м пункте потребления - объекте дорожного строительства, реконструкции и ремонта в году t;
Bt - коэффициент дисконтирования
где ti - год соизмерения, t - год осуществления затрат,
Е - нормативный коэффициент эффективности.
Неизвестные величины
- интенсивность использования r-го варианта развития асфальтобетонного завода в i-м пункте размещения;
- объем поставок асфальтобетонной смеси от асфальтобетонного завода размещенного в i-м пункте, к j-му объекту потребления - объекту дорожного строительства, реконструкции и ремонта в году t;
- объем поставок сырья g-го вида для производства асфальтобетонной смеси из h-го сырьевого предприятия (базы) к i-му АБЗ в году t;
- целочисленная переменная, равная 1, если передвижной i-й АБЗ передислоцируется в j-й пункт в году t и равная 0 в противном случае (i I2, t = 2, 3, ..., Т).
Многосырьевая однопродуктовая трехэтапная производственно-транспортная задача развития и размещения стационарных и передвижных асфальтобетонных заводов в динамической постановке формулируется следующим образом.
Найти величины , , , (i I2), удовлетворяющие условиям:
(2.1)
из каждого пункта h, дающего сырье g, может быть поставлено всем асфальтобетонным заводам (i) не более того количества сырья, которым располагает данный пункт h в планируемом году t;
(2.2)
производственная потребность i-го АБЗ данной оптимизируемой системы в сырье g в году t должна быть полностью удовлетворена;
(2.3)
заданная потребность j-го дорожно-строительного объекта в году t должна быть полностью удовлетворена;
(2.4)
производство асфальтобетонной смеси на i-м АБЗ должно быть не меньше, чем суммарный объем перевозок ко всем объектам дорожного строительства;
(2.5)
в оптимальный план должно входить не более одного целого варианта развития предприятия в пункте из числа заданных вариантов;
(2.6)
переменные z равны 0 или 1, т.е. вошли или не вошли в план;
(2.7)
переменные yit равны 0 или 1, т.е. передислоцируются или нет соответствующие передвижные АБЗ в году t;
(2.8)
объемы перевозок асфальтобетонной смеси не могут быть отрицательными;
(2.9)
объемы перевозок сырья для производства асфальтобетонной смеси не отрицательны.
Целевая функция - минимум интегральных производственных затрат на плановый период
(2.10)
Слагаемые целевой функции имеют следующий смысл:
1. Суммарные затраты на транспортировку всех видов сырья с h-х предприятий к асфальтобетонным заводам как стационарным, так и передвижным в плановом периоде.
2. Интегральные затраты на производство асфальтобетонной смеси на i-х АБЗ при реализации r-х вариантов развития
где - капитальные вложения в реконструкцию или строительство i-го АБЗ в t-м году при r-м варианте развития;
Fit - текущие затраты на производство смеси i-м АБЗ при r-м варианте развития;
- последний год капитальных вложений по r-му варианту развития i-го АБЗ ().
3. Суммарные транспортные затраты на доставку асфальтобетонной смеси с i-х заводов на j-ые объекты дорожного строительства в плановом периоде.
4. Суммарные затраты на передислокацию передвижных асфальтобетонных заводов в плановом периоде.
В результате реализации поставленной дискретной экономико-математической модели верхнего уровня процесса оптимизации развития и размещения обоих типов АБЗ определяют оптимальную схему развития и размещения стационарных предприятий; рациональную зону обслуживания каждого стационарного АБЗ; зону функционирования передвижных АБЗ в рассматриваемом регионе; первоначальную схему прикрепления стационарных и передвижных заводов к сырьевым базам по всем годам планового периода; рациональные мощности и год ввода в действие передвижных предприятий.
2.1.6. Для формализации задачи нижнего уровня используют теорию графов, которая дает наглядный и доступный инструмент построения моделей функционирования передвижных асфальтобетонных заводов. Адекватное отображение всего множества вариантов развития и маршрутов передислокаций достигается на основе построения сетевого ориентировочного графа специального вида [13]. Множество вершин (R) графа может быть разбито на t-подмножеств (по числу временных интегралов планового периода) R1, R2, ..., Rt. При этом последовательность <R1, R2, ..., Rt> должна обладать следующими свойствами:
а) любые две смежные вершины графа G(U) принадлежат разным подмножествам;
б) в графе G(U) возможны прямые непосредственные связи только между элементами смежных подмножеств последовательности <R1, R2, ..., Rt>.
Сетевой ориентированный граф, обладающий указанными свойствами t-дольный ориентированный граф Gt(U). Пример такого графа изображен на рис. 2.1.
Рис. 1. Трехдольный полный ориентированный граф
В t-дольном сетевом ориентированном графе Gt(U), адекватно отображающем процесс развития и размещения передвижного АБЗ в плановом периоде t [1, Т], каждая вершина определяет вариант развития в году t для соответствующего пункта размещения передвижного АБЗ.
Дуги сетевого ориентированного графа Gt(U), соединяющие вершины двух соседних подмножеств и определяют как технологическую возможность перехода АБЗ в своем развитии от варианта в году t к варианту r2 в году t + 1, так и направление возможной передислокации. Каждой вершине графа Gt(U) - , представляющей вариант развития передвижного АБЗ в году t, поставим в соответствие пункт дислокации j, показатели и соответствующие величины интегральных затрат .
Для дуг графа, соединяющих вершины смежных подмножеств Rt и Rt + 1 (t [t, Т - 1]), определим показатели , где и , которые включают наряду с затратами на передислокацию передвижного состава АБЗ затраты по переходу предприятия от одного технологического варианта к другому.
Построенный таким образом граф задает все множество вариантов (стратегий) развития и размещения передвижного АБЗ на всем плановом периоде.
2.1.7. Аналитическая запись сетевой модели по определению кратчайшего пути на графе G(U) имеет вид
(2.11)
при условиях
; (2.12)
(2.13)
(2.14)
Задача выделения на графе кратчайшего пути состоит в выборе таких значений , где
2.1.8. Поставленная задача относится к классу многошаговых процессов принятия решений и для ее реализации может быть использован метод динамического программирования, который базируется на построении системы рекуррентных соотношений.
Обозначим через величину суммарных затрат, определенных в период [1, t] для соответствующего передвижного асфальтобетонного завода (в момент t функционирующего по варианту развития и размещения r).
Тогда система рекуррентных соотношений для нахождения оптимальной стратегии развития и размещения передвижных АБЗ представляется следующим образом:
(2.15)
(2.16)
где
При построении этой системы рекуррентных соотношений используется принцип оптимальности Беллмана [2]. Оптимальная стратегия обладает тем свойством, что для любого первоначального состояния после некоторого этапа решения совокупность последующих решений должна составлять оптимальную стратегию по отношению к состоянию, к которому пришли в результате начального этапа решения.
Решив ряд данных задач нижнего уровня, соответственно по каждому передвижному АБЗ, вошедших в план развития и размещения на верхнем уровне, получаем оптимальные схемы их передислокаций на всем плановом периоде.
2.1.9. Для взаимоувязки планов двух уровней множество оптимальных маршрутов передислокаций передвижных АБЗ вводится в задачу верхнего уровня. В результате повторного решения по модели (2.1) - (2.10) происходит окончательное прикрепление поставщиков сырья для производства асфальтобетонной смеси к АБЗ по каждому году планового периода.
2.2. Алгоритм решения задачи размещения и развития стационарных и передвижных АБЗ верхнего уровня
2.2.1. Используя существующие методы соизмерения затрат во времени, однопродуктовую многосырьевую динамическую экономико-математическую модель (2.1) - (2.10) развития и размещения стационарных и передвижных асфальтобетонных заводов можно свести к модели статической многопродуктовой задачи с целочисленными ограничениями на переменные [6]. Производство и распределение однородного продукта (асфальтобетонной смеси) в разные периоды времени (года), рассматриваемые в динамической задаче математически трактуется в статической задаче как производство и распределение различных продуктов в одном периоде, т.е. индекс t (t = 1, 2, 3, ..., T) заменяется на индекс К (К = 1, 2, 3, ..., e).
2.2.2. Модель производственной задачи обычно игнорирует нелинейность целевой функции, которая отражает существующую в реальных условиях функциональную зависимость между размером предприятия и издержками на приготовление асфальтобетонной смеси и ее транспортировку. В реальных планово-экономических задачах пункты размещения предприятий, их мощность, как правило, заданы в виде вариантов с исчисленными по каждому варианту развития текущими и капитальными затратами. При этом объемы производства могут находиться в интервале, в котором затраты на единицу продукции остаются практически постоянными.
При вариантной постановке задачи развития и размещения стационарных и передвижных асфальтобетонных заводов нелинейная целевая функция апроксимируется в кусочно-линейную, что позволяет использовать для ее решения алгоритмы линейного программирования.
2.2.3. В связи со сложностью и большой размеренностью рассматриваемой задачи при решении ее наиболее реален итеративный метод, использующий коэффициенты «экономичности» [11], который позволяет преодолеть трудности при реализации многопродуктовых и динамических производственно-транспортных моделей задач большой размерности. Этот метод дает возможность свести многопродуктовую задачу к ряду однопродуктовых (на несколько порядков проще), разбив ее на блоки таким образом, чтобы результаты решения по блокам оставались совместными в отношении производственных и транспортных затрат и их можно было синтезировать в едином оптимальном плане.
Сущность метода состоит в том, что находятся такие показатели-коэффициенты «экономичности», которые характеризуют экономичность предприятий по каждому из возможных вариантов размещения и развития с точки зрения производственных и транспортных затрат и служат критерием оптимальности. В дальнейших расчетах по ним производится отбор наиболее выгодных вариантов в оптимальный план.
2.2.4. Так как оптимальный план производства асфальтобетонной смеси ищется с помощью коэффициентов экономичности, обладающих относительной устойчивостью, необходимо чтобы варианты развития АБЗ были заданы соответствующим образом. Чем менее резко различаются варианты по объемам производства и экономическим показателям, тем больше вероятность быстрого нахождения оптимального решения.
2.2.5. Решение задачи развития и размещения стационарных и передвижных АБЗ (циклы расчетов составляющих одну интеграцию) разбивается на стадии.
1. Для каждого возможного пункта размещения асфальтобетонных заводов выбирают такой вариант их развития, который удовлетворял бы условию
Выбирают АБЗ с максимально возможным объемом производства асфальтобетонной смеси.
2. Определяют Mik - коэффициенты экономичности АВЗ по затратам на перевозку асфальтобетонной смеси.
Для этого решают e открытых транспортных задач (для каждого К) следующего вида.
Найти неизвестные xijk, удовлетворяющие условиям
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
По результатам решения находят
(2.21)
где Mik - ненормированные коэффициенты экономичности поставщиков асфальтобетонной смеси - потенциалы решенной транспортной задачи, вычисленные по транспортным затратам с точностью до постоянного слагаемого.
3. Решают G транспортных задач (для каждого g) по определению коэффициентов экономичности по затратам на перевозку сырья. Отыскивают неизвестные yhig, удовлетворяющие условиям:
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
где
(2.26)
