Пособие по проектированию предварительно напряженных железобетонных конструкций из тяжелых и легких бетонов (к снип 2.03.01-84)

A_web = A_b  A_o ; (48)

A_b — площадь сжатой зоны бетона, равная:

; (49)

A_o — площадь сечения наиболее сжатого свеса полки;

x₁ — размер сжатой зоны бетона по наиболее сжатой стороне сечения, определяемый по формуле

x₁ = t + ; (50)

здесь ; (51)

S_o,x — статический момент площади А_o в плоскости оси х относительно оси у;

S_o,y — то же, в плоскости оси у относительно оси x;

b₀ — расстояние от равнодействующей усилий в растянутой арматуре до наиболее сжатой боковой стороны сечения (грани ребра);

 — угол наклона плоскости действия изгибающего момента к оси x, т.e. ctg  =M_x / M_y;

S_sx, S_spx — статические моменты площади сечения соответственно ненапрягаемой и напрягаемой арматуры относительно оси у.

Черт. 7. Форма сжатой зоны в поперечном сечении железобетонного элемента, работающего на косой изгиб

а — таврового сечения; б — прямоугольного сечения; 1-1 — плоскость действия изгибающего момента; 2 — точка приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре

При расчете прямоугольных сечений значения A_o, S_o,x и S_o,y в формулах (47), (48) и (51) принимаются равными нулю.

Если A_b < А_o или если х < 0,2h¢_f, расчет производится как для прямоугольного сечения шириной b = b'_f.

Если выполняется условие

, (52)

где b_o — ширина наименее сжатого свеса полки,

расчет производится без учета косого изгиба, т.е. по формулам пп. 3.9 и 3.13 на действие момента М = М_x; при этом следует проверить условие (55), принимая х₁, как при косом изгибе.

Приведенную методику расчета следует применять, если относительная высота сжатой зоны, измеренная по нормали к границе сжатой зоны и определяемая по формуле (53), меньше или равна _R (см. п. 3.6):

, (53)

где b_o — ширина наиболее сжатого свеса;

 — угол наклона прямой, ограничивающей сжатую зону, к оси у, значение tg  определяется по формуле

tg  = x₁² / (2A_web), (54)

x₁ — для определения ₁ вычисляется по формуле (50) при _s6 = 1,0.

Для проверки условия (47) коэффициент _s6 в формуле (49) определяется, согласно п. 3.7, при значении , принимаемом равным:

при отсутствии в сжатой зоне полки  = ₁ ;

при наличии в сжатой зоне полки  = (₁ + _R) / 2.

Если выполняется условие

₁ > _R , (55)

следует произвести повторный расчет с заменой для напрягаемой арматуры в формуле (49) значения _s6 R_s напряжением _s, равным:

для арматуры с условным пределом текучести (см. п. 2.16):

при  £ _el (где _el — см. п. 3.18 или табл. 31)

; (56)

при  > _el

, (57)

где  - см. п. 3.18;

_sc,u , , _sp — см. п. 3.6; значение , а также выражение можно находить по табл. 31;

для арматуры с физическим пределом текучести — по формуле (57).

При этом ненапрягаемую арматуру с физическим пределом текучести, если площадь ее сечения не превышает 0,2A_sp, допускается учитывать в формуле (49) с полным расчетным сопротивлением. При большей площади указанной ненапрягаемой арматуры, если  > _R (где _R определено для этой арматуры), в формуле (49) значение R_s для ненапрягаемой арматуры заменяется на напряжение _s, определяемое по формуле (57).

Если выполняются условия (58) и (59), то расчет на косой изгиб производится по формулам общего случая расчета нормального сечения согласно п. 3.18:

для прямоугольных и тавровых сечений с полкой в сжатой зоне

x₁ > h ; (58)

для двутавровых и тавровых сечений с полкой в растянутой зоне

x₁ > h  h_f  b_o,t tg  , (59)

где h_f, b_o,t — высота и ширина наименее растянутого свеса полки (черт.8).

Черт. 8. Двутавровое сечение со сжатой зоной, заходящей в наименее растянутый свес полки

1-1— плоскость действия изгибающего момента

При использовании формул настоящего пункта за растянутую арматуру площадью А_sp и А_s рекомендуется принимать арматуру, располагаемую вблизи растянутой грани, параллельной оси у, а за сжатую арматуру площадью А'_sp и A'_s - арматуру, располагаемую вблизи сжатой грани, параллельной оси у, но по одну наиболее сжатую сторону от оси х (см. черт. 7).

Если арматура распределена по сечению, что не позволяет до расчета определить площади и центры тяжести сечений арматуры S и S', расчет также производится по формулам общего случая согласно п. 3.18.

При наличии ненапрягаемой арматуры с условным пределом текучести учитывается примечание к п. 3.3.

Примеры расчета

Пример 9. Дано: железобетонный прогон кровли с уклоном 1:4; размеры сечения по черт. 9; класс бетона В25 (R_b = 13 МПа при _b2 = 0,9); арматура S класса A-IV (R_s = 510 МПа) площадью сечению А_sp = 314,2 мм² (1Æ20); арматура S' класса A-III (R_sc = 365 МПа) площадью сечения А¢_s = 226 мм² (2Æ12); предварительное напряжение арматуры при _sp < 1 с учетом всех потерь _sp = 306 МПа; натяжение арматуры - электротермическое.

Требуется определить предельный изгибающий момент в вертикальной плоскости.

Р а с ч е т ведем без учета стержня, расположенного в наименее сжатом свесе. Из черт. 9 имеем:

h₀ = h  а = 300  30 = 270 мм; b₀ = = 55 мм;

b_o = b¢_o = 55 мм; h¢_f = 60 мм.

Черт. 9. К примеру расчета 9

1-1 — плоскость действия изгибающего момента

Определяем площадь сжатой зоны бетона по формуле (49), учитывая один стержень арматуры S¢, т.е. А¢_s = 113 мм² (1Æ12), и принимая _s6 = 1:

= 9154 мм² .

Площадь сечения наиболее сжатого свеса и ее статические моменты относительно осей х и у соответственно равны:

А_о = b'_o h'_f = 55×60 = 3300 мм²;

S_o,y = A_о (b₀ + 0,5b¢_o) = 3300 (55 + 0,5×55) = 272 000 мм³ ;

S_o,x = A_о (h₀  0,5h'_f) = 3300 (270  0,5×60) = 792 000 мм³

Так как А_b >А_o, далее расчет производим как для таврового сечения:

A_web = A_b  A_o = 9154  3300 = 5854 мм².

Определяем размер сжатой зоны х₁ по формуле (50), принимая ctg  = 4:

= 0,9 мм ;

х₁ = t + = 215,7 мм .

Проверим условие (52):

= 53,2 мм < х₁ = 215,7 мм,

следовательно, расчет продолжаем по формулам косого изгиба.

Определим значение ₁ по формуле (53), вычислив:

3,97 ;

= 0,614 .

Поскольку натяжение арматуры электротермическое неавтоматизированное, принимаем, согласно п. 3.6, _sp = 0.

Из табл. 26 и 31 при _b2 = 0,9, классе арматуры A-IV, классе бетона В25 и при (_sp + _sp) / R_s = 306/510 = 0,6 находим _R = 0,54 и _el = 0,7.

Поскольку выполняется условие (55):

₁ = 0,614 > _R = 0,54,

расчет повторяем, заменяя в формуле (49) значение R_s на напряжение _s, определенное по формуле (56).

Согласно п. 3.18,  = 0,8;

= 486 МПа;

= 8574 мм² ;

A_web = 8574  3300 = 5274 мм² ;

9 мм ;

х₁ = 9 + = 197 мм .

Определяем предельный изгибающий момент в плоскости оси х из условия (47):

М_х,u = R_b[S_o,x +A_web (h₀  х₁/3)] + R_sc S_sx = 13[792000+5274(270197/3)] +

+ 365×113(270  20) = 34,6×10⁶ Н×мм = 34,6 кН×м.

Предельный изгибающий момент в вертикальной плоскости равен:

= 35,6 кН×м .

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАСЧЕТА НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ ИЗГИБАЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (ПРИ ЛЮБЫХ ФОРМАХ СЕЧЕНИЯ, НАПРАВЛЕНИЯХ ДЕЙСТВИЯ ВНЕШНЕГО МОМЕНТА И ЛЮБОМ АРМИРОВАНИИ)

3.18 (3.28). Расчет нормальных сечений изгибаемого элемента в общем случае (черт. 10) выполняется из условия

M £ R_b S_b  _si S_si , (60)

где М — проекция момента внешних сил на плоскость, перпендикулярную прямой, ограничивающей сжатую зону сечения;

S_b — статический момент площади сжатой зоны бетона относительно оси, параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону и проходящей через центр тяжести сечения наиболее растянутого стержня;

S_si — статический момент площади сечения i-го стержня продольной арматуры относительно указанной оси;

_si — напряжение в i-м стержне продольной арматуры.

Черт. 10. Схема усилий и эпюра напряжений в сечении, нормальном к продольной оси железобетонного элемента, в общем случае расчета по прочности

1-1 - плоскость, параллельная плоскости действия изгибающего момента; 1 - точка приложения равнодействующих усилий в сжатой арматуре и в бетоне сжатой зоны; 2 - точка приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре

Высота сжатой зоны х и напряжения _si определяются из совместного решения уравнений:

R_b A_b = _si A_si , (61)

при _i £ _Ri

, (62)

где  - см. п. 3.7;

при _el,i ³ _i  _Ri

; (63)

при _i  _el,i

. (64)

Для продольной арматуры с физическим пределом текучести (см. п. 2.16) при _i  _Ri используется только уравнение (64).

В формулах (61) - (64):

A_b — площадь сжатой зоны бетона;

A_si — площадь сечения i-го стержня продольной арматуры;

_i —относительная высота сжатой зоны, равная:

,

где h_0i - расстояние от оси, проходящей через центр тяжести сечения рассматриваемого i-го стержня арматуры и параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону, до наиболее удаленной точки сжатой зоны сечения (см. черт. 10);

_Ri, _el,i - относительная высота сжатой зоны, отвечающая достижению в рассматриваемом стержне напряжений, соответственно равных R_si и R_si, значение _Ri определяют по формуле (21) п. 3.6, значение _el,i — также по формуле (21), принимая

_sR = R_si - _spi , (65)

здесь  - коэффициент, принимаемый равным:

при механическом, а также автоматизированных электротермическом и электротермомеханическом способах натяжения арматуры классов A-IV, A-V, A-VI

, (66)

где _sp1i - определяется при _sp < 1,0 (см. п. 1.18) с учетом потерь по поз. 3—5 табл. 4;

_sc,u,  - см. п. 3.6;

при иных, кроме указанных выше, способах натяжения арматуры классов A-IV, A-V и A-VI, а также для арматуры классов В-II, Вр-II, К-7 и К-19 при любых способах натяжения  = 0,8.

Напряжения _si, определенные по формуле (64), вводятся в расчет со своими знаками; при этом напряжения со знаком «плюс» означают растягивающие напряжения, а напряжения со знаком «минус» — сжимающие. Напряжения _si принимаются не менее R_sc (максимальное сжимающее напряжение) и не менее _sp — _sc,u .

Напряжение _spi в формуле (64) определяется при коэффициенте _sp < 1,0, если рассматриваемый стержень расположен в растянутой зоне, и _sp > 1,0, если стержень расположен в сжатой зоне.

Для определения положения границы сжатой зоны при косом изгибе (т.е. когда плоскость действия момента не перпендикулярна прямой, ограничивающей сжатую зону) кроме использования формул (61)-(64) требуется соблюдение условия параллельности плоскости действия моментов внешних и внутренних сил.

Если в сечении можно выявить характерную ось (например, ось симметрии или ось ребра Г-образного сечения), то при косом изгибе расчет рекомендуется производить в следующем порядке.

1. Провести две оси х и у соответственно параллельно и перпендикулярно указанной характерной оси через центр тяжести сечения наиболее растянутого стержня.

2. Подобрать последовательными приближениями положение прямой, ограничивающей сжатую зону, при постоянном угле ее наклона  так, чтобы удовлетворялось равенство (61) после подстановки в него значений _si, определенных по формулам (62)-(64); при этом угол  в первом приближении принять равным углу наклона нулевой линии, определенному как для упругого материала.

3. Определить моменты внутренних сил в плоскости осей х и у соответственно M_x,u и M_y,u.

4. Если оба момента оказываются больше или меньше соответствующих составляющих внешнего момента (М_x и M_y), то прочность сечения считается соответственно обеспеченной или необеспеченной.

5. Если один из этих моментов (например, М_у,u) меньше соответствующей составляющей внешнего момента (M_y), а другой момент больше составляющей внешнего момента (т.е. М_x,u > М_s), то следует задаться другим углом  (бóльшим, чем ранее принятый) и снова выполнить аналогичный расчет.

Примеры расчета

Пример 10. Дано: железобетонная шпала с размерами расчетного поперечного сечения по оси рельса - по черт. 11; бетон тяжелый класса В40 (R_b = 24 МПа при _b2 = 1,1); арматура из проволоки класса Вр-II, диаметром 3 мм (R_s = 1215 МПа); предварительное напряжение арматуры при _sp < 1 _sp = 975 МПа; изгибающий момент в расчетном сечении М = 26 кН×м.

Требуется проверить шпалу на прочность.

Черт. 11. К примеру расчета 10

Р а с ч е т. В связи с распределенным характером расположения арматуры по сечению расчет производим по общему случаю согласно п. 3.18.

По формуле (21) п. 3.6 определяем значения _R и _el. Для этого вычислим  = 0,85  0,008 R_b = 0,85  0,008×24 = 0,658. Поскольку арматура проволочная, принимаем _sp = 0 и  = 0,8, _sc,u = 400 МПа (так как _b2 = 1,1).

Значение _sR равно:

при вычислении _R

_sR = R_s + 400  _sp = 1215 + 400  975 = 640 МПа;

при вычислении _el

_sR = R_s  _sp = 0,8 × 1215  975 = 3 МПа.

Отсюда имеем:

.

Задавшись высотой сжатой зоны х, определим напряжение _si каждого горизонтального ряда спаренных проволок по формулам (62)-(64) :

при _i £ _R

;

при _el ³ _i  _R

= 1640  1010  ;

при _i  _el

.

Затем определим сумму усилий во всех рядах проволок _siA_si, где A_si принимается равной площади сечения арматуры в одном i-м ряду, параллельном нейтральной оси.

В первом приближении значение х определим из уравнения (61), принимая среднее напряжение в арматуре равным 0,9R_s = 0,9×1215 = 1093 МПа;

A_si = 367 мм² (52Æ3),

отсюда = 16700 мм² .

Поскольку сжатая зона имеет трапециевидную форму, высоту сжатой зоны х определим из уравнения (см. черт. 11)

откуда =

= 87,5 мм.

Вычисления приводим в табличной форме (табл. 28а).

Таблица 28а

Номера

Площадь

х = 87,5 мм

рядов проволок i

сечения i-го ряда проволок A_si, мм²

h_0i,

мм

_si,

МПа

_si A_si , Н

1

2

3

4

5

6

1