5.2.12 (5.22) При условиях, указанных в п. 5.22 СНиП РК 5.04-23-2002, расчет неразрезных и защемленных балок может выполняться с одновременным учетом работы сечений за пределом упругости и соответст вующего перераспределения опорных и пролетных изгибающих моментов. Практическая методика рас чета сводится к определению коэффициента пере распределения моментов ??, вводимого к наибольшему изгибающему моменту в пролете или на опоре ????????.
Формула (49) СНиП РК 5.04-23-2002 для определения коэффициента ?? получена из условия огра ничения максимальных остаточных деформаций в сечении значением = 3 (где = E/Ry).
В соответствии с требованиями п. 5.22 СНиП РК 5.04-23-2002 допускается принимать значения коэффициента ??, соответствующие меньшему огра ничению пластических деформаций < 3 . В этом случае коэффициент ?? необходимо определять по формуле
?? = 1 – 0,167(48)
Проверку прочности в характерных сечениях не разрезных балок необходимо выполнять согласно требованиям п. 5.22 СНиП РК 5.04-23-2002 с учетом одно временного действия в сечении изгибающего момен та М и поперечной силы Q.
Расчет неразрезных и защемленных стальных двутавровых балок с поперечно-гофрированной стенкой может выполняться с учетом развития пластических деформаций в поясах и выравнивания расчетных опорных и пролетных моментов. При этом для ограничения уровня пластических деформаций поясов следует создавать в этих участках балок зоны равного сопротивления. Методика расчета таких балок изложена в п. 5.2.14 на Примере 2.
5.2.13 (5.23) При изгибе неразрезных балок в двух главных плоскостях коэффициенты перерас пределения изгибающих моментов ?? необходимо определять в каждой плоскости отдельно с учетом условий и требований, относящихся к балкам, изгибаемым в одной плоскости.
5.2.14 ( 5.22) Рассмотрим примеры расчета нераз резных балок за пределом упругости.
Пример 1. Определить значение коэффициента ?? для четырехпролетной балки, нагруженной сосредо точенными силами в третях каждого пролета (рис.7,а).
а -схема нагружения и эпюры моментов; б - эпюры мо ментов для свободно опертых балок
Рисунок 7 - Перераспределение изгибающих моментов в нераз резной балке
Наибольший изгибающий момент, определяемый из расчета неразрезной балки в предположении уп ругой работы материала, действует на опоре 1 и его значение равно
М mах = 0,2856 Pl.
Найдем наибольшее значение изгибающего мо мента M ef . Изгибающий момент в крайнем пролете, вычисляемый как в свободно опертой балке (рис. 7, б), при а = равен М1 = 0,3333 Рl.
По формуле (50) СНиП РК 5.04-23-2002 находим
М ef = = 0,25 Pl.
Для второй силы в этом пролете при а = 0,6667l получим
М ef = = 0,2 Pl.
Для промежуточного пролета имеем М2 = 0,3333 Pl; по формуле (51) СНиП РК 5.04-23-2002 находим M ef = = 0,3333 Рl / 2 = 0,1667 Рl.
Наибольшее значение М ef = 0,25 Рl.
По формуле (49) СНиП РК 5.04-23-2002 находим а - значение коэффициента перераспределения моментов
а = 0,5 = 0,9376.
Расчетное значение изгибающего момента М равно
М = ?? М mах = 0,9376 ?? 0,2856 Pl = 0,2678 Pl.
Уменьшение изгибающего момента за счет пере распределения моментов составляет 6,24 %. Эпюра расчетных моментов показана на рис. 7, а сплошной линией.
Пример 2. Определить значение коэффициента а для однопролетной статически неопределимой бал ки (рис.8).
Рисунок 8 - Эпюры моментов в однопролетной стати чески неопределимой балке
Пластические деформации ограничены значением = 2.
Наибольший изгибающий момент в заданной бал ке при упругой работе материала действует в задел ке и его значение равно M max = 0,125 ql2. Наиболь ший изгибающий момент в пролете на расстоянии а = от левой опоры равен М = 0,07031 ql2. Изгибающий момент M1 на расстоянии a = от левой опоры, вычисленный как в однопролетной свободно опертой балке, равен M1 = 0,1172 ql2.
По формуле (50) СНиП РК 5.04-23-2002 находим
M ef = = 0,08524 ql2.
Значение коэффициента ?? определяем по фор муле (48)
?? = 1 - 0,167 ?? 2 = 0,894.
Расчетное значение изгибающего момента М равно
М = 0,894 ?? 0,125 ql2 = 0,112 ql2.
Уменьшение расчетного момента за счет пере распределения моментов составляет 10,6 %. Эпюра расчетных моментов М показана на рис. 8 сплош ной линией.
Пример 3. Для однопролетной статически неопределимой балки (рисунок 8), выполненной из сварного двутавра с поперечно-гофрированной стенкой с целью снижения ее металлоемкости следует выравнять максимальные изгибающие моменты на правой опоре и в пролете.
После возникновения пластического шарнира на правой опоре при изгибающем моменте М т, расчетная схема балки будет такой, как показано на рисунке 9.
Рисунок 9 - Расчетная схема балки при пластическом шарнире на правой опоре
Реакция на левой опоре Rл =.
Изгибающий момент в пролете на расстоянии х от опоры:
. (49)
Для определения места максимального момента в пролете приравняем нулю первую производную от Мх:
= 0, откуда хт = . (50)
В сечении с координатой хт изгибающий момент будет равен ??Мт, причем коэффициент ?? должен быть меньше единицы для того, чтобы исключить появление второго пластического шарнира в балке. В этом случае максимальный изгибающий момент в пролет определится по формуле
??М т = или
?? М т = (51)
Решая (51), определим Мт:
Мт ; = 0
Мт = 0,5qℓ2 (1+2??) – 0,5qℓ2 . (52)
При ?? = 0,95 , Мт = 0,5 qℓ2(1+2??0,95-) = 0,089qℓ2 ; хт = - 0,089ℓ = 0,411ℓ.
Коэффициент ?? можно принять равным 0,9 , тогда
Мт = 0,5 qℓ2 ??1+2??0,9- ?? = 0,5qℓ2 ?? 0,1847 = 0,09233qℓ2.
Расчетный изгибающий момент в заделке балки работающей в упругой стадии Мо = 0,125 qℓ2
Уменьшение расчетного момента за счет пластической работы материала поясов составляет 26,1 %.
Максимальный пролетный момент в этом случае будет равен
М1 = ?? Мт = 0,9 ?? 0,09233 qℓ2 = 0,083 qℓ2, т.е. на 10 % меньше, чем на правой опоре.
Пластический момент в заделке балки возникнет при нагрузке q1 = = 0,739 q. Оставшуюся нагрузку 0,261 q будет воспринимать разрезная балка. Угол поворота опорного сечения такой балки от нагрузки равной 0,261 q:
Ө = = 0,2356 = 0,2356 ?? ??т ?? , (53)
где h1 - расстояние между центрами поясов, ??т = - предельные относительные упругие деформации пояса.
Общие пластические деформации одного из поясов (лучше растянутого) балки у правой опоры будут равны:
??f,пл = Ө ?? h1 = 0,2356 ?? ??т ?? ℓ. (54)
Для того, чтобы уровень пластических деформаций пояса при статической нагрузке
n = был не более 3, нужно создать в нем зону равного сопротивления длиной
ℓзрс == 0,0785 ℓ у правой опоры.
Например, при ℓ = . ℓзрс = .
Если в обоих поясах балки будут созданы зоны равного сопротивления у правой опоры, то их длина будет в два раза меньше - . На рисунке 10 показана зона равного сопротивления в поясе балки, выполненная путем фрезеровки.
Рисунок 10 - Зона равного сопротивления в поясе балки
Уровень пластических деформаций металла на всей длине зоны равного сопротивления одинаков и составляет не более n = 3.
Если такой зоны не сделать, то уровень пластических деформаций будет во много раз больше, так как они разовьются только на небольшой длине из-за резкого снижения опорного изгибающего момента в соседних сечениях балки.
Из приведенного примера видно насколько эффективней такой конструктивный подход к перераспределению изгибающих моментов в статически неопределимых балках, чем приведенный в Примере 2 Пособия для балки с плоской стенкой.
Гораздо проще и надежней получить тот же результат выравнивания изгибающих моментов в такой балке путем предварительного напряжения с помощью изменения уровня опор. Действительно, если поддомкратить левый конец балки после ее монтажа силой F и зафиксировать его в таком положении с помощью прокладки, то в заделке возникнет изгибающий момент М1 = F??ℓ и поперечная сила Q = F.
От нагрузки q на правом конце балки изгибающий момент будет равен: Мq = 0,125 qℓ2, а поперечная сила на левой опоре Qл = qℓ.
В балке предварительно напряженной силой F и загруженной равномерной нагрузкой q изгибающий момент на правом конце будет равен Мо = 0,125 qℓ2 - Fℓ, а в пролете:
Мх = .
Приравнивая нулю первую производную найдем максимальный момент в пролете:
qℓ + F – qx = 0; х = ;
М n,max = .
а - схема нагружения шарнирно-опертого конца балки сосредоточенной силой (предварительное напряжение) и эпюра моментов от этой силы; б - схема нагружения балки равномерно-распределенной нагрузкой; в - эпюра моментов от равномерно-распределенной нагрузки
Рисунок 11 - Эпюры моментов в однопролетной статически неопределимой
предварительно напряженной балке
Если принять, что максимальный изгибающий момент в пролете должен быть не более 0,9 Мо, то можно записать уравнение:
0,9 (0,125 qℓ2 - Fℓ) или
Запишем это уравнение в таком виде F2 + 2,55 qℓF - 0,084375 q2 ℓ2 = 0
F = - 1,275 qℓ ?? = 1,275 qℓ ?? 1,30767 qℓ = 0,03267 qℓ.
Mо = 0,125 qℓ2 - 0,03267 qℓ2 = 0,09233 qℓ2 , т.е. получаем тот же расчетный момент в балке на правой опоре, но при упругой работе материала.
Пример 4. Определить значение коэффициента ?? для однопролетной балки с обоими защем ленными концами (рис. 12).
Рисунок 12 - Эпюры моментов в однопролетной балке с обоими защемленными концами
Наибольший изгибающий момент в заданной бал ке при упругой работе материала достигается одно временно на опорах и в пролете; его значение равно М тах = 0,125Рl. Изгибающий момент в середине пролета, вычисленный как в однопролетной сво бодно опертой балке, равен M3 = 0,25Рl. Согласно п. 5.22 б СНиП РК 5.04-23-2002 имеем ?? = 1.
В рассматриваемой балке перераспределения из гибающих моментов при работе материала за преде лом упругости не происходит.
5.3 Элементы, подверженные действию осевой силы с изгибом
5.3.1 (5.24, 5.25) Согласно требованиям СНиП РК 5.04-23-2002 расчет на устойчивость элементов при действии осевой силы с изгибом обычно выпол няется с учетом развития пластических деформаций. При этом приближенную формулу (52) СНиП РК 5.04-23-2002 для проверки прочности сечения можно считать предельным условием расчета на устойчивость при ?? = 0, поэтому при указанных в п. 5.24 СНиП РК 5.04-23-2002 условиях достаточно огра ничиться только проверкой устойчивости по форму ле (55) СНиП РК 5.04-23-2002. В этом случае условия фор мулы (52) СНиП РК 5.04-23-2002, в принципе, должны быть удовлетворены автоматически (рис. 13).
Что касается формулы (53) СНиП РК 5.04-23-2002, то проверка прочности сечения в пределах упругих деформаций может привести к меньшим значениям предельных нагрузок, чем проверка устойчивости по формуле (55) СНиП РК 5.04-23-2002 особенно для ко ротких стержней. Поэтому проверку прочности сечения по формуле (53) СНиП РК 5.04-23-2002 необхо димо выполнять помимо проверки устойчивости с учетом указанных в СНиП РК 5.04-23-2002 условий при менения этой формулы (см. рисунок 13).
Коэффициенты сi, в формуле (52) СНиП РК 5.04-23-2002 установлены с учетом разъяснении, изложенных в п. 5.2.7 настоящего Пособия; коэффициент п ха рактеризует „полноту" поверхностей кривых взаи модействия для различных типов сечений (рисунок 14).
1 - на прочность по формуле (52) СНиП РК 5.04-23-2002, 2 - на прочность по фор муле (53) СНиП РК 5.04-23-2002, 3 - 4 -области возможных значений N и М при проверке устойчивости
Рисунок 13 - К расчету внецентренно сжатых элементов
Рисунок 14 - Зависимость „полноты" кривых взаимодействия от значений коэффици ента n
При установлении значений коэффициентов с(сx) в табл. 66 СНиП РК 5.04-23-2002 пред полагалось, что изгиб элементов происходит в плоскости у - у, а нагрузки во всех случаях действуют сверху вниз. При уста новлении значений коэффициентов сy принималось, что изгиб элементов про исходит в плоскости х - х. Коэффициенты n (при M y = 0) необходимо прини мать с учетом того, что эксцентриситеты приложе ния нагрузки во всех случаях расположены сверху схем сечения, т. е. так же, как это показано в табл. 73 СНиП РК 5.04-23-2002. Это важно при расчете не симметричных се чений относительно оси х-х. При небольших значениях осевой силы N /(AnRy) ?? 0,1 рассматриваемые элементы прибли жаются к изгибаемым, в связи с чем при их расчете необходимо учитывать соответствующие условия и требования.
Расчет на прочность элементов двутаврового сечения с поперечно-гофрированной стенкой должен выполняться только по формуле (53) СНиП РК 5.04-23-2002.
5.3.2 (5.27) Расчеты на устойчивость внецентренно-сжатых и сжато изгибаемых элементов в плос кости действия момента, совпадающей с плоскостью симметрии сечения, выполняются согласно общим рекомендациям, изложенным в п. 5.1.7 настоящего Пособия. При этом начальные несовершенства в связи с малой вероятностью совпадения их макси мальных значений с расчетным значением эксцентри ситета е = M / N в расчетах не учитываются.
Расчеты выполняются с использованием коэффи циентов ??е устойчивости при внецентренном сжатии, которые получены в соответствии с расчетной схе мой, приведенной на рис. 3, в зависимости от отно сительного эксцентриситета mef и условной гиб кости :
??е = (55)
При этом на рис. 3 вместо начального эксцентри ситета еb следует принимать расчетный эксцентри ситет е. Если еb ?? е, то вместо коэффициентов ??e необходимо принимать коэффициенты ??.
Вычисленные по результатам исследований внецентренно-сжатых стержней коэффициенты, необхо димые для расчета, сведены в табл. 73 -75 СНиП РК 5.04-23-2002.
Табл. 74 СНиП РК 5.04-23-2002 составлена для стержней сплошного прямоугольного сечения, а табл. 75 СНиП РК 5.04-23-2002 - для сквозных стержней идеализи рованного сечения из двух полос, соединенных жест кой связью в плоскости, параллельной плоскости изгиба (см. рис. 5, б). В табл. 73 СНиП РК 5.04-23-2002 приведены коэффициенты влияния формы сечения ??, с помощью которых учитывается развитие пласти ческих деформаций и таким образом стержни раз личных типов сечений по значению предельных сил Nu приводятся к стержню прямоугольного сечения (для которого ?? = 1) при одной и той же гиб кости ??.
Расчет на устойчивость двутавровых элементов с поперечно-гофрированной стенкой про изводится по методике сквозных стержней, так как стенка не участвует в работе на сжатие и изгиб. Коэффициент ??е для этих элементов определяется по таблице 75 СНиП РК 5.04-23-2002 в зависимости от условий приведенной гибкости , которая определяется по гибкости ??, расс читанной по радиусу инерции стержня rx = 0.5 h1 , где h1 - расстояние между центрами тяжести поясов.
