Пример - Определение уровня несоответствий для показателя «процент примесей» в металлургии или в фармакологии. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.
8.6 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, М] приведен в таблице 8.6. Таким образом определяют верхнюю доверительную границу qв для доли распределения вне интервала [L, М], а также нижнюю доверительную границу pн для доли распределения случайной величины в данном интервале.
Таблица 8.6 - Определение верхней qв и нижней pн доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его (дисперсия неизвестна)
|
Необходимые условия: Prob{q £ qв} ³ 1 - a, Prob {p ³ pн} ³ 1 - a |
|
|
Статистические и исходные данные |
Промежуточные вычисления и процедуры |
|
1 Объем выборки: n = |
1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: |
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx = |
- для m и - для s, причем |
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx2 = |
= 1 - a, где j = 1, 2, 3, тогда a1m = 1/4a |
|
4 Степени свободы: v = n – 1 = |
a2m = 1/2a a3m = 3/4a |
|
5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a |
ajs = / |
|
6 Границы интервала: L = М = |
2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения |
|
|
2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью (1 - am) , (см. формулы (1), (2) таблицы 6.2) |
|
|
2.2 Наихудшая точка : = mн, если mн – А £ В - mв = mв, если mн – А > В - mв |
|
|
2.3 Интервальная оценка параметра s, соответствующая доверительной вероятности (1 - as)
(см. формулу (4) таблицы 7.1) |
|
|
Примечание - Данную процедуру повторяют три раза |
|
|
3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1: qjв = |
|
|
4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: q1в, q2в, q3в |
|
Результаты: |
|
|
1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a): qв = min(q1в, q2в, q3в) |
|
|
2 Нижняя доверительная граница для р: рн = 1 - qв |
|
Пример из 8.2, но точность станка заранее неизвестна. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного значения.
8.7 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале выше заданной нижней границы L приведен в таблице 8.7. Таким образом определяют нижнюю доверительную границу qн для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также верхнюю доверительную границу рв для доли распределения случайной величины в указанном интервале.
Таблица 8.7 - Определение нижней qн и верхней рв, доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)
|
Необходимые условия: Prob{q ³ qн} ³ 1 - a, Prob {p £ pв} ³ 1 - a |
|
|
Статистические и исходные данные |
Промежуточные вычисления и процедуры |
|
1 Объем выборки: n = |
1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: |
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx = |
- для m и - для s, причем |
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx2 = |
= 1 - a, где j = 1, 2, 3, тогда a1m = 1/4a |
|
4 Степени свободы: v = n – 1 = |
a2m = 1/2a a3m = 3/4a |
|
5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a |
|
|
6 Нижняя граница одностороннего интервала: L = |
2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения |
|
|
2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью (1 - am)
(см. формулу (2) таблицы 6.2) |
|
|
2.2 Интервальная оценка параметра s с доверительной вероятностью (1 - as)
(см. формулу (3) таблицы 7.1) |
|
|
Примечание - Данную процедуру повторяют три раза |
|
|
3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1: qjн = |
|
|
4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: q1н, q2н, q3н |
|
Результаты: |
|
|
1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a): qн = max(q1н, q2н, q3н) |
|
|
2 Верхняя доверительная граница для р: рв = 1 – qн |
|
Пример - Доказательство (с заданной вероятностью) того, что уровень несоответствий по данному показателю качества превышает установленное в нормативной документации предельное значение. Случай предъявления рекламаций на серийную или массовую продукцию по определенному показателю качества.
8.8 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале ниже заданной верхней границы М приведен в таблице 8.8. Таким образом определяют нижнюю доверительную границу qн для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей М, а также верхнюю доверительную границу рв для доли распределения случайной величины в указанном интервале.
Таблица 8.8 - Определение нижней qн и верхней рв, доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М (дисперсия неизвестна)
|
Необходимые условия: Prob{q ³ qн} ³ 1 - a, Prob {p £ pв} ³ 1 - a |
|
|
Статистические и исходные данные |
Промежуточные вычисления и процедуры |
|
1 Объем выборки: n = |
1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: |
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx = |
- для m и - для s, причем |
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx2 = |
= 1 - a, где j = 1, 2, 3, тогда a1m = 1/4a |
|
4 Степени свободы: v = n – 1 = |
a2m = 1/2a a3m = 3/4a |
|
5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a |
|
|
6 Верхняя граница одностороннего интервала: М = |
2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения |
|
|
2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью (1 - am)
(см. формулу (2) таблицы 6.2) |
|
|
2.2 Интервальная оценка параметра s с доверительной вероятностью (1 - as)
(см. формулу (3) таблицы 7.1) |
|
|
Примечание - Данную процедуру повторяют три раза |
|
|
3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1: qjн = |
|
|
4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: q1н, q2н, q3н |
|
Результаты: |
|
|
1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a): qн = max(q1н, q2н, q3н) |
|
|
2 Верхняя доверительная граница для р: рв = 1 – qн |
|
8.9 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, М] приведен в таблице 8.9. Таким образом определяют нижнюю доверительную границу qн для доли распределения вне интервала [L, М], а также верхнюю доверительную границу рв для доли распределения случайной величины в данном интервале.
Таблица 8.9 - Определение нижней qн и верхней рв, доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его (дисперсия неизвестна)
|
Необходимые условия: Prob{q ³qв} ³ 1 - a, Prob {p £ pн} ³ 1 - a |
|
|
Статистические и исходные данные |
Промежуточные вычисления и процедуры |
|
1 Объем выборки: n = |
1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: |
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx = |
- для m и - для s, причем |
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx2 = |
= 1 - a, где j = 1, 2, 3, тогда a1m = 1/4a |
|
4 Степени свободы: v = n – 1 = |
a2m = 1/2a a3m = 3/4a |
|
5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a |
ajs = / |
|
6 Границы интервала: L = М = |
2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения |
|
|
2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью (1 - am) или , (см. формулы (1), (2) таблицы 6.2) |
|
|
2.2 Наихудшая точка : = mв, если (2.2.1) = mн, если (2.2.2) , если формулы (2.2.1) и (2.2.2) не выполняются |
|
|
2.3 Интервальная оценка параметра s с доверительной вероятностью (1 - as)
(см. формулу (3) таблицы 7.1) |
|
|
Примечание - Данную процедуру повторяют три раза |
|
|
3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1: qjн = |
|
|
4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: q1н, q2н, q3н |
|
Результаты: |
|
|
1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a): qн = max(q1н, q2н, q3н) |
|
|
2 Верхняя доверительная граница для р: рв = 1 – qн |
|
A.1 В таблице A.1 даны значения функции стандартного нормального закона распределения
,
т. е. значения площади под кривой
,
лежащей левее точки и.
А.2 В левой колонке таблицы A.1 приведены значения аргумента и от 0,00 до 0,49, обозначение буквой z. Во второй колонке приведены значения функции Ф для этих значений аргумента. В последующих колонках таблицы даны значения функции Ф для значении аргумента и от 0,50 и выше. При этом значение аргумента и находят как сумму значения z и величин:: 0,50; 1,00; 1,50; 2,00; 2,50; 3,00.
