Материалы демпфирующие. Графическое представление комплексных модулей упругости

Те же данные для комплексного модуля упругости G представлены на рисунке 4, где левая вертикальная логарифмическая шкала соответствует безразмерному коэффициенту потерь r|_G, а по горизонтальной логарифмической оси отложена действительная часть комплексного модуля упругости G_R, МПа.

Рисунок представляет собой номограмму, основанную на формуле (3) [4].Температура, К

Действительная часть комплексного модуля упругости G_R, МПа

Рисунок 4 — График «перевернутое U» для комплексного модуля упругости

Пример

Введем на правой шкале значение 200 Гц и от точки, соответствующей 200 Гц, проведем горизон­тальную линию до пересечения с кривой, соответствующей 295 К; от точки пересечения проследуем вниз и прочитаем на горизонтальной оси 120 МІПа, после чего продолжим вертикаль вверх до пересе­чения с кривой данных. Проведя горизонталь от точки пересечения до левой вертикальной шкалы, получим значение коэффициента потерь 0,53.

В ряде задач определенные удобства обеспечивает аппроксимация полученных данных для функции температурного смещения и комплексного модуля упругости некоторыми аналитическими кривыми. Поэтому, помимо графического, рекомендуется также аналитическое представление данных (например, в виде таблиц 1 и 2).

Таблица 1 — Пример аналитического представления функции температурного смещения lg a_r = а(1/7—1/7_Z) + 2,303(2a/7_z — b) Q{TIT_z)—{blT_z—alT_z²—S_AZ)(T—T_z) — — </(lg <t_T)/dT= a{ 1/7—1IT_Z)² + 6(1/7—1/7_Z) + S_AZ

T_{z =}A(V) = 290; S_AZ= A(4) = 0,069

_T

I ****** ****** ^AL ***** иЛтуч/у *****

_T

Сд = (1/7_L—1/7_Z)²

C_B = 1/7_L—1/7_Z
C “ ^AL ^AZ
D_A= (MT_H—VT_Z)^2
db ~ VT_H-VT_ZОкончание таблицы I

_D

С ~ ^АН ^AZ d_e= d_bc_a—c_bd_aa = (D_sC_c-C_bD_c)ID_eb = (C_aD_c—D_aC_c)ID_e

Таблица 2 — Пример аналитического представления комплексного модуля упругости G = [G_e(/f_R/10~% f_R0)^ + G_gWf_R0) ]/[1+(/ї_я/Ю-я f_RQr^r + (/f_R/f_R0) Pr- P_s ]

_G

_e — I у — Q,v

— Qi і — QZ-U У

X _ Q/O — ЛИЛ RO — — Я- I v

_P

P_e = B(5) = 0,01

P_R = B(6) = 0,005 a_F = B(7) = 0,52 a_B = B(8) = 0,58 " О/ЛХ — Q ЧЛ ***** у J *****

Если для определения значений параметров зависимостей или при интерпретации данных ис­пользуют графические изображения (например, линеаризованной зависимости между действительной и мнимой частями модуля упругости для определения угла пересечения кривой данных с осью дейст­вительной части модуля), они также должны быть включены в представление данных.

При использовании аналитического представления данных следует избегать ненужной экстрапо­ляции.Приложение А
(справочное)

Соотношения для комплексного модуля упругости

Основное уравнение для деформируемого линейного, изотермического, изотропного, однородного, терморе­ологически простого [см. формулу (А.7)] вязкоупругого материала в операторной форме имеет вид [5]:

P(p_R) z(t) = Q(p_R) rt), (А.1)

где x(f) — сдвиговое напряжение;

7(f) — сдвиговая деформация;

P(p_R) и Q(p_R) — полиномы от p_R.

Оператор p_R определяют как

p_R= d/dt_R. (А.2)

Дифференциал приведенного времени dt_R определяют как

dt_R= dtla_T(T), (А.З)

где t— время, с;

а_т{Т) — безразмерная функция температурного смещения [2], зависящая от температуры Т, К.

Осуществив преобразование Фурье для обеих частей формулы (А.1), можно определить комплексный модуль сдвига G для изменяющихся по синусоидальному закону напряжения и деформации в виде

G (/®_R) = т* (JOr)= Q(/<Or)/P(JOr), (А.4)

где знак * означает преобразование Фурье некоторой функции времени, например т* (j a)_R) — преобразование Фурье для т (f).

Приведенная угловая частота

<л>а_т(Т) = 2тс f_R= 2 л fa_T(Т) (А.5)

представляет собой произведение угловой частоты со, рад/с, и безразмерной функции температурного смещения ?r ^и f являются приведенной циклической частотой и циклической частотой, Гц, соответственно.

Комплексный модуль сдвига зависит как от частоты, так и от температуры:

G=G(a>, Т). (А.6)

В том и только в том случае, когда эта зависимость имеет вид

G = G (/ g>_r) = G [/ со а_т (Г)], (А.7)

материал называют термореологически простым. Формулы (А.1) — (А.7) справедливы только при выполнении предположения о линейности модели.

Рассмотрим теперь участок вязкоупругого материала под воздействием сдвиговой деформации, изменяю­щейся по синусоидальному закону [6]:

у = у_д sin cot, (А.8)

которая отстает по фазе от сдвигового напряжения на угол 3$ :

т = Тд sin (cof + 3$ ). (А.9)

В комплексном виде эти величины могут быть представлены как

Тогда комплексный модуль сдвига может быть представлен также в виде

G

(A .12)

= G ' +jG " = G_r(1 +/r|_G),

где G_M — абсолютное значение комплексного модуля сдвига;

G_r = G' — действительная часть комплексного модуля сдвига;

G/ = G " = G_r r|_G — мнимая часть комплексного модуля сдвига;

т|0 = tan 3_G — коэффициент потерь в материале при сдвиге.

Сказанное справедливо для одно-, двух- и трехосных деформаций и напряжений [2] и может быть распро­странено и на другие параметры, такие как модуль Юнга Е, модуль объемной упругости К, постоянную Ламе X и др

.

К термореологически простым материалам относят те материалы, для которых комплексный модуль упру­гости может быть выражен в виде комплексной функции одной независимой переменной, а именно — приведенной частоты, которая отражает зависимость комплексного модуля упругости как от частоты, так и от температуры.

Примечание — Иногда действительную часть комплексного модуля упругости и коэффициент потерь в материале рассматривают как независимые функции приведенной частоты. Хотя это и может облегчить получение удовлетворительных практических результатов, с концептуальной точки зрения данное предположение ошибочно.

Оценка комплексного модуля упругости, полученная для заданной температуры и заданной частоты, опре­деляет амплитудное и фазовое соотношение между синусоидальными напряжением и деформацией.

Приложение В
(справочное)

Библиография

[11 Standard method for measuring vibration-damping properties of materials, American Society for Testing and Materials, ASTM E 756—83, 1983

2. Ferry, J.D. Viscoelastic properties of polymers, 3rd ed, Wiley, 1980

3. Jones, D.I.G. A reduced temperature nomogram for characterization of damping material behavior, Shock and Vibration Bulletin, 1978, Vol. 48, No 2, pp. 13—22

4. Jones, D.I.G. and Rao, D.K. A new method for representing damping material properties, ASME Vibration Conference, Boston, MA, Sept. 1987

5. Rogers, L. Operators and fractional derivatives for viscoelastic constitutive equations, J. Rheology, 1983, Vol. 27, No

4, pp. 351—372

2. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний. — М.: Мир, 1988. — 448 с.

УДК 539.32:620.17:006.354

МКС 17.160

Т34

ОКСТУ0011

Ключевые слова: модули упругости, измерения, представление данных

Редактор Л.В. Афанасенко
Технический редактор В.Н. Прусакова
Корректор В.Е. Нестерова
Компьютерная верстка В.И. Гоищенко

Сдано в набор 04.10.2007. Подписано в печать 01.11.2007. Формат 60x84¹/в. Бумага офсетная. Гарнитура Ариал.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,40. Уч.-изд. л. 1,00. Тираж 126 экз. Зак. 808.

ФГУП «СТАНДАРТИ НФОРМ», 123995 Москва, Гранатный пер., 4.

www .до sti nfo. ru inf o@gosti nfo. ru

Набрано во ФГУП «СТАНДАРТИНФОРМ» на ПЭВМ
Отпечатано в филиале ФГУП «СТАНДАРТИНФОРМ» —тип. «Московский печатник», 105062, Москва, Лялин пер., 6.