Страница 3: ГОСТ 30415-96. Сталь. Неразрушающий контроль механических свойств и микроструктуры металлопродукции магнитным методом (77379)

Если tj >t_{q v}, то значение /-го коэффициента регрессии считается надежным. Если F > F_{q v} , то значение множественного коэффициента регрессии считается надежным.

Прежде всего необходимо получить модели с надежными оценками коэффициентов регрессии и коэффициента множественной корреляции, минимальной ошибкой аппроксимации и стандартной ошибкой оценки модели.

Остановиться следует на той из построенных моделей, которая имеет надежные оценки Г, коэффициентов регрессии Ь', надежную оценку F мно­жественного коэффициента корреляции, наименьшую стандартную ошибку оценки модели, достаточно высокий коэффициент множественной корреля­ции R как показатель детерминированности взаимосвязи целевой перемен­ной Y с независимыми переменными X, а также имеет состав переменных X, приемлемый в контексте решаемой задачи.

ПРИЛОЖЕНИЕ В
(справочное)

МЕТОДИКА ВОССТАНОВЛЕНИЯ РЕГРЕССИОННЫХ
ЗАВИСИМОСТЕЙ ПО ЭМПИРИЧЕСКИМ ДАННЫМ

Для восстановления количественного соответствия между значениями показателей механических свойств проката и измеряемыми физическими параметрами в случае, когда выборки проводятся несогласованно и имеют различное число измерений, предлагается методика нахождения коэффици­ентов калибрующего уравнения, базирующаяся на восстановлении корреля­ционных зависимостей. Основанием применения метода восстановления является стабильность свойств, порождаемых данной технологией, и нор­мальный закон совместного распределения значений измеряемых показате­лей.

При восстановлении зависимостей различные постановки задач сводятся к математической схеме минимизации среднего риска по эмпирическим данным.

Считается, что показатели У и X связаны регрессионной зависимостью, если каждому значению х показателя X ставится в соответствие число у, полученное с помощью случайного испытания над показателем У согласно условной плотности вероятности Р(у/х). Иначе говоря, каждому х ставится в соответствие закон S(y/x), согласно которому в случайном испытании реализуется выбор у.

Полное знание регрессионной зависимости требует восстановления ус­ловной плотности їу/х), но на практике, в задачах обработки результатов измерений, нужно знать одну из ее характеристик, функцию условного математического ожидания

у (х) = J у • P(y/x)dy, (В.1)

называемую регрессией.

Задача восстановления функции условного математического ожидания в этом случае формулируется как задача восстановления регрессии — одна из основных проблем прикладной статистики.

Постановка задачи состоит в следующем.

При проведении испытаний случайно и независимо появляются значе­ния измерений х. В этой среде работает преобразователь S(x/y), который

ііііііііііііііііііііііііііііііііііііісл^аййдЩНИЬШіїШй'ЯуіЬбгаЖЇІбНакйд'йуНРС^/^іііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііі , что: Свойства і среды 1х) и закон¹Р(у/х)¹¹ неизвестны, однако известно

с

(В.2)

У = У W.

Требуется по паре случайных независимых выборок в общем случае различного объема

{A,}, i-Tjn; Ц), j= М (В.З)

восстановить регрессию, то есть в классе функций F(x, а) отыскать функцию F (х, а'), наиболее близкую к регрессии у(х).

Здесь т, п — объемы независимых выборок над показателями Y, X, a F — обозначение класса функций регрессии, отличающихся значениями параметров а, принадлежащих А — множеству значений.

Задача восстановления регрессии сводится к проблеме минимизации функционала

1(a) = / (у — F[x,a))²■ Р(у/х) ■ P(x)dxdy (В.4)

на множестве F{x,a) ^L_p— интегрируемых с квадратом по мере Р(х) функций в ситуации, когда совместная плотность вероятности Р(х,у) = Р(у/х)Р[х) неизвестна.

Можно показать, что если регрессия у = у(х) принадлежит классу F{X,а), то она минимизирует функционал Ца). Если же регрессия не принадлежит F[x,a), то минимум достигается на ближайшей к регрессии функции F[x,a), то есть в любом случае решение будет оптимальным относительно сделанных предположений.

Близость функций понимается в смысле метрики L_p (квадратичная мера): d [ (fj(x), /₂(х) ] А/ I(/j(x)-/₂(x))²P(x)dx. (В.5)

Записываем формулу (4) в общей форме

/(а) = Qtz,a) Р (z)dz, (В.6)

где 1(a) — средний риск;

Q(z,a) — функция потерь в задаче минимизации среднего риска при восстановлении регрессии по эмпирическим данным z_t, Zi • •• •

Минимальное значение (В.6) достигается с доверительной вероятностью Р, называемой надежностью восстановления.

Практическое решение задачи, обеспечивающее минимизацию среднего риска восстановления регрессии с заданной надежностью на выборках конечного объема, состоит в построении уравнения выбран­ной 100 (1 — а)-процентной области D_yx совместного распределения значений показателей Y, X.

D^ -. D(a., и) = 0, (В.7)

где и — вектор параметров, включающий опорные значения совместного распределения измерений х, у, в том числе средние значения ў, х, средние квадратические отклонения S_y, S_x и парный коэффициент корреляцииНаходится решение уравнения относительно R_yx при выборочных значениях опорных величин. В частности, 100(1—а)-процентная доверительная область совместного попадания значений у, х определяется уравнением эллипсоида

ЖЖ - 2R (у-ў ) (х~х) + ^(х-/⁾²-= 1 - (В.8)

Аг

с растяжением, соответствующим назначенной доверительной вероятности и объемам выборок.

Задавая статистические, гипотезы о предельных значениях Y = У⁰ и X = Л”, находим решение уравнения (В.8) относительно R что позволяет определить калибрующий коэффициент

<В’>

и смещение

а = у— Ьх (В. 10)

для восстановления регрессионной зависимости

у = а + bx (В.11)

между механической характеристикой и измеряемым физическим показате­лем.

Как правило, уравнения (В.7) являются нелинейными относительно в связи с чем целесообразно использовать один из приближенных методов отыскания решений с интерацией на /-м шаге

u(i + 1) = u(j) + (В. 12)

где g(i) — единичный вектор в направлении градиента;

t(i) — значение шага

.УДК 669.13/14.001.4:006.354 ОКС 77.140 В09 ОКСТУ 0909

Ключевые слова: неразрушающий контроль, магнитный метод, сред­ства контроля, проведение контроля, обработка результатов

Редактор Т.С. Шеко
Технический редактор В.Н. Прусакова
Корректор В. И. Варенцова
Компьютерная верстка В.И. Грищенко

Изд. лиц. №021007 от 10.08.95. Сдано в набор 19.06.97. Подписано в печать 13.08.97.

Усл. печ. л. 1,16. Уч.-изд. л. 1,10. Тираж 348 экз. С731. Зак. 529.

ИПК Издательство стандартов, 107076, Москва, Колодезный пер., 14.
Набрано в Издательстве на ПЭВМ

Филиал ИПК Издательство стандартов — тип.’ "Московский печатник"
Москва, Лялин пер., 6.

Плр № 080102