---

Таблица 1 — Процедура определения объема выборок по номограмме Ларсона (рисунок 2)

Точка пересечения прямых линий 1 и 2, указанных в таблице 1, дает значения С/ ₀(С_о0)на шкале х. Если х — не целое число, его следует округлить до ближайшего целого числа.

Процедуры проверки для нулевых гипотез:

^Н0^:P-І - Р2’

^Н0^: Pl - Р2’

^Н0^: Pl ⁼ Р2’

где Pi — доля (пропорция) целевых элементов в совокупности 1, а р₂— доля (пропорция) целевых эле­ментов в совокупности 2, описаны в формах С-1 — С-3 (8.3). Эти процедуры можно использовать для анализа независимости двух атрибутов (дихотомических характеристик) элементов совокупности.

Предположения:

1. для одностороннего критерия Н_о: р^< р₂ мощность (1 — р) определяют для заданной пары про­порций pi и р₂, где р₁> р₂;

2. для проверки гипотез используют две выборки одного и того же объема, то есть п₁= п₂= п.

Если а — уровень значимости, то достаточно точное приближенное значение мощности может быть получено обратным преобразованием по [1]:

1 —р =ф(г —ц₁__а),

где Ф— функция распределения стандартного нормального распределения; и-) _ _а— квантиль стандартного нормального распределения уровня (1 — а);

z = 72л | arcsiл— (1/ 2п) — arcsiпJp₂— (1/ 2п)

Это приближение может также использоваться и для двустороннего критерия Н_о р₁ = р₂ с альтер­нативной гипотезой Ну. р₁ > р₂, если а заменить в формуле на а/2.

Если объемы выборокл₁ и п₂ не заданы, их минимальные значения должны быть выбраны такими, чтобы мощность критерия была не менее (1 —Р), а уровень значимости — не менее а.

Предполагается, что нулевая гипотеза является односторонней Н_о: р₁ < р₂. Однако приведенные процедуры применимы также для двустороннего критерия Н_о: р^ = р₂ с альтернативной гипотезой /-/₁ : р₁ > р₂, если заменить а на а/2.

Точные значения объема выборок приведены в таблицах 5и6 и в [2] для выбранных значений а ир. Эти таблицы предполагают, что объемы выборок равны, т.е. п = л₁ = п₂

Для сочетаний а, p_vр₂ и (1 — Р), не приведенных в таблицах 5 и 6, может использоваться следую­щее приближение, которое учитывает неравные объемы выборок, однако необходимо, чтобы отноше­ние г объемов выборок п^/п₂ было выбрано заранее.

л

Рі)+ р₂(1

₂ = n-i/r;

U-l-a Т)Гр + р ТРдіЇЇ г(Рі — Р₂)²

7;-ГР1 +Р2.

q = 1—р.

5. Формы

Для простоты применения форм необходимо отметить квадратики, представляющие активизиро­ванную часть формы, а затем выполнить необходимые действия, вводя необходимые данные.

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Выбранный уровень доверия 1 — а =

Объем выборки п =

Число целевых элементов в выборке X =

Определение границы доверительного интервала

1. Процедура для п < ЗО I—I

1. Случай х = п LI

Ри, о = ¹

2. Случай х < л 1-І

По таблице 2 для известных значений п, Х= х и q = (1 — а) определяют

Ри,0= ^Г1-а <^л’^х) =

2. Процедура для п > 30 О

1. Случай х = 0 □

Р₀,о ^{= 1}-«^1/п =

2. Случай х = n I I

Ри, О = ¹

3. Случай 0 < х < л LI

По таблице 3 для q = (1 — а) определяют л₁ _ _а =

Значение d, соответствующее выбранному уровню доверия, определяютпо следующей таблице.

Ри,0 = Р* + (¹ — ²P*W I (П + ¹) + "1 - a л/Р* (¹~ Р* )[1 —С//(П + 1)]/(Л + 1) = где р_х = (х + 1 )/(л + 1 ).

Результат (искомый доверительный интервал):

Р—Ри,о

⁼

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Выбранный уровень доверия 1 — а =

Объем выборки п =

Ч

0,90

0,95

0,99

0,411

0,677

1,353

исло целевых элементов в выборке X =

Pl,о = Р* + (¹ — ¹²³⁴Р* У / (п + 1) — и₁ _ _а 7 рД1 — р,)[1 — с/ / (л + 1)] / (л + 1) =

где р* = х/(п + 1 ).

Результат (искомый доверительный интервал):

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Выбранный уровень доверия 1 — а =

Объем выборки п =

Число целевых элементов в выборке X =

Определение границ доверительного интервала

1. Процедура для п < ЗО I—I

1. Определение верхней границы доверительного интервала:

• Случай х = п 1-І

Ри, t = ¹

• Случай х < п 1-І

По таблице 2 для известных значений п, Х= х и q = (1 — а/2) определяют

Ри, t=^T1- а/2 ("> X) =

2. Определение нижней границы доверительного интервала:

• Случай х = 0 П

• Случай х > 0 □

По таблице 2 для известных значений п, Х= п — х и q = (1 — а/2) определяют:

• 1 - а/2 ^п — X) =

Pl,t = ' — Т^__аІ2(п,п — х) =

2. Процедура для л > 30 О

1. Определение верхней границы доверительного интервала:

• Случай х = 0 I I

Ри _f=1-(0/2)1/" ₌

• Случай х = л □

^P°’^f=1 1-і

• Случай 0 < х < л О

По таблице 3 для q = (1 — а/2) определяют и₁ _ _а/2 =

Значение d, соответствующее выбранному уровню доверия, определяютпо следующей таблице.

Ри, t =Р* + (1 — ²Р* )^ / (л + 1) + U1 _ а/2 V Р* (1 — Р* )[1 — d / (л + 1)] / (л + 1) = где р„ = (X + 1 )/(л + 1).

2. Определение нижней границы доверительного интервала:

• Случай х = О

Pl, t = ⁰□

• Случай х = л

Р/, _f = (а/2)1/" = □

• Случай 0 < х < л

По таблице 3 для q = (1 — а/2) определяют а₁ _ _а/₂ -Значен ие с/, соответствующее выбранному уровню доверия, определяютпо следующей таблице.

Pl,t = Р* + (⁵⁶ — ⁷Р^ / (п + 1) + и₁ _ _а/2 л/р*(¹ —р* )[1 —+ 1)]/(л+ 1) =
где р* = х/(п + 1).

Результаты (искомый доверительный интервал):

Pl,t =

Ри, t ~

Pl,t^P^Pu,t-

8.2 Формы В. Сравнение пропорции р с заданным значением р₀

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Данное значение р₀ =

Выбранный уровень значимости а =

Объем выборки п =

Число целевых элементов в выборке X =

Процедура проверки гипотез

I Критические значения известны (см. 7.2.1) Q

^с/, о ⁼

Результат проверки гипотезы:

Гипотеза Hq отклонена

Гипотеза Hq не отклонена

Определение критических значений

С/ ₀ — наименьшее неотрицательное целое число х, для которого процедура проверки гипотез по форме В-1 (II) не ведет к отклонению гипотезы Hq. Значение С/ ₀ определяют методом итераций путем повторного применения формы В-1 (II) с различными значениями х, пока не будут найдены такие два значения х, которые отличаются друг от друга на 1, и при этом одно из значений приводит к отклоне­нию нулевой гипотезы Н_о, а другое значение приводит к неотклонению нулевой гипотезы /7₀⁸). Началь­ное значение х_старт может быть получено следующим образом.

В качестве %*⁹) принимают значение пр₀, округленное до ближайшего целого числа Pl, olx = x* ⁼(Pl, olx = x* определяют по 8.1.2, форма А-2)

^хстарт ⁼ значение npj ₀|_{х =} округленное до ближайшего целого числа =

Интерпретация результатов проверки гипотез по форме В-1 (II): для х < Ci ₀ — 1 = гипотезу Hq отклоняют;

ДЛЯ X > Cj ₀= гипотезу Hq отклоняют

Результат: С, ₀=

Критическое значение (или одно из критических значений) может не существовать для некоторых значе­ний р₀ и/или для очень маленьких объемов выборок п.

²) х* — вспомогательная величина для нахождения х_ст

8.2.2 Форма В-2. Сравнение пропорции рс заданным значением р₀ для одностороннего критерия сН₀:р< р₀

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Заданное значение р₀ =

Выбранный уровень значимости а =

Объем выборки п =

Число целевых элементов в выборке X =

Процедура проверки гипотез

II Критические значения неизвестны 1_1

1. Случай х <р_оп Q

Гипотезу Н_о не отклоняют.

2. Случай х > р₀п ГП

1. Процедура для п < 30 Q

По 8.1.2 (форма А-2) определяют одностороннюю нижнюю доверительную границу для л, х и уровня доверия (1 — а)

Р/,о =

Гипотезу Hq ОТКЛОНЯЮТ, если Pl Q > р₀, в противном случае гипотезу не отклоняют.

2. Процедура для п > 30 - Случай х = п

P

[см. 8.1.2 Ь)2)].

i,o= ^^{1п =}

Гипотезу Hq ОТКЛОНЯЮТ, если Pl Q > Pq, в противном случае гипотезу не отклоняют.

- Случай 0 < х < л | |

По таблице 3 для q = (1 — а) определяют и< _ „ =

I хЛ¹⁰

и₂ = 2 V х(1 — До) — УІІП — Х + 1)до

Гипотезу Hq отклоняют, если л₂ > и₁ _ _а, в противном случае гипотезу не отклоняют.

Результат проверки гипотезы:

Гипотеза Н_о отклонена

Гипотеза Н_о не отклонена

Определение критических значений

С_о, Q — наибольшее целое число х, для которого процедура проверки гипотез по форме В-2 (II) не ведет К отклонению нулевой гипотезы. Значение С_и о определяют методом итераций путем повторного применения формы В-2 (II) с различными значениями х, пока не будут найдены такие два значения, которые отличаются друг от друга на 1, и при этом одно из значений приводит к отклонению нулевой гипотезы Н_о, а другое значение приводит к неотклонению нулевой гипотезы /7₀¹). Начальное значение Х_Старт может быть получено следующим образом

В качестве х*¹¹) принимают лр₀, округленное до ближайшего целого числа: Ри, olx = x*⁼ (Pu,olx = x* определяют по 8.1.1, форма А-1)

х_Старт ⁼ значение пр_и0|_{х = х}*, округленное до ближайшего целого числа.

Интерпретация результатов проверки гипотез по форме В-2 (II): для х < С_и о = гипотезу Н_о не отклоняют;

ДЛЯ X > С и Q + 1 = гипотезу Hq отклоняют

Результат:

Си, о ^_

8.2.3 Форма В-3. Сравнение пропорции р с данным значением р₀ для двустороннего критерия "о- Р = Ро

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов: