Страница 40: ДСТУ-Н Б EN 1999-1-1:2010. Єврокод 9. Проектування алюмінієвих конструкцій. Частина 1-1. Загальні правила для конструкцій / Eurocode 9. Design of aluminium structures. Part 1-1. General structural rules (60373)

ДОДАТОК E [ДОВІДКОВИЙ] – аналі­тичні моделі ЗАЛЕЖНОСТІ напруженНЯ – деформаціЯ

E.1 Галузь застосування

(1) У цьому Додатку наведені ідеалі­зовані фізико-математичні моделі співвід­ношень між напруженнями та деформа­ціями у алюмінієвих сплавах. Ці моделі розроблені з метою врахування реальної роботи таких матеріалів у пружній області зі зміцненням.

(2) Запропоновані моделі мають різний рівень складності у залежності від необхід­ної точності розрахунків.

ПРИМІТКА. Позначення Додатку E відносяться до конкретних моделей і не обов’язково узгоджуються з позначеннями 1.6.

ANNEX E [informative] – Analyti­cal models for stress strain re­lationship

E.1 Scope

(1) This Annex provides the models for the idealization of the stress-strain relationship of aluminium alloys. These models are conceived in order to account for the actual elastic-hardening behaviour of such materials.

(2) The proposed models have different levels of complexity according to the accuracy required for calculation.

NOTE. The notations in this Annex E are specific to the different models and do not necessarily comply with those in 1.6.

E.2 Аналітичні моделі

(1) Аналітичний опис співвідношення між напруженнями () та деформаціями () у тому чи іншому алюмінієвому сплаві забезпечує одна з наступних двох типів моделей:

– кусково-лінійна модель;

– гладка модель.

(2) Числові параметри, які описують кожну модель, слід калібрувати за фактич­ними механічними властивостями матеріа­лу. Останні можна отримати шляхом відповідного випробування на розтяг або взяти для них номінальні значення, наведені для кожного сплаву у розділі 3.

E.2 Analytical models

(1) The analytical characterization of the stress () - strain () relationship of an aluminium alloy can be done by means of one of the following models:

– Piecewise models

– Continuous models

(2) The numerical parameters, which define each model, should be calibrated on the basis of the actual mechanical properties of the material. These should be obtained through appropriate tensile test or, as an alternative, on the bases of the nominal values given, for each alloy, in Section 3.

E.2.1 Кусково-лінійні моделі

(1) Ці моделі грунтуються на припу­щенні, що закон - для матеріалу опису­ється ламаною лінією, окремі сегменти якої представляють пружну, непружну і плас­тичну роботу зі зміцненням або без нього.

(2) Згідно з цим припущенням характе­ризувати діаграму напружень-деформацій можна такими моделями:

– дволанковою моделлю зі зміцненням або без нього (рисунок E.1)

– триланковою моделлю зі зміцненням або без нього (рисунок E.2)

E.2.1 Piecewise linear models

(1) These models are based on the assu­mption that material - law is described by means of a multi linear curve, each branch of it representing the elastic, inelastic and plastic, with or without hardening, region respectively.

(2) According to this assumption, the characterization of the stress-strain relation­ship may generally be performed using either:

– bi-linear model with and without hardening (figure E.1)

– three-linear model with and without hardening (figure E.2)

E.2.1.1 Дволанкова модель

(1) Якщо використовується дволанкова модель зі зміцненням (рисунок E.1 a), то приймаються наступні співвідношення:

E.2.1.1 Bi-linear model

(1) If a bi-linear model with hardening is used (figure E.1a), the following relationships may be assumed:

при (for) ; ^(E.1)

^{при (for)}, ^(E.2)

де:

– умовна пружна межа пропорційності;

– деформація, яка відповідає напружен­ню ;

– деформація, яка відповідає напру­женню ;

E – модуль пружності;

– модуль зміцнення.

(2) Якщо вибирається ідеальна пружно­пластична модель (рисунок E.1 b), то мате­ріал залишається ідеально пружним до до­сягнення граничного пружного напруження . Пластичні деформації без зміцнення слід розглядати до значення .

(3) За відсутності більш точних значень вищезгаданих параметрів у обох моделях на рисунку E.1a та E.1b можна приймати наступні значення:

– номінальне значення (див. розділ 3);

– номінальне значення  (див. розділ 3);

– ;

– номінальне значення гранично допустимої деформації (див. розділ 3);

= ;

where:

– conventional elastic limit of proportionality;

– strain corresponding to the stress ;

– strain corresponding to the stress ;

E – elastic modulus;

– hardening modulus.

(2) In case the "Elastic-Perfectly plastic" model is assumed (figure E.1b), the material remains perfectly elastic until the elastic limit stress . Plastic deformations without hardening should be considered up to .

(3) In the absence of more accurate evaluation of the above parameters the following values may be assumed for both models of figure. Ea) and b):

– nominal value of (see Section 3);

– nominal value of (see Section 3);

– ;

– nominal value of ultimate strain (see Section 3);

– ;

E.2.1.2 Триланкова модель

(1) Якщо використовується триланкова модель зі зміцненням (рисунок E.2a), приймаються наступні співвідношення:

E.2.1.2 Three-linear model

(1) If three-linear model with hardening is used (figure E.2a), the following relationships may be assumed:

при (for) ; (E.3)

при (for) ; (E.4)

при (for) , (E.5)

де:

f_p – межа пропорційності (=R_p,0,001);

f_e – межа пружності (=R_p,0,2);

_p – деформація, яка відповідає напружен­ню f_p;

_e – деформація, яка відповідає напружен­ню f_e;

_max – деформація, яка відповідає напру­женню f_max;

E – модуль пружності;

E₁– перший модуль зміцнення;

E₂ – другий модуль зміцнення.

(2) Якщо використовується ідеально пластична модель (рисунок E.2b), слід розглядати пластичну деформацію без зміцнення (E₂=0) у діапазоні значень з _e до _max.

where:

f_p– limit of proportionality (=R_p,0,001);

f_e– limit of elasticity (=R_p,0,2);

_p– strain corresponding to the stress f_p;

_e– strain corresponding to the stress f_e;

_max– strain corresponding to the stress f_max;

E – elastic modulus;

E₁– first hardening modulus;

E₂– second hardening modulus.

(2) In case the "Perfectly plastic" model is assumed (figure E.2b), plastic deformations without hardening (E₂=0) should be considered for strain ranges from _e to _max.

Рисунок

E.1

Дволанкові моделі

Figure

E.1

Bi-linear models

Рисунок

E.2

Триланкові моделі

Figure

E.2

Three-linear models

E.2.2 Гладкі моделі

(1) Ці моделі грунтуються на припу­щенні, що закон - описується гладким співвідношенням, яке зображає пружну, непружну та пластичну роботу матеріалу зі зміцненням або без нього.

(2) Згідно з цим припущенням, характе­ризувати співвідношення «напруження-де­формація» можна за допомогою таких моделей:

гладких моделей у формі

гладких моделей у формі

E.2.2 Continuous models

(1) These models are based on the assum­ption that the material - law is described by means of a continuous relationship represen­ting the elastic, inelastic and plastic, with or without hardening, region respectively.

(2) According to this assumption, the characterization of the stress-strain relationship may generally be performed using either:

Continuous models in the form

Continuous models in the form

E.2.2.1 Гладкі моделі у формі =()

(1) Якщо приймається закон у формі =(), то зручно виділити на графіку три окремі ділянки, які визначаються наступ­ним чином (див. рисунок E.3а):

ділянка 1 пружна робота;

ділянка 2 непружна робота;

ділянка 3 деформаційне зміцнення.

(2) На кожній ділянці робота матеріалу описується своїм співвідношенням «напру­ження-деформація», які слід зшивати на кінцях ділянок. Згідно з цим припущенням такі співвідношення можна виразити у вигляді (рисунок E.3b):

Ділянка 1 при де та

E.2.2.1 Continuous models in the form =()

(1) If a =() law is assumed, it is convenient to identify three separate regions which can be defined in the following way (see figure E.3а):

Region 1 elastic behavior;

Region 2 inelastic behavior;

Region 3 strain-hardening behavior.

(2) In each region the behavior of the material is represented by means of different stress versus strain relationships, which have to ensure continuity at their limit points. According to this assumption, the characteri­zation of the stress-strain relationship may be expressed as follows (figure E.3b):

Region 1 for with and

(E.6)

Ділянка 2 при де та

Region 2 for with and

^{. (E.7)}

Ділянка 3 при

Region 3 for

^{, (E.8)}

де:

f_e – умовна межа пружності;

f_max – зусилля розтягу у верхній точці кривої;

_e – деформація, яка відповідає напружен­ню ;

_max – деформація, яка відповідає напруженню f_max;

E – модуль пружності.

(3) За відсутності більш точних даних про перераховані вище параметри можна приймати їх у такому вигляді:

f_e– номінальне значення f_o (див. розділ 3);

f_max– номінальне значення (див. розділ 3);

_max = 0,5_u;

_u– номінальне значення граничної деформації (див. розділ 3);

E – номінальне значення модуля пружності (див. розділ 3).

where:

f_e– conventional elastic limit

f_max- tensile strength at the top point of curve

_e– strain corresponding to the stress

_max– strain corresponding to the stress f_max

E – elastic modulus

(3) In the absence of more accurate evaluation of the above parameters the following values may be assumed:

f_e– nominal value of f_o (see Section 3)

f_max– nominal value oi (see Section 3)

_max = 0,5_u;

_u– nominal value of ultimate strain (see Section 3)

E – nominal value of elastic modulus (see Section 3)

Рисунок

E.3

Гладкі моделі у формі

Figure

E.3

Continuous models in the form

E.2.2.2 Гладкі моделі у формі =()

(1) Для матеріалів із дещо незвичайною механічною поведінкою, до яких відно­сяться алюмінієві сплави, можна засто­сувати модель Рамберга-Осгуда, яка описує діаграму напружень-деформацій у формі =(). Таку модель можна представити у загальному вигляді наступним чином (див. рисунок E.4a):

E.2.2.2 Continuous models in the form =()

(1) For materials of round-house type, as aluminium alloys, the Ramberg-Osgood model may be applied to describe the stress versus strain relationship in the form =(). Such model may be given in a general form as follows (see figure. E.4a):

^{, (E.10)}

де:

f_e – умовна межа пружності;

_o,e – залишкова деформація, яка відповідає напруженню f_e;

n – показник ступеня, який характеризує зміцнення на кривій.

(2) Для обчислення показника ступеня n необхідно вибрати будь-яке друге характерне напруження f_x на додаток до умовної межі пружності f_e. Приймаємо (рис. E.4b):

f_x– друге характерне напруження;

_o,x– залишкова деформація, яка відповідає напруженню f_x.

Тоді показник n дається виразом:

where:

f_e– conventional elastic limit;

_o,e – residual strain corresponding to the

stress f_e;

n – exponent characterizing the degree of hardening of the curve.

(2) In order to evaluate the n exponent, the choice of a second reference stress f_x, in addition to the conventional limit of elasticity f_e is required. Assuming (fig. E.4b):

f_x– second reference stress;

_o,x– residual strain corresponding to the stress f_x.

The exponent n is expressed by:

^{. (E.11)}

(3) У якості умовної межі пружності можна взяти умовну межу текучості, або технічну межу міцності, , яка відповідає залишковій деформації 0,2 %, тобто:

^;

.

Тоді рівняння моделі матиме вигляд:

(3) As conventional elastic limit, the proof stress evaluated by means of 0,2 % offset method may be assumed, i.e.:

^;

and the model equation become:

і (and) . (E.12)

Рисунок

E.4

Гладкі моделі у формі

Figure

E.4

Continuous models in the form

(4) Вибір другої характерної точки залежить від діапазону дефор­мацій, який вивчається. Можна розглянути наступні граничні випадки:

a) якщо розрахунок стосується діапазону пружних деформацій, другу характерну точку можна взяти у вигляді умовної межі текучості з залишковим видовженням 0,1 % (див. рису­нок E.4c), поклавши:

;

і тоді

(4) The choice of the second reference point should be based on the strain range corresponding to the phenomenon under investigation. The following limit cases may be considered:

a) if the analysis concerns the range of elastic deformations, the proof stress evaluated by means of 0,1 % offset method may be assumed as the second reference point (see figure. E.4c), giving:

and, therefore,

^{; (E.13)}

b) якщо розрахунок обіймає діапазон пластичних деформацій, другу характерну точку можна взяти у вигляді напруження розтягу у верхній точці кривої (див. рису­нок E.4d), поклавши:

– залишкова деформація, що відповідає напруженню , і тому

b) if the analysis concerns the range of plastic deformations, the tensile stress at the top point of the as curve may be assumed as the second reference point (see figure E.4d), giving:

– residual strain corresponding to the stress and, therefore,

^{. (E.14)}

(5) На основі достанього обсягу випро­бувань можна прийняти наступні значення:

(5) Based on extensive tests, the following values may be assumed:

^{, (E.15)}

де:

a) пружний діапазон

where:

a) elastic range

^{. (E.16)}

Тут межа пропорційності залежить від значення напруження текучості :

where the proportional limit only depends on the value of the yield stress:

при (if) ; (E.17)

при (if) ; (^E.18)

b) пластичний діапазон

b) plastic range

^{. (E.19)}

E.3 Наближене обчислення

E.3 Approximate evaluation of

при (if) ; (E.20)

при (if) . (E.21)

ПРИМІТКА. Цю модель можна використати для аналітичного продовження діаграми напружень–деформацій за межу пружності для потреб розрахунку з урахуванням пластичності, але вона непридатна щодо виявлення реальної пластичності матеріалу.

NOTE. This formulation can be used to quantify the stress-strain model beyond the elastic limit for plastic analysis purposes but it is not relevant for material ductility judgement.