Расчеты и испытания на прочность. Методы схематизации случайных процессов нагружения элементов машин и конструкций и статистического представления результатов

На основании корреляционной таблицы амплитуд и средних значений могут быть получены два однопараметрических распре­деления:

суммирование по строкам таблицы дает распределение ампли­туд ;

суммирование по столбцам таблицы дает распределение сред­них значений циклов (полуциклов) .

3.3.3. Методы выделения полных циклов

К методам выделения полных циклов относят:

метод полных циклов;

метод «дождя».

Таблица 2

Корреляционная таблица амплитуд и средних значений

Оба метода приводят к практически одинаковым результатам.

Допускается применять методы выделения полных циклов и при однопараметрической схематизации.

3.3.3.1. Метод полных циклов.

По данному методу осуществляют выделение циклов постепен­но в несколько просмотров, начиная с циклов с наименьшим раз­махом. На черт. 9 приведена схематизация по методу полных цик­лов. Исходный процесс нагружения показан на черт. 9a. Здесь вначале выделяют заштрихованные циклы с размахом Δ ≤ a <2Δ, которые регистрируют и из дальнейшего рассмотрения исключа­ют. Процесс x₁(t), изображенный на черт. 9б, получен из исход­ного x(t) после исключения циклов с Δ ≤ a <2Δ. Затем выделяют циклы с 2Δ ≤ a <3Δ (черт. 9б). Процесс x₂(t) изображенный на черт. 9в, получен из процесса x₁(t) после исключения циклов с размахом 2Δ ≤ a <3Δ. После исключения циклов с размахами а≤7Δ будет получен процесс x₃(t) изображенный на черт. 9г. Процесс x₃(t) представляет собой один цикл, образованный Х_mах и X_min с наибольшим размахом а_mах .

3.3.3.2. Метод «дождя».

Схематизация по методу «дождя» приведена на черт. 10. При схематизации удобно представить, что ось времени направлена вертикально вниз. Пусть линии, соединяющие соседние экстрему­мы - это последовательность крыш, по которым стекают потоки дождя. Номерам максимумов соответствуют нечетные числа, но­мерам минимумов — четные.

Схематизация по методу полных циклов

Черт. 9

Траектории потоков определяют в соответствии со следующи­ми правилами:

1. Потоки начинаются с внутренней стороны экстремумов по­следовательно. Каждый поток определяет полуцикл нагружения. Величину размаха определяют проекцией траектории потока на ось нагрузки.

2. Поток, начавшийся в точке максимума, прерывается в тот момент, когда встретится максимум, больший, чем .исходный. Например, поток из максимума 1 стекает по направлению к макси­муму 2 и прерывается напротив максимума 3, поскольку он боль­ше исходного.

Схематизация по методу «дождя»

Черт. 10

3. Поток, начавшийся в точке минимума, прерывается, когда встретится минимум меньший, чем исходный. Например, поток из точки 10 прерывается напротив 16, поскольку минимум 16 мень­ше исходного.

4. При встрече на одной из крыш нескольких потоков движе­ние продолжает тот, который берет начало в экстремуме с мень­шим номером, а остальные прерываются. Например, поток из точ­ки 5 продолжает свой путь, а потоки из точек 7 и 9 прерываются.

5. Поток, не встретивший препятствий, падает на землю, на­пример, поток из максимума 19.

Метод «дождя» позволяет ввести схематизацию в режиме ре­ального времени. При этом запоминают лишь траектории потоков дождя и обработку производят по мере ввода экстремумов.

3.4. Приведение асимметричных циклов нагружения к эквивалентным симметричным

Для учета влияния асимметрии цикла нагружения при опре­делении характеристик сопротивления усталости элементов ма­шин и конструкций полученные в результате схематизации кор­реляционные таблицы преобразуют в однопараметрические таб­лицы распределения эквивалентных (в смысле вносимого усталостного повреждения) амплитуд. Приведение осуществляют по формуле

(13)

где ψ — коэффициент чувствительности к асимметрии цикла нагружения.

Коэффициент чувствительности к асимметрии цикла нагружения для сталей выбирают по ГОСТ 25.504—82. Для других мате­риалов значение коэффициента ψ должно быть подтверждено эк­спериментально или теоретически.

В ряде случаев более удобным является получение однопараметрических распределений приведенных амплитуд по последо­вательности амплитуд и средних нагрузок каждого выделенного цикла нагружения без использования корреляционных таблиц.

4. ВЫБОР МЕТОДА СХЕМАТИЗАЦИИ. КРИТЕРИИ ВЫБОРА

Каждый из методов схематизации, изложенных в разд. 3, имеет свои особенности применения в зависимости от характера подлежащего схематизации процесса нагружения. Для обосно­ванного выбора метода схематизации в пп. 4.1—4.7 кратко из­ложены особенности каждого из них.

4.1. При использовании методов экстремумов, максимумов и минимумов (пп. 3.2.1; 3.2.2; 3.2.3) не учитывают отрицательные максимумы и положительные минимумы. Это приводит к зани­женному количеству зарегистрированных циклов нагружения по сравнению с количеством циклов, образуемым всеми максимума­ми и минимумами процесса. В целом схематизированный процесс по методу экстремумов будет более повреждающим, чем реаль­ный, поскольку мелкие наложенные циклы нагружения учитыва­ют с завышенной амплитудой, например, амплитуда процесса нагружения, изображенного на черт. 4.

4.2. Методы максимумов и минимумов дают удовлетворитель­ные результаты для процессов с симметричным относительно средней нагрузки распределением экстремумов.

4.3. При использовании однопараметрического метода размахов (п. 3.2.2) не учитывают средние значения каждого выделен­ного цикла. Поэтому метод может быть использован только для процессов с незначительным изменением среднего значения цик­лов нагружения или для оценки нагружения элементов машин и конструкций, сопротивление усталости материала которых зависит практически только от переменной составляющей цикла нагружения.

4.4. Методы размахов как однопараметрический, так и двухпараметрический (п. 3.3.1) приводят к схематизированному про­цессу менее повреждающему, чем реальный, так как не учитыва­ют циклы с большой амплитудой, на которые наложены мелкие циклы нагружения.

4.5. Методы выделения полных циклов (п. 3.3.3) имеют пре­имущество по сравнению с перечисленными методами, поскольку учитывают как основные, так и наложенные циклы (см. приложе­ние 3).

4.6. Все методы схематизации, изложенные в настоящем стан­дарте, в равной степени применимы к процессам нагружения с коэффициентом нерегулярности =1.

Для меньших значений κ возрастает различие в результатах схематизации, полученных с применением разных методов.

4.7. Область применения методов схематизации, изложенных в разд. 3, для процессов нагружения с различными коэффициен­тами нерегулярности приведена в табл. 3. Критерием выбора метода схематизации является коэффициент нерегулярности ис­следуемого процесса нагружения .

Таблица.3

Область применения методов схематизации

Метод схематизации

Пункт стандарта

Процесса

нагружения

1. Метод пересечения границ классов

2.2.2

0,8≤ ≤1,0

2. Метод экстремумов

3.2.1

0,5≤ ≤1,0

3. Метод максимумов

3.2.2

0,5≤ ≤1,0

4. Метод минимумов

3.2.3

0,5≤ ≤1,0

5. Однопараметрический метод размахов

3.2.4

0,8≤ ≤1,0

6. Двухпараметрический метод размахов

3.3.1

0,5≤ ≤1,0

7. Методы выделения полных циклов

3.3.3

0 < ≤1,0

5. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ СХЕМАТИЗАЦИИ

5.1. Функции распределения

Для оценки нагруженности и сопротивления усталости эле­ментов машин и конструкций используют следующие функции рас­пределения:

h(x_s) — распределение частот повторения x_s ;

H(x_s)—распределение накопленных частот повторения xs ;

F_э(x_s) —эмпирическая функция распределения;

F(x_s) —сглаженная эмпирическая функция распределения;

f(x_s)—эмпирическая функция плотности распределения.

Перечисленные функции распределения могут строиться для амплитуд х_а, приведенных амплитуд, размахов а, максимумов х_mах и минимумов x_min выделенных циклов. Функции распределе­ния представляют в виде таблиц с числом интервалов m. Ширину интервала группирования случайной величины принимают рав­ной или кратной ширине класса Δ. В таблицах распределений h(x_s) и H(x_s)указывают в циклах или полуциклах полученные частоты распределения. Примеры построения рядов распределений, графическая интерпретация функции F_э(x_s) и функции плотности распределения f_э(x_s) приведены в справочном прило­жении 4.

5.2. Расчет статистических характеристик распределений

Расчет статистических параметров распределений случайных величин, полученных в результате схематизации, производят по формулам: среднее выборочное значение случайной величины

(14)

выборочная дисперсия

(15)

выборочное среднее квадратическое отклонение

(16)

коэффициент вариации

(17)

где h_sk — значение h(x_s) в k-ом интервале.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Обязательное

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В СТАНДАРТЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Справочное

МЕТОД ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ДЛЯ СХЕМАТИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ НАГРУЖЕНИЯ

Для числа пересечений отдельных уровней и числа максимумов и миниму­мов в классе t справедливо соотношение

, (1)

где h_Bi — число пересечений верхней границы i-ro класса восходящими или

нисходящими ветвями процесса.

Для того, чтобы воспользоваться уравнением (1), принимают следующие допущения:

(2)

Зная распределения h_Bi с использованием соотношений (1) и (2), строят рас­пределение h(x_max) и h(x_min), используя для выделения амплитуд принцип метода экстремумов (п. 3.2.1), и на основании распределения h(x_max) и h(x_min) строят распределение амплитуд h(x_a)

(3)

Экстремумы, попадающие в класс , не учитывают при построении рас­пределения h(x_a), так как для них амплитуда меньше половины ширины клас­са Δ.

Для процесса, изображенного на чертеже, распределения , приведены в таблице.

Схематизация процесса нагружения по методу пересечений

Распределения, полученные по методу пересечений

i

1

1

1

—

1

1

2

2

1

—

1

2

3

4

2

—

2

4

4

5

1

—

1

2

5

5

0

—

0

2

6

1

—

—

—

7

5

1

1

—

—

8

4

2

1

—

—

9

2

1

2

—

—

10

1

1

1

—

—

11

0

—

1

—

—

12

—

—

—

—

—

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Справочное

ПРИМЕР СХЕМАТИЗАЦИИ ПРОЦЕССА НАГРУЖЕНИЯ

Для процесса, изображенного на черт. 1, коэффициент нерегулярности =0,6. Для процессов, имеющих такой коэффициент нерегулярности, допускается при­менять любой из изложенных методов схематизации (см. табл. 3 настоящего стандарта).

В таблице приведены распределения, полученные при однопараметрической схематизации процесса разными методами. На черт. 2 приведена графическая интерпретация распределений. Следует отметить, что для данного процесса имеет место небольшое расхождение результатов схематизации по разным ме­тодам.

Распределения амплитуд, полученных по разным методам схематизации

k

1

2

3

4

5

6

7

8

Метод

экстрему-

мов

h(x_s)

9

12

9

7

4

3

1

2

H(x_s)

9

21

30

37

41

44

45

47

F_э(x_s)

0,181

0,436

0,628

0,777

0,862

0,925

0,947

0,989

Метод

пересече-

нии

h(x_s)

9

8

6

5

3

2

2

1

H(x_s)

9

17

23

28

31

33

35

36

F_э(x_s)

0,236

0,458

0,625

0,764

0,847

0,903

0,958

0,986

Метод

размахов

h(x_s)

19

23

15

1

1

—

—

—

H(x_s)

19

42

57

58

59

—

—

—

F_э(x_s)

0,314

0,703

0,958

0,974

0,9915

—

—

—

Метод

«дождя»

h(x_s)

31

12

7

5

2

1

1

H(x_s)

31

43

50

50

55

57

58

59

F_э(x_s)

0,517

0,720

0,839

0,839

0,924

0,958

0,974

0,991

Примечание. Распределения h(x_s) и H(x_s) приведены для полуциклов.

1—метод размахов; 2— метод «дождя»; 3— метод экстремумов; 4—метод пере­сечений