Необходимо заметить, что на всех приведенных на рисунках 1-8 структурных схемах ни один блок не появляется более одного раза. Процедуры построения формул для определения вероятности безотказной работы структурных схем таких типов приведены в разделе 8.

7.2 Оценка вероятности безотказной работы

Вероятность безотказной работы (далее - ВБР) системы R_S(t) - это вероятность того, что система может исполнять требуемую функцию в данных условиях для данного интервала времени (0, t). В общем случае ВБР определяют по формуле

_,

где _{- интенсивность отказов системы в момент времени t = и. Для простоты RS(t) будем записывать как RS.}

Вероятность отказа системы F_S определяют по формуле

F_S= 1 - R_S

7.2.1 Последовательные модели

Для систем, схема которых изображена на рисунке 1, ВБР системы R_S определяют по формуле

R_S= R_AR_BR_C,…, R_Z, (1)

то есть ВБР системы является произведением ВБР всех блоков, входящих в систему.

7.2.2 Параллельные модели

Для систем, схема которых изображена на рисунке 9, вероятность отказа системы F_S определяют по формуле

F_S=F_AF_B

Рисунок 9

Следовательно ВБР системы R_S вычисляют по формуле

R_S = R_A+ R_B– R_B, (2)

Формулы (1) и (2) могут быть объединены. Для системы, схема которой изображена на рисунке 2, но имеет три элемента в каждой ветке, ВБР системы определяют по формуле

R_S = R_A1R_B1R_C1+ R_A2R_B2R_C2- R_A1R_B1R_C1R_A2R_B2R_C2, (3)

Аналогично для системы, изображенной на рисунке 3, ВБР системы определяют по формуле

R_S = (R_A1+ R_A2- R_A1R_A2)(R_B1+ R_B2- R_B1R_B2)(R_C1+ R_C2- R_C1R_C2), (4)

Для систем, схемы которых изображены на рисунках 4 и 5, формулы для ВБР системы получают умножением выражений (3) и (4) на R_D.

7.2.3 Модели т из п (идентичные элементы)

Если система представляет собой параллельное соединение п идентичных элементов, а для ее работоспособности требуется исправность т элементов из п, то ВБР системы R_S вычисляют по формуле

_{, (5)}

Таким образом, ВБР системы, схема которой изображена на рисунке 6, вычисляют по формуле

R_S= R³ + 3R²(1 - R)=3R²- 2R³, (6)

где R - ВБР отдельных элементов.

Аналогично для системы, структурная схема надежности которой изображена на рисунке 7, ВБР определяют по формуле

R_S= R⁴+ 4R³(1 - R) + 6R²(1 - R) ²= 3R⁴- 8R³+ 6R², (7)

Если не все элементы п системы идентичны, то для определения ВБР рекомендуется использовать более общие процедуры, приведенные в 8.3.

7.2.4 Модели с недогруженным резервом

Другая часто используемая форма резервирования - ненагруженный резерв. В наиболее простом случае структурная схема надежности системы с ненагруженным резервом изображена на рисунке 10.

А - сетевой активный элемент; В - элемент, находящийся в режиме ожидания и включающийся в случае отказа элемента А

Рисунок 10

Формулы (1) - (4) не допускается применять для анализа надежности систем с ненагруженным резервом. Если при эксплуатации оба элемента имеют постоянную интенсивность отказа и при резервировании имеют нулевую интенсивность отказа, то формула для ВБР системы имеет вид

₌₍₎

Если имеется п элементов в резерве, эта формула принимает вид

Структурная схема надежности системы должна включать блоки, представляющие надежность выключателя, который часто является «слабым местом» систем с резервированием.

Следует также обратить внимание на то, что в отличие от всех примеров, рассмотренных выше, ВБР элемента В зависит от времени, когда элементе откажет. Другими словами, отказы элементов А и В не могут оцениваться как независимые. Таким образом, для анализа резервированной системы должны использоваться другие процедуры, такие как Марковский анализ.

8 Более сложные модели

8.1 Общие процедуры

Формулы для определения ВБР систем, структурная схема надежности которых представляет собой комбинацию структурных схем надежности систем, рассмотренных в разделе 7, определяются на основе формул (1) - (7). Однако для некоторых систем ВБР не могут быть определены по вышеупомянутым формулам. Такие системы являются более сложными и для них должны использоваться более сложные методы анализа надежности. Следует заметить, что для оценки ВБР может использоваться метод Монте-Карло, но такие методы не рассматриваются в настоящем стандарте.

Стандарт распространяется на процедуры, которые используют предположение о независимости в соответствии с 7.1.

8.1.1 Использование правила условной вероятности

При работе со структурной схемой, изображенной на рисунке 8, используют другие методы. Один из таких методов состоит в том, чтобы повторно использовать следующее соотношение:

R_S= P_r(SS½X работоспособный)Р_r(X работоспособный) + P_r(SS½X отказавший) ´ P_r(SS½X отказавший),

где R_S - ВБР системы; P_r(SS½X работоспособный) - ВБР системы, при условии, что блок Х работоспособен; P_r(SS½X отказавший) - ВБР системы, при условии, что элемент Х отказал.

Например, если на рисунке 8 элемент А отказал, структурная схема системы преобразуется в структурную схему, изображенную на рисунке 11.

Рисунок 11

Поэтому P_r(SS½отказавший) = R_B1R_C1 + R_B2R_C2- R_B1R_C1R_B2R_C2

Если элемент А работоспособен, структурная схема системы преобразуется в структурную схему, изображенную на рисунке 12.

Рисунок 12

Поэтому P_r(SS½А работоспособный) = R_C1 + R_C2 - R_C1R_C2

Следовательно:

R_S= (R_C1 + R_C2 - R_C1R_C2) R_A+ (R_B1R_C1+ R_B2R_C2- R_B1R_C1R_B2R_C2) ´ (1 - R_A)

Если R_C1 = R_C2 = R_C и R_B1= R_B2= R_B, то вышеупомянутая формула упрощается до вида

_{, (8)}

Вышеупомянутый метод допускается применять для проверки формул (5)-(7).

8.1.2 Использование Булевых таблиц

8.1.2.1 Общие положения

Пути работоспособности, изображенные с помощью структурной схемы надежности, могут быть описаны Булевыми формулами. Например, три элемента A, В и С, соединенные параллельно (для работы системы достаточно одного работоспособного элемента), могут быть представлены структурной схемой надежности, изображенной на рисунке 13, или описаны Булевым выражением:

SS = AÈВÈС, (9)

где SS - событие, состоящее в том, что система находится в работоспособном состоянии;

А, В и С - события, состоящие в том, что компоненты А, В и С находятся в работоспособном состоянии.

Рисунок 13

Однако Булевы события А, В и С в формуле (9) не могут быть заменены вероятностями. R_A, R_B, R_С для получения формулы для определения ВБР системы, потому что выражение (9) является набором «пересекающихся» событий. Выражение (9) можно записать как сумму непересекающихся событий следующим образом

_{, (10)}

С позиций Булевой алгебры выражения (9) и (10) идентичны. Однако в выражении (10) каждая буква А, , В, , С, может быть заменена соответствующим знаком ВБР - R_A(1 - R_A), R_B(1 - R_B), R_C(1 - R_C)