7 Статистические методы оценки и проверки гипотез
7.1 Краткий обзор
В процедурах по 7.2 используют данные об отказах системы в процессе программы испытаний для оценки повышения надежности и оценки надежности системы в конце испытаний. Оцениваемое повышение надежности является результатом корректирующих модификаций, введенных в систему в процессе испытаний. Процедуры, рассматриваемые в 7.2.1, предполагают, что наработка для каждого отказа известна. В 7.2.2 рассмотрена ситуация, когда фактическое время отказа неизвестно, а отказы сгруппированы в интервалы времени.
Для испытаний типа I с ограниченным временем T* и испытаний типа II с ограниченным количеством отказов TN используют разные формулы (см. 7.2.1).
После процедур, описанных в 7.2.1 и 7.2.2, должны быть применены соответствующие критерии согласия (см. 7.3).
В 7.6 рассмотрена ситуация, когда корректирующие модификации введены в систему после окончания испытаний как отсроченные модификации. Метод прогнозирования позволяет оценить надежность системы после этих корректирующих модификаций.
7.2 Проверка гипотез о повышении надежности и оценка параметров
7.2.1 Случай 1 - известны наработки для каждого отказа
Метод применяют только в том случае, если наработку регистрируют для каждого отказа.
Шаг 1: Исключают посторонние отказы (см. 7.1 ГОСТ Р 51901.6 и/или другие соответствующие методы).
Шаг 2: Составляют набор данных о наработках. Для испытаний типа II необходимо также учитывать время завершения испытаний.
Шаг 3: Вычисляют тестовую статистику U:
для испытаний типа I; (4)
для испытаний типа II, (5)
где N - общее количество отказов;
Т*- общая продолжительность испытаний типа I;
TN - общая продолжительность испытаний типа II;
Ti - наработка до i-го отказа.
В соответствии с гипотезой о постоянстве надежности (моменты отказов соответствуют гомогенному процессу Пуассона), статистика U подчиняется стандартному нормальному распределению со средним 0 и стандартным отклонением 1. Статистика U может быть использована для проверки гипотезы о наличии положительного или отрицательного изменения надежности независимо от модели повышения надежности.
Двусторонний критерий для положительного или отрицательного изменения с уровнем значимости имеет критические значения u1-a/2 и (-u1-a/2), где u1-a/2 - квантиль стандартного нормального распределения уровня (1 - a/2).
Если U < (-u1-a/2) или U > u1-a/2, то принимают решение о положительном или отрицательном изменении надежности соответственно. Для продолжения анализа переходят к шагу 4.
Если (-u1-a/2) < U < u1-a/2, то принимают решение об отсутствии положительного или отрицательного изменения надежности для уровня значимости a и анализ заканчивают. В этом случае гипотезу об экспоненциальном распределении наработок между последовательными отказами (гомогенности процесса Пуассона) принимают с уровнем значимости a. Критические значения u1-a/2 и (-u1-a/2) соответствуют одностороннему критерию для положительного или отрицательного изменения надежности с уровнем значимости a/2. Критические значения для двустороннего критерия с уровнем значимости 0,20 составляют 1,28 и (-1,28). Критическое значение 1,28 соответствует одностороннему критерию для положительного изменения с уровнем значимости 10%. Для других уровней значимости можно выбрать критические значения по таблицам квантилей стандартного нормального распределения.
Шаг 4: Вычисляют сумму
для испытаний типа I (6)
или
для испытаний типа II. (7)
Шаг 5: Вычисляют несмещенную оценку параметра b по формуле
для испытаний типа I (8)
или
для испытаний типа II. (9)
Шаг 6: Вычисляют оценку параметра l по формуле
для испытаний типа I (10)
или
для испытаний типа II. (11)
Шаг 7: Вычисляют оценки параметра потока отказов (Т) и среднего времени между отказами (T) для времени испытаний Т > 0 по формулам:
; (12)
. (13)
Примечания
1 и - оценки параметра потока отказов и средней наработки на отказ в момент времени Т > 0 для Т из диапазона представленных данных. Оценки для будущего времени Г в течение программы испытаний или до ее ожидаемого завершения могут быть получены точно так же, но пользоваться ими следует с обычными предосторожностями, связанными с экстраполяцией. Экстраполяция не должна превышать ожидаемого времени завершения испытаний.
2 Если программа испытаний завершена, то для Т = T* или Т = TN (соответственно) является оценкой средней наработки на отказ испытуемой системы в конце программы испытаний.
7.2.2 Случай 2 - наработки объединены в группы
Метод предназначен для случая, когда набор данных состоит из известных интервалов времени, каждый из которых содержит известное количество отказов. Важно иметь в виду, что длины интервалов и количество отказов в интервалах не должны быть постоянными.
Время испытаний соответствует интервалу (0; T) и разбито на d интервалов 0 < t(1) < t(2) < t(d); i-й интервал - это период времени от t(i - 1) до t(i), i = 1,2 ..., d, t(0) = 0, t(d)= Т. Величины t(i) могут принимать любые значения от 0 до Т.
Шаг 1: Исключают посторонние отказы согласно 7.1 ГОСТ Р 51901.6 и/или другим соответствующим документам.
Шаг 2: Вводят в набор данных количества отказов Ni, зафиксированные в i-м интервале [t(i -1); t(i)], i = 1, ..., d.
Общее количество рассматриваемых отказов .
Для каждого интервала произведение piN не должно быть менее пяти (при необходимости смежные интервалы объединяют), где
. (14)
Шаг 3: Для d интервалов (после объединения при необходимости) и соответствующих значений Ni вычисляют статистику X2:
. (15)
В соответствии с гипотезой нулевых изменений (когда наработки подчиняются гомогенному процессу Пуассона) статистика X2 распределена в соответствии с c2-распределением с (d - 1) степенями свободы. Статистика X2 может быть использована для проверки наличия положительных или отрицательных изменений надежности независимо от модели изменений надежности.
Двусторонний критерий для положительного или отрицательного изменения с уровнем значимости имеет критическое значение
CV = (d - 1). (16)
Если X2 ³ CV, то принимают решение о положительном или отрицательном изменении надежности. Для продолжения анализа переходят к шагу 4.
Если X2 < CV, то принимают решение об отсутствии положительных или отрицательных изменений надежности с уровнем значимости a. Анализ закончен. В этом случае гипотезу об экспоненциальном распределении времени между последовательными отказами (гомогенный процесс Пуассона) принимают с уровнем значимости a.
Критические значения (d - 1) для различных уровней значимости a и степеней свободы (d - 1) могут быть найдены в таблицах квантилей c2-распределения.
Шаг 4: Для первоначального набора данных в соответствии с шагом 2 вычисляют оценку максимального правдоподобия для параметра формы b. Оценка максимального правдоподобия для параметра b - это значение , которое удовлетворяет следующему уравнению:
. (17)
Очевидно, что t(0) = 0, а также t(0)lnt(0) = 0. Все члены t(×) могут быть нормированы относительно t(d), тогда последний член с ln(t(d)) исчезнет. Для решения этого уравнения относительно р необходимо использовать итеративный метод.
Шаг 5: Вычисляют оценку параметра l по формуле
. (18)
Шаг 6: Вычисляют оценку параметра потока отказов (T) и среднее время между отказами (T) для времени Т > 0 по формулам:
; (19)
. (20)
Примечания
1 и - оценки параметра потока отказов и средней наработки на отказ в момент времени T > 0для T из интервала представленных данных. Экстраполируемые оценки для будущего времени Т в процессе испытаний или в момент ожидаемого завершения испытаний могут быть получены точно так же, но использовать их следует с обычными предосторожностями, связанными с экстраполяцией. Экстраполируемые оценки не должны выходить за границы ожидаемого времени завершения испытаний.
2 Если программа испытаний завершена, то для Т = t(d) является оценкой средней наработки на отказ системы на момент завершения испытаний.
7.3 Критерий согласия
Если известны точные значения наработок, необходимо использовать случай 1, в противном случае необходимо использовать случай 2.
7.3.1 Случай 1 - известны данные о наработках для каждого отказа
Для оценки параметра формы р сначала следует использовать метод в соответствии с 7.2.1, затем вычислить статистику Крамера-Мизеса:
, (21)
где M = N и T = Т* для испытаний типа I;
М = N - 1 и Т = TТ для испытаний типа II;
Т1 < Т2 < ... < ТМ.
В таблице 1 приведены критические значения этой статистики с уровнем значимости 10%. Если статистика С2(М) превышает критическое значение, приведенное в таблице, то гипотеза о том, что степенная модель соответствует данным, должна быть отклонена. В противном случае гипотеза должна быть принята.
Если данные о наработках известны, для получения дополнительной информации относительно соответствия модели данным может быть использована графическая процедура, описанная ниже.
Для использования графической процедуры необходимо оценить математическое ожидание времени j-го отказа E[Tj] и отметить на графике несоответствие с наблюдаемым временем j-го отказа Тj. В соответствии с приложением В
, j = 1, ..., N. (22)
Значения изображают графически в соответствии с наблюдаемым временем отказа Tj в линейном масштабе (см. пример, представленный на рисунке А.1). Визуальная согласованность этих точек с линией в 45° является субъективной мерой применимости модели.
7.3.2 Случай 2 - наработки объединены в группы
Данный критерий применим только в случае, когда оценивают на основе сгруппированных данных (см. 7.2.2).
Среднее количество отказов в интервале времени [t(i - 1); t(i)] аппроксимируется формулой
. (23)
Для каждого интервала значение еi не должно быть меньше пяти. При необходимости смежные интервалы можно объединять. Для d интервалов (после объединения при необходимости) и Ni тех же, что и в 7.2.2, вычисляют статистику:
. (24)
Критические значения этой статистики для (d - 2) степеней свободы можно найти по таблице X2 - распределения. Если критическое значение для уровня доверия 10% превышено, то гипотеза о том, что степенная модель адекватно описывает сгруппированные данные, должна быть отклонена.
Если набор данных состоит из известных интервалов времени с известным количеством отказов, для получения дополнительной информации о соответствии модели данным может быть использована графическая процедура, описанная ниже.
Для каждого интервала, ограниченного точкой t(i) (от 0 до t(i)), количество наблюдаемых отказов составляет
. (25)
Математическое ожидание количества отказов E[N(t(i))] оценивают по формуле
. (26)
Это дает .
Графическая процедура состоит из построения графика
, i = 1, ..., d, (27)
а также линии ln + ( - 1)lnТ, Т > 0 (см. пример, изображенный на рисунке А.2). Общая информация по математическому описанию степенной модели приведена в приложении В.
Для < 1 эта линия убывает. Визуальная согласованность точек с этой линией является субъективной мерой применимости модели.
Общая информация по математическому описанию степенной модели приведена в приложении В.
7.4 Доверительные интервалы для параметра формы
Параметр формы в степенной модели повышения надежности характеризует наличие изменений надежности и их величину. Если 0 < < 1, имеется повышение надежности, если = 1, нет повышения надежности, а если > 1, имеется снижение надежности.
При определении доверительного интервала для р, когда известны наработки каждого отказа, используют случай 1. Для сгруппированных отказов необходимо использовать случай 2.
7.4.1 Случай 1 -известны наработки для каждого отказа
Шаг 1: Вычисляют р в соответствии с шагом 5 в 7.2.1.
Шаг 2: Испытания типа I
Для определения двустороннего доверительного интервала для р с уровнем доверия 90% вычисляют величины DL и DU:
; (28)
. (29)
Квантили , определяют по таблицам 2-распределения.
Нижняя доверительная граница для :
LB = DL. (30)
Верхняя доверительная граница для :
UB = DU. (31)
Соответственно LB и UB являются односторонними нижней и верхней доверительными границами для с уровнем доверия 95%.
Испытания типа II
Для определения двустороннего доверительного интервала для с уровнем доверия 90% вычисляют величины DL и DU:
, (32)
. (33)
Нижняя доверительная граница для :
LB = DL. (34)
Верхняя доверительная граница для :
UB = DU. (35)
Соответственно LB и UB являются односторонними нижней и верхней доверительными границами для р с уровнем доверия 95%.
