Примеры
1 Технологический процесс механической обработки проводят параллельно на двух станках, точность каждого из них известна, т.е. известны параметры и . Можно ли считать, что оба станка настроены одинаково? Можно ли смешивать детали, произведенные на этих двух станках? Это бывает существенно, если дальнейшие технологические процессы подстраивают под среднее значение - параметр данного технологического процесса.
2 Требуется определить, одинаково ли среднее значение - параметр содержания кофеина в двух партиях таблеток аскофена, выпущенных разными фармацевтическими заводами. При этом заранее известны характеристики разброса этого содержания (т.е. дисперсии) для каждого из двух заводов.
6.6 Алгоритм решения задачи сравнения двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.6.
Таблица 6.6 - Сравнение двух средних значений при неизвестных дисперсиях
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
||
|
|
Вторая выборка |
Первая выборка |
1 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы: |
|
1 Объем выборки: |
|
||
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: |
2 Квантиль распределения Стьюдента уровня ( c степенями свободы: |
||
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: |
|
||
|
4 Степени свободы: |
3 Вычисляем: |
||
|
5 Выбранный уровень значимости: |
; |
||
|
|
4 Вычисляем: |
||
|
|
|
||
|
|
5 Вычисляем: |
||
|
|
|
||
|
Результаты |
|||
|
Сравнение средних значений двух совокупностей: |
|||
|
1 В двустороннем случае: |
|||
|
а) предположение о том, что средние и совпадают (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|||
|
. |
|||
|
2 В одностороннем случае: |
|||
|
а) предположение о том, что (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|||
|
; |
|||
|
б) предположение о том, что (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|||
|
. |
|||
|
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б. |
|||
Примечание - Дисперсии неизвестны, но в предположении могут быть равными.
Примеры
1 Примеры те же, что для 6.5, но дисперсии неизвестны. Применение этих задач может встречаться чаще, чем применение задач по 6.5, т.к. в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.
2 Пример 2 по 6.5 может быть распространен на сравнение содержания различных химических веществ или примесей в двух совокупностях.
6.7 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.7.
Таблица 6.7 - Оценка разности двух средних значений при известных дисперсиях
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
||
|
|
Первая выборка |
Вторая выборка |
1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня : |
|
1 Объем выборки: |
|||
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: |
2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня : |
||
|
3 Известное значения дисперсий генеральной совокупности: |
|||
|
4 Выбранный уровень значимости: |
3 Вычисляем: |
||
|
тогда доверительная вероятность равна |
|
; |
|
|
|
4 Вычисляем: |
||
|
|
|
||
|
Результаты |
|||
|
1 Точечная оценка равности между средними значениями параметров и для двух совокупностей: |
|||
|
. |
|||
|
2 Односторонний доверительный интервал для разности : |
|||
|
или |
|||
|
. |
|||
|
3 Двусторонний доверительный интервал для разности : |
|||
|
. |
|||
|
4 Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|||
|
. |
|||
|
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А. |
|||
Пример - Сопоставление однотипных средних значений показателя качества для двух технологических процессов или двух совокупностей изделий. Считается, что дисперсии для обоих технологических процессов или совокупностей известны.
Например, оценка разности средней толщины гальванического покрытия двух партий одинаковых изделий; оценка разности среднего содержания вредных примесей в двух партиях химикатов и т.п.
6.8 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.8.
Таблица 6.8 - Оценка разности двух средних значений при неизвестных, но равных* дисперсиях
________________
* Гипотезы равенства дисперсий двух генеральных совокупностей могут быть проверены по таблице 7.3 раздела 7.
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
||
|
|
Вторая выборка |
Первая выборка |
1 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы: |
|
1 Объем выборки: |
|
||
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: |
2 Квантиль распределения Стьюдента уровня ( c степенями свободы: |
||
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: |
|
||
|
4 Степени свободы: |
3 Вычисляем: |
||
|
5 Выбранная доверительная вероятность: |
; |
||
|
|
4 Вычисляем: |
||
|
|
|
||
|
|
5 Вычисляем: |
||
|
|
|
||
|
Результаты |
|||
|
1 Точечная оценка равности между средними значениями параметров и для двух совокупностей: |
|||
|
. |
|||
|
2 Двусторонний доверительный интервал для разности : |
|||
|
. |
|||
|
3 Односторонний доверительный интервал для разности : |
|||
|
или |
|||
|
. |
|||
|
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б. |
|||
Пример - Пример тот же, что в 6.7, но дисперсии неизвестны. Применение этих оценок может встречаться чаще, чем применение оценок по 6.7, т.к. в большинстве случаев в двух сравниваемых совокупностях дисперсии неизвестны.
7 Точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности
7.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания дисперсии или стандартного отклонения приведен в таблице 7.1.
Таблица 7.1 - Точечная и интервальная оценки дисперсии или стандартного отклонения
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
|
1 Объем выборки: |
1 Квантили распределения с степенями свободы уровней , , и соответственно: |
|
|
|
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: |
|
|
|
|
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: |
|
|
|
3 Вычисляем: |
|
4 Степени свободы: |
|
|
4 Вычисляем; |
|
|
5 Выбранная доверительная вероятность: |
|
|
|
|
|
Результаты |
|
|
1 Точечные оценки дисперсии и стандартного отклонения генеральной совокупности: |
|
|
. |
|
|
2 Двусторонний доверительный интервал* для дисперсии : |
|
|
. |
|
|
3 Односторонний доверительный интервал* для дисперсии : |
|
|
или (3) |
|
|
. (4) |
|
|
_______________ * Значения границ доверительного интервала стандартного отклонения являются корнем квадратным из значений границ доверительного интервала дисперсии . |
|
|
Примечание - Квантили распределения определяют по таблице В.1 приложения В. |
|
Примеры
1 Оценка точности (среднее значение величины разброса) показателей качества на выходе технологического процесса.
2 Оценка точности поддержания заданного значения параметра в системах автоматического регулирования (например, температура в печи).
Если необходимо знать просто среднее значение показателя точности, то определяется точечная оценка или , а если необходима уверенность в том, что точность не хуже (разброс не выше) определенного значения, то определяют интервальную оценку или с верхней доверительной границей.
7.2 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной приведен в таблице 7.2.
Таблица 7.2 - Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданным значением
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
|
1 Объем выборки: |
1 Квантили распределения с степенями свободы уровней , , и соответственно: |
|
|
|
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: |
|
|
|
|
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: |
|
|
|
2 Вычисляем: |
|
4 Заданное значение: |
|
|
|
3 Вычисляем: |
|
5 Степени свободы: |
|
|
|
|
|
6 Выбранная доверительная вероятность: |
|
|
|
|
|
Результаты |
|
|
Сравнение дисперсии с заданным значением или сравнение стандартного отклонения с заданным значением : |
|
|
1 Двусторонний случай: |
|
|
Предположение равенства дисперсии (стандартного отклонения) и заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|
|
или . |
|
|
2 Односторонний случай: |
|
|
а) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не более заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|
|
; |
|
|
б) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не менее заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|
|
. |
|
|
Примечание - Квантили распределения определяют по таблице В.1 приложения В. |
|
Примеры
1 Оценка точности одного оборудования или технологического процесса в сравнении с известной точностью (т.е. известным параметром ) другого оборудования или технологического процесса.
