---

МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ
(МГС)

I

ГОСТ ИСО 11453­2005

NTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, METROLOGY AND CERTIFICATION
(ISC)

МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

Статистические методы

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ

Проверка гипотез и доверительные интервалы
для пропорций

ISO 11453:1996
Statistical interpretation of data —
Tests and confidence intervals relating to proportions
(IDT)

Издание официальное

БЗ 1—2005/212

ой

Москва
Стандартинформ
200

6Предисловие

Цели, основные принципы и основной порядок проведения работ по межгосударственной стандар­тизации установлены ГОСТ 1.0—92 «Межгосударственная система стандартизации. Основные положе­ния» и ГОСТ 1.2—97 «Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, правила, рекомендации по межгосударственной стандартизации. Порядок разработки, принятия, при­менения, обновления и отмены»

Сведения о стандарте

1 РАЗРАБОТАН Открытым акционерным обществом «Научно-исследовательский центр контро­ля и диагностики технических систем»(ОАО НИЦКД), Межгосударственным техническим комитетом по стандартизации МТК 125 «Статистические методы в управлении качеством продукции»

2 ВНЕСЕН Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии Российской Федерации

3 ПРИНЯТ Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (про­токол № 28 от 9 декабря 2005 г.)

За принятие проголосовали:

4 Настоящий стандарт идентичен международному стандарту ИСО 11453:1996 «Статистическое представление данных. Проверка гипотез и доверительные интервалы для пропорций» (IS011453:1996 «Statistical interpretation of data — Tests and confidence intervals relating to proportions»).

Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования указанного между­народного стандарта для приведения в соответствие с ГОСТ 1.5.

Степень соответствия — идентичная (IDT).

Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 29 июня 2006 г. № 125-ст межгосударственный стандарт ГОСТ ИС011453—2005 введен в действие с 1 сентября 2006 г.

5 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Информация о введении в действие (прекращении действия) настоящего стандарта публику­ется в указателе «Национальные стандарты».

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе (каталоге) «Национальные стандарты», а текст изменений — в информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая инфор­мация будет опубликована в информационном указателе «Национальные стандарты»

© Стандартинформ, 2006

В Российской Федерации настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроиз­веден, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

Содержание

1. Область применения 1

2. Нормативные ссылки 1

3. Определения 1

4. Символы 2

5. Точечная оценка пропорции р 2

6. Доверительные границы для пропорции р 2

7. Проверка гипотез для пропорции р 3

   1. Общие требования 3

   2. Сравнение пропорции с заданным значением р₀ 3

   3. Сравнение двух пропорций 4

8. Формы 5

   1. Формы А. Доверительный интервал для пропорции р 5

   2. Формы В. Сравнение пропорции р с заданным значением р₀ 8

   3. Формы С. Сравнение двух пропорций 12

9. Таблицы и номограммы 18

   1. Интерполяция в таблице 4 квантилей F-распределения 18

   2. Пример 18

Приложение А (обязательное) Вычисление оперативной характеристики критерия для формы В. . 33

Приложение В (справочное) Примеры заполненных форм 35

Приложение С (справочное) Сведения о соответствии межгосударственных стандартов ссылочным международным стандартам 45

Приложение D Библиография 45ГОСТ ИСО 11453—2005

МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

Статистические методы

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ

Проверка гипотез и доверительные интервалы для пропорций

Statistical methods. Statistical interpretation of data.
Tests and confidence intervals relating to proportions

Дата введения — 2006—09—01

1. Область применения

Настоящий стандарт содержит описание статистических методов, предназначенных для решения следующих задач:

1. Дана совокупность элементов, из которых отобрана выборка из п элементов, йух элементов выборки обнаружена некоторая характеристика. Какая доля (пропорция) совокупности имеет эту харак­теристику (см. 8.1)?

2. Отличается ли пропорция, определенная в соответствии с задачей а), от номинального указан­ного значения (см. 8.2)?

3. Даны две различные совокупности. Различаются ли доли элементов с заданной характеристи­кой в этих двух совокупностях (см. 8.3)?

4. Выборки какого объема следует отбирать для решения задач Ь) и с), чтобы быть достаточно уверенным в правильности решения (см. 7.2.3 и 7.3.3)?

Важно, чтобы метод отбора выборок не оказывал заметного влияния на совокупность. Если взятая случайным образом выборка составляет менее 10 % совокупности, как правило, это является приемле­мым. Если выборка составляет более 10 % совокупности, надежные результаты можно получить только возвращая каждый отобранный элемент перед отбором следующего элемента.

2. Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использована нормативная ссылка на следующий стандарт:

ИСО 3534.1:1993 Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1: Вероятность и основы

статистики

3. Определения

В настоящем стандарте применены термины по ИСО 3534.1, а также следующий термин с соответ­ствующим определением:

Издание официальное

Ри, о

Pi, о

Ри, t

Pl,_t

^С1, о С и, 0 ^cl, t

Си, t Ро Р'

^FV^F2

— тестовые статистики;

4 Символы

В настоящем стандарте использованы следующие символы: а — выбранный уровень значимости;

а' — достигнутый уровень значимости;

(1 — а) — выбранный уровень доверия;

Р — вероятность ошибки второго вида;

л; пу, п₂ — объем выборки; объем выборки 1; объем выборки 2;

X — число целевых элементов в выборке (случайная величина); х — значение X;

р — доля (пропорция) целевых элементов совокупности;

• верхняя граница одностороннего доверительного интервала для р;

• нижняя граница одностороннего доверительного интервала для р;

• верхняя граница двустороннего доверительного интервала для р;

• нижняя граница двустороннего доверительного интервала для р;

• значение, используемое для определения доверительных границ;

• критическое значение при проверке нулевой гипотезы Hq. р > Pq,

• критическое значение при проверке нулевой гипотезы H_Q: р < p_Q;

• нижняя граница критической области при проверке нулевой гипотезы /7₀: р = р₀;

• верхняя граница критической области при проверке нулевой гипотезы Hq. р = р₀;

• заданное значение для р;

• значение р, для которого определяется вероятность неотклонения нулевой гипотезы

^Fa>

• вероятность неотклонения нулевой гипотезы;

• числа степеней свободы F-распределения;

F~ (f^, f₂) — квантиль уровня q F-распределения с и f₂ степенями свободы;

z<, z₂ — тестовые статистики;

и_а — квантиль уровня q стандартного нормального распределения; q, г], К — вспомогательные величины.

5. Точечная оценка пропорции р

Оценку р по выборке из п элементов с х целевыми элементами определяют по формуле

Эта оценка является несмещенной, если выборка отбиралась случайным образом, независимо от объема выборки и размера совокупности, даже если выборка составляетзаметную часть совокупности.

5. Доверительные границы для пропорции р

Процедуры определения границ доверительного интервала для р приведены в 8.1 (формы А-1—А-3).

Границы доверительного интервала зависят от объема выборки п, числа целевых элементов в выборке х и выбранного уровня доверия (1 — а). Невозможно точно достичь заданного уровня доверия из-за дискретности х. Приведенная в стандарте процедура дает минимальное значение уровня доверия, не превосходящее (1 — а).

В настоящем стандарте при определении границ двустороннего доверительного интервала для заданного уровня доверия (1 — а) используется процедура определения нижних границ односторонне­го доверительного интервала для уровня доверия (1 — <х/2). Это гарантирует, что вероятность ошибки меньше или равна а/2 с каждой стороны интервала.

5. Проверка гипотез для пропорции р

   1. Общие требования

Для решения практических задач в формах В-1 — В-3 (8.2) и С-1 — С-3 (8.3) приведены нулевые гипотезы для пропорций и схемы их проверки. Сначала должны быть выбраны соответствующая нуле­вая гипотеза, объем выборки п (объемы выборок л₁ и л₂) и уровень значимости. Поскольку основные используемые распределения дискретны, процедуры разработаны так, чтобы достичь самого близкого к выбранному значению уровня значимости, который меньше или равен этому значению. В формах не приведены альтернативные гипотезы, так как в каждом случае неявно предполагается, что альтернатив­ная гипотеза является дополнительной к нулевой гипотезе.

Пример — При работе с формами В (процедура сравнения пропорции с заданным значени­ем) вначале необходимо выбрать одну из следующих трех нулевых гипотез Н_о(с дополни­тельной альтернативной гипотезой Н_Л), где р₀— заданное значение:

1. односторонний критерий с Н_о: р>р₀и Н_Д: р < р₀;

2. односторонний критерий с Н_о: р <р₀и Н^: р> р₀;

3. двусторонний критерий с Н_о: р = р₀и Н_Д: р~ p_Q.

Результатом проверки гипотезы является отклонение или неотклонение нулевой гипотезы.

Отклонение нулевой гипотезы означает, что принимается альтернативная гипотеза. Неотклонениенулевойгипотезынеозначает, что принимается нулевая гипотеза (см. 7.2.2).

Процедуры проверки нулевых гипотез:

н₀- Р> Р₀;

Н_о: Р< р_о;

Но- Р = Р₀,

гдер₀— заданное значение, описаны в формах В-1 — В-3. Эти процедуры особенно просты для приме­нения, если известны критические значения для заданных значений п, р и а. Если критические значения неизвестны, их можно определить при выполнении процедуры в соответствии с формами В (8.2).

Вычисление оперативных характеристик (включая вероятность ошибки первого рода, достигнуто­го уровня значимости и вероятности ошибки второго рода) описаны в приложении А. Для вычисления этих характеристик критические значения должны быть известны (см. 7.2.1) и должна быть выбра­на альтернативная гипотеза р = р^, для которой пределяется вероятность ошибки второго рода.

Если объем выборки не определен (например, по экономическим или техническим причинам), его минимальное значение должно быть задано таким, чтобы для выбранной нулевой гипотезы Н_о (см. 7.2.1) достигнутое значение уровня значимости не превосходило выбранного или заданного значения. Кроме того, достигнутое значение ошибки второго рода (вероятность р) должно быть приблизительно равно выбранному или заданному значению р, если р равно выбранному значению д'. Для этой цели р₀ и р' должны быть отмечены на шкале р, а а, (1 — а), а/2, (1 — а/2) — на шкале Р и прямых линиях 1 и 2 в соответствии с таблицей 1 и номограммой Ларсона (рисунок 2).