---

Двовіыйй згш: одичастий зги^ віднси двох гоёовмх осей.

Розв'язав епементи або системи: контрук- тивы еёеме^ти і їідсистеми, які їри розраху^ ку і їроектуваші вважаються такими, що ^е їідвищують загаёьші' горизо^аёьшТ стійкості контрукції.

В'язеві епементи або системи: контруктивы еёеме^ти і їідсистеми, які їри розрахуй і їро- ектуваші вважаються такими, що їідвищують загаёь^у горизо^таёь^у стійкість контрукції.

Втрата стійкості: руй^ува^^я, сїричи^е^е ^естабіёь^істю якогонебудь еёеме^а конт- рукції лёьки їри стиску і за відсутнсті їоїє- речнго ^ава^таже^^я.

їримітка. Чиста втрата стійкості, як визначено вище, не ° відїовідним граничним станом у реаль­ній конструкції внаслідок наявності неточностей і їоїеречних навантажень, але номінальне наванта­ження їри втраті стійкості може використовуватись у якості їевного їараметра в деяких методах розра­хунку другого їорядку (за деформованою схемою).

Kритич^а сипа: ^ава^таже^^я, за якого відбу­ваться втрата стійкості; дёя самостійпх еёе- меиів во^а ° синимом Ейёерево'і сиёи.

Розрахушова довжи^а: довжи^а, що викорис- тову°ться дёя оцнки форми втрати стійкості; во^а також може виз^ачатись як їриведе^а довжи^а, тобто довжи^а 0арири обїертої коёоп з вертикаёьн їрииаденю сиёою, буде мати їереріз і критич^у сиёу, як і реаёь- ний еёемен.

Вїпиви їер0ого їорядку: ^асёідки ^ава^та- жт. обчисёеы без врахуваня вїёиву де­формацій контрукції, аёе з урахуваням геометричпх ^еточ^остей.

Самостійні (окремі) епементи: еёеме^ти, які ° ізоёьованмп або еёеме^ти у контрукції, які дёя ціёей розрахуну можуть розгёядатись як ізоёьовай; їриклади окремих еёеменів з різя­ми умовами обїираня їоказаи ^а рисуну 5.7. ^ммапыний моме^ другого їорядку. момен другого їорядку використову°ться у їевпх методах розрахуиу, що дають загаёьпй мо- меи, зіставпй із граничним оїором їоїереч- нго їерерізу (5.8.5 (2)).

5.8 Analysis of second order effects with axial load

Biaxial bending: simultaneous bending about two principal axes.

Braced members or systems: structural members or subsystems, which in analysis and design are assumed not to contribute to the overall horizontal stability of a structure.

Bracing members or systems: structural mem­bers or subsystems, which in analysis and design are assumed to contribute to the overall horizontal stability of a structure.

Buckling: failure due to instability of a member or structure under perfectly axial compression and without transverse load.

Note: "Pure buckling" as defined above is not a rele­vant limit state in real structures, due to imperfections and transverse loads, but a nominal buckling load can be used as a parameter in some methods for second order analysis.

Buckling load: the load at which buckling occurs; for isolated elastic members it is synonymous with the Euler load

Effective length: a length used to account for the shape of the deflection curve; it can also be defined as buckling length, i.e. the length of a pin-ended column with constant normal force, having the same cross section and buckling load as the actual member.

First order effects: action effects calculated without consideration of the effect of structural deformations, but including geometric imperfec­tions.

Isolated members: members that are isolated, or members in a structure that for design purposes may be treated as being isolated; examples of isolated members with different boundary conditions are shown in Figure 5.7.

Nominal second order moment: a second order moment used in certain design methods, giving a total moment compatible with the ultimate cross section resistance (see 5.8.5 (2))

.

Вїпиви другого їорядку: додаткові ^аслідки вїёивiв, які спричинені деформаціями коят- рукції.

(1)Р Ці положеяя стосуються елеме^ів і ко- ятрукцій, характер роботи яких сутт°во зале­жить від вїёивів другого їорядку (наприклад, колоя, стія, паёі, арки та оболояи). Загальж впёиви другого порядку можуть проявёятись у коятрукціях із шучкою в'язевою системою.

(2)Р Якщо враховуються впёиви другого по­рядку, див. (6), то рівявага і опір повияі пе­ревірятись у деформоваяму стаж. Деформа­ції повияі виз^ачатись з урахуваяям відпо- відяго впёиву тріщияутвореяя, ^еёі^ій^их вёастивостей матеріаёів і повзучості.

їримітка. їри розрахунку за умови лінійного ха­рактеру роботи матеріалу ці впливи можна врахо­вувати 0ляхом зниження характеристик жорсткос­ті (див. 5.8.7).

(3)Р У відповідях випадках розрахуяк пови- ^е^ враховувати вплив шучкості прилеглих елеме^ів і фувдаме^ів (вза°модія "осява- споруда").

(4)Р Характер роботи коятрукції пови^е^ роз­глядатись у ^апрямку, в якому може відбува­тись деформація, а в ^еобхід^их випадках пови^е^ враховуватись двовісяй згиж

(5)Р Hевиз^аче^ості у геометрії і розта0уваяі осьових ^ава^таже^ь повияі враховуватись у якості додаткових впливів пер0ого порядку ^а осяві геометричях ^еточ^остей (див. 5.2).

(6) Впливами другого порядку мож^а з^ехтува- ти, якщо воя стаявлять ме^0е жж 10 % відповідях впливів пер0ого порядку. Спро- щеж критерії ^аведе^і для окремих елеме^ів у 5.8.3.1, а для коятрукцій - у 5.8.3.3.

5.8.3 Спрощеш критерії дёя вїёивів друго­го їорядку

1. Як альтер^атива 5.8.2 (6) впливами другого порядку мод^а зяхтувати, якщо шучкість X (виз^аче^а у 5.8.3.2) ° ме^0ою певяї величи­ни (граничної) X_lim.

ї

X _lim = 20 • A • B • C / 4n ,

римітка. Величина X_lim для конкретної країни може встановлюватись у національному додатку. Рекомендованими ° наступні величини:

Second order effects: additiona| action effects caused by structura| deformations

5.8.2 General

(1)P This c|ause dea|s with members and struc­tures in which the structura| behaviour is signi- ficant|y inf|uenced by second order effects (e.g. co|umns, wa||s, pi|es, arches and she||s). G|oba| second order effects are |ike|y to occur in struc­tures with a f|exib|e bracing system.

(2)P Where second order effects are taken into account, see (6), equi|ibrium and resistance sha|| be verified in the deformed state. Deformations sha|| be ca|cu|ated taking into account the re|evant effects of cracking, non-|inear materia| properties and creep.

Note. In an ana|ysis assuming |inear materia| proper­ties, this can be taken into account by means of redu­ced stiffness va|ues, see 5.8.7.

(3)P Where re|evant, ana|ysis sha|| inc|ude the effect of f|exibi|ity of adjacent members and foun­dations (soi|-structure interaction).

(4)P The structura| behaviour sha|| be considered in the direction in which deformations can occur, and biaxia| bending sha|| be taken into account when necessary.

(5)P Uncertainties in geometry and position of axia| |oads sha|| be taken into account as additiona| first order effects based on geometric imperfections, see 5.2.

(6) Second order effects may be ignored if they are |ess than 10 % of the corresponding first order effects. Simp|ified criteria are given for iso|ated members in 5.8.3.1 and for structures in 5.8.3.3.

5.8.3 Simplified criteria for second order effects

1. As an a|ternative to 5.8.2 (6), second order effects may be ignored if the slenderness X (as defined in 5.8.3.2) is below a certain value X_lim.

Note: The value of X_lim for use in a Country may be found in its National Annex. The recommended value follows from:

(5.13N) де:

A = 1/ (1 + 0,2 фef) (якщо ф_ef ^евідомий, може використовуватись А = 0,7);

B = 1+ + 2® (якщо ® ^евідоме, може використо­вуватись В = 1,1);

C =1,7- rm (якщо rm ^евідоме, може викорис­товуватись С = 0,7);

Ф ef - їриведемй коефіці^т їовзучості (5.8.4);

® = As fyd / Acfcd; коефіцієнт армувашя;

A_s - загаёь^а їёоща їерерізу арматури;

n = NEd /Acfcd; відш^а осьова сиёа;

rm = M01/ M02; співвідношення моментів:

M01, M₀₂ — моме^ти їер0ого їорядку ^а кнцях, M 021 - M 01.

Якщо моме^ти ^а кнцях M₀₁ і M02 дають розтяг з однієї сторот rm ^еобхід^о їриймати до- датнм (тобто С < 1,7), в Н0ому разі - від'°м- ж,і (тобто С > 1,7).

rm ^еобхід^о їриймати 1,0 (тобто С = 0,7) у ^а- стуших виїадках:

- дёя розкрюёемх еёеметв, у яких момет ти їер0ого їорядку вимкають лёьки або їереважш від ^еточ^остей або їоїеречш- го ^ава^таже^^я;

- дёя ^ерозкріїёе^их еёеметв, як їравиёо.

2. Дёя виїадків двовісшго зги^у критерій шучкості може їеревірятись окремо дёя кож- шго ^аїрямку. У заёежшсті від резуёьтату цієї їеревірки вїёиви другого їорядку (а) - мо­жуть ^е враховуватись дёя обох ^аїрямків; (b) - їовит враховуватись у одшму ^аїрям- ку, або (с) - їовит враховуватись у обох ^аїрямках.

1. ^учкість їри їоздовж^ому згин виз^а- ча°ться як: де:

l₀ - їриведе^а довжи^а, див. 5.8.3.2 (2)...(7) і - радіус терції бетошого їерерізу без тріщин

2. Дёя загаёьшго виз^аче^^я їриведет' довжин див. 5.8.1. їри^ади їриведет' дов­жин дёя окремих еёеметв їостійтго їоїє- речтго їерерізу ^аведе^о ^а рису^у 5.7.

where:

A = 1/ (1 + 0,2 фef) (if ф_ef is not known, A = 0,7 may be used);

B = 1+ + 2® (if ® is not known, B =1,1 may be used);

C = 1,7 - r_m (if r_m is not known, C = 0,7 may be used);

Ф_ef- effective creep ratio; see 5.8.4;

® = As fyd /A_cf_cd; mechanical reinforcement ratio; A_s - is the total area of longitudinal reinforcement; n = NEd /Acfcd; relative normal force;

rm = M01 / M02; moment ratio;

M₀₁, M₀₂ - are the first order end moments, ^M 021 ^-M 01.

If the end moments M₀₁ and M₀₂ give tension on the same side, rm should be taken positive (i.e. С < 1,7), otherwise negative (i.e. C > 1,7).

In the following cases, r_m should be taken as 1,0 (i.e. C = 0,7):

• for braced members in which the first order moments arise only from or predominantly due to imperfections or transverse loading

• for unbraced members in general.

(2) In cases with biaxial bending, the slenderness criterion may be checked separately for each direction. Depending on the outcome of this check, second order effects (a) may be ignored in both directions, (b) should be taken into account in one direction, or (c) should be taken into ac­count in both directions.

5.8.3.2 Slenderness and effective length of isola­ted members

1. The slenderness ratio is defined as follows:

(5.14)

where:

l₀ - is the effective length, see 5.8.3.2 (2) to (7) і- is the radius of gyration of the uncracked conc­rete section

For a general definition of the effective length, see 5.8.1. Examples of effective length for isola­ted members with constant cross section are given in Figure 5.7

.

3. Д

   а)/₀= / b)/о = 2/ с)/о = 0,7/ d) /о = 1/2 е) /₀= / f)/Z?</₀</ g) /₀> 21

   Рису^к 5.7 - їрикпади різмх форм втрати стійкості та відповідях розрахужових довжи^ окремих елемежів

   Figure 5.7 - Examples of different buckling modes and corresponding effective lengths for isolated members

   ля стистутих елеме^ів симетричях рам шучкість (див. 5.8.3.1) повияа їеревірятись для розрахуяової довжия l₀, виз^аче^ої так:

Розкріплеж елеме^ти (рисуяк 5.7 (f)):

3. For compression members in regular frames, the slenderness criterion (see 5.8.3.1) should be checked with an effective length l₀ determined in the following way:

Braced members (see Figure 5.7 (f)):l₀ = 0,5l

(, k 1 ї C k 2 ї

1 + ^!— • 1 + ²— .

^ 0,45 + k 1 Д 0,45 + k₂J

(5.15)

Нерозкріплеж елеме^ти (рисуяк 5.7 (g)):

Unbraced members (see Figure 5.7 (g))

:l₀

( л k k 1 • k2 ї

I 1 +10^—- I

К k 1 ⁺k 2 J

k₁

1 + —

1 + k 1

(5.16)

де:

k 1 і k₂ - відповідя відя^а кутова жорсткість опорях в'язей 1 і 2;

k = (0 / M )•( EI / l);

0 - їоворот закріплеях елеме^ів від зги^аль- шго моме^у М, рисушк 5.7 (f) і (g);

ЕІ - зги^аль^а жорсткість стистутих елемеж тів, див. 5.8.3.2 (4) і (5);

l - висота сти^утого елемежа у чистоті між закріїлешями кЫців

їримітка. k = 0 - теоретична межа абсоёютно жор­сткого закріпёення від повороту, а k = х виража° відсутність закріпёення взагаёі. Оскіёькм абсоёют­но жорстке закріпёення рідко зустрічаються на прак­тиці, рекоменду°ться мінімальне значення 0,1 для k1 і k2.

where:

k₁ і k₂ - are the relative flexibilities of rotational restraints at ends 1 and 2 respectively:

k =(0 / M )•( EI / l);

0 - is the rotation of restraining members for ben­ding moment M, see also Figure 5.7 (f) and (g)

ЕІ - is the bending stiffness of compression mem­ber, see also 5.8.3.2 (4) and (5)

l- is the clear height of compression member bet­ween end restraints

Note: k = 0 is the theoretical limit for rigid rotational restraint, and k = х represents the limit for no restraint at all. Since fully rigid restraint is rare in practise, a minimum value of 0,1 is recommended for k1 and k2

.

4. Якщо їередбача°ться, що прилеглий стис^у- тий елеме^ (коло^а) у вузёі вїёива° ^а їоворот їри втраті стійкості, то ЕІ/1 їри виз^аче^^і k ^е- обхідто замнити ^а [(EI /l)a + [(EI/ ^l)b ],^деа і b відїовідш їредставёяють стистутий еле- ме^ (коло^у) вище і мжче вузёа.

5. їри виз^аче^^і розрахумової довжин жорсткість закріїлемх елеме^ів їовижа враховувати вїёив ^аяв^ості тріщищ якщо ^е їродеможтроваш, що вом можуть ^е мати тріщи^ у гра^чшму стан (ULS).

6. Критерій 5.8.3.1 дёя всіх Н0их виїадків, окрім (2) і (3), ^аїриклад, елеме^ів зі зміною вертикальшю сиёою і/або їоїеречмм їе- рерізом, їовиші їеревірятись за їриведешю довжишю, що базу°ться ^а критичжй їоз- довжжй силі (обчислежй, ^аїриклад, чисёо- вим методом):

4. If an adjacent compression member (column) in a node is likely to contribute to the rotation at buckling, then ЕІ/1 in the definition of k should be replaced by [(EI /1)a + [(EI /1)b ], a and b repre­senting the compression member (column) above and below the node.

5. In the definition of effective lengths, the stiffness of restraining members should include the effect of cracking, unless they can be shown to be uncracked in ULS.

6. For other cases than those in (2) and (3), e.g. members with varying normal force and/or cross section, the criterion in 5.8.3.1 should be checked with an effective length based on the buckling load (calculated e.g. by a numerical method):

   (5.17)

1₀ = KyJ EI /

Nде:

EI - фактич^а зги^аль^а жорсткість;

NB - їоздовж^ ^ава^таже^^я, вираже^е че­рез EI;

(у виразі (5.14) і - їовишо також відїовідати цьому EI).

4. Вїлив закріїлешя від їоїеречмх стн мо­же враховуватись їри обчислені розрахумо- вої довжин стн коефіці^том р, ^аведе^им у 12.6.5.1. Таким чижі, у виразі (12.9) і таблиці 12.1 lw замню°ться ^а 1₀, виз^аче^у згідно з 5.8.3.2.

5. .3.3 Загаёычі вїёuвu другого їорядку у бу- дівёях

1. Як альтер^атива 5.8.2 (6) загальмми вїли- вами другого їорядку у будівлях мож^а з^ехту- вати, якщо

where:

EI - is a representative bending stiffness

N_B- is buckling load expressed in terms of this EI;

(in Expression (5.14), і should also correspond to this EI).