Наведену вище модель може бути розширено багатьма способами. Наприклад:
розширенням самої моделі (наприклад, уважаючи, що другий елемент починає функціювати відразу після відмови першого елемента);
перетворенням постійної ймовірності на змінну ймовірність (показовим прикладом є трикутний розподіл), коли ймовірність неможливо точно визначити;
використанням інтенсивності відмов у поєднанні з генератором випадкових подій для одержання часу відмови (експоненційний розподіл, розподіл Вейбулла чи інший відповідний розподіл) і передбаченням часу відновлювання.
Цей метод застосовують також для загального оцінювання невизначеності фінансових прогнозів, ефективності інвестування, прогнозів щодо вартості та етапності виконання проекту, порушень у бізнес- процесі та потреб у найманні персоналу.
Аналітичні методи не дають змоги одержувати слушні результати, коли є невизначеність у вхідних даних і, через це, у вихідних даних.
Вихідні дані
Вихідними даними можуть бути окремі значення, як визначено в прикладі вище, результат зазначено як імовірність чи розподіл частот, або визначення основних функцій моделі, що найбільше впливає на вихідні дані.
Імітаційне моделювання методом Монте-Карло застосовують для загального оцінювання сукупного розподілу результатів, що можуть виникати, або ключових показників, зумовлених розподілом, таких як:
імовірність виникнення визначеного результату;
значення результату, щодо якого особи, яких стосується проблема, мають певний рівень упевненості в тому, що його не буде перевищено, витрати, можливість перевищення яких становить менше ніж 10 %, або тривалість, упевненість у перевищенні якої становить 80 %.
Аналізування зв’язків між вхідними та вихідними даними може сприяти виявленню відносної важливості задіяних чинників та ідентифікуванню цілей, на які корисно спрямовувати зусилля, щоб впливати на невизначеність результату.
Переваги та обмеженості
Переваги імітаційного моделювання методом Монте-Карло:
— метод можна застосовувати за будь-якого розподілу вхідної змінної, охоплюючи емпіричні розподіли, виведені зі спостережень за суміжними системами;моделі відносно прості для розробляння, їх можна розширювати за потреби;
■ дає змогу зображати всі впливи чи зв'язки, що виникають у реальності, зокрема ефекти, які важко виявити, наприклад, умовні залежності;
для ідентифікування сильних і слабких впливів можна застосовувати аналізування чутливості;
моделі легкі для розуміння, оскільки зв’язок між вхідними та вихідними даними є прозорим;
є ефективні поведінкові моделі, наприклад, мережі Петрі (майбутній ІЕС 62551), які виявляються дуже ефективними для цілей імітаційного моделювання методом Монте-Карло;
забезпечує міру точності результату;
програмне забезпечення доступне і відносно недороге.
Обмеженості:
—точність рішень залежить від кількості імітаційних моделювань, які може бути виконано (ця обмеженість стає менш вагомою в разі збільшення швидкодії комп’ютера);
спирається на спроможність зображати невизначеності параметрів переконливим розподілом;
великорозмірні та складні моделі можуть завдавати труднощів спеціалісту з моделювання та утруднювати участь у процесі зацікавлених сторін;
метод може неадекватно розрізняти важливі наслідки та малоймовірні події і, тому, не давати змоги відображати в аналізі готовність організації до ризику.
В.25.7 Рекомендовані документи
ІЕС 61649 Weibull analysis (Аналіз Вейбулла).
ІЕС 62551 Analysis techniques for dependability — Petri net techniques (Методи аналізування надійності. Методи моделювання мережами Петрі)1.
ISO/IEC Guide 98-3:2008 Uncertainty measurement — Part 3: Guide to the of uncertainty in measurement (GUM: 1995) (Невизначеність вимірювання. Частина 3. Настанова щодо подання невизначеності вимірювання).
В.26 Байєсівська статистика та мережі Байєса
Загальний огляд
Статистику названо байєсівською на честь преподобного Томаса Байєса. Його припущення полягає в тому, що будь-яку вже відому інформацію (апріорну інформацію) може бути скомбіновано з наступним результатом вимірювання (апостеріорною інформацією), щоб установити цілковиту ймовірність. Загальний вираз теореми Байєса може бути такий:
Р(А|В) = {Р(А)Р(В|А))/^Р(В1Е;.)Р(Е,.),
І
де Р(Х) — імовірність події X;
Р(Х|У) — імовірність події Xза умови, что виникла подія У;
Е, — /-а подія.
У своїй найпростішій формі зводиться до Р(А|В) = {Р(А)Р(В|А)}/Р(В).
Байєсівська статистика відрізняється від класичної статистики тим, що вона припускає не те, що всі параметри розподілу постійні, а те, що параметри є випадковими змінними. Байєсівську ймовірність можна легше зрозуміти, якщо її розглядати як ступінь довіри особи до виникнення певної події— на відміну від класичного підходу, який базується на матеріальному свідченні подій. Оскільки підхід Байєса базується на суб'єктивному тлумаченні ймовірності, він забезпечує безпосередню основу для розглядання варіантів прийняття рішень і розробляння мереж Байєса (мереж довіри).
Метод мереж Байєса передбачає використання графічної моделі для зображення низки змінних і їхніх імовірнісних зв’язків. Мережа складається з вузлів, які представляють випадкову змінну, і стрілок, які зв’язують родинний вузол з дочірнім вузлом (родинний вузол є змінною, яка безпосередньо впливає на іншу (дочірню) змінну)
.Застосування
Протягом останніх років теорія та мережі Байеса знайшли широке застосування частково завдяки їхній інтуїтивній привабливості, а також завдяки наявності відповідного обчислювального програмного забезпечення. Мережі Байеса застосовують у різноманітних сферах: медичній діагностиці, моделюванні зображень, генетиці, розпізнаванні мови, економіці, досліджуванні космосу та в сучасних потужних пошукових веб-системах. Вони можуть бути корисними в будь-якій сфері, у якій необхідно віднаходити невідомі змінні, використовуючи структурні зв’язки та дані. Мережі Байеса можна застосовувати для вивчення причинних зв’язків, щоб краще зрозуміти проблемну область і спрогнозувати наслідки втручання.
Вхідні дані
Вхідні дані подібні вхідним даним для моделювання методом Монте-Карло. Приклади етапів, які необхідно виконати для побудови мережі Байеса, такі:
визначити змінні системи;
визначити причинні зв'язки між змінними;
установити умовні та апріорні ймовірності;
додати доказове свідчення до мережі;
актуалізувати довірчі рівні;
виділити апостеріорні довірчі рівні.
Процес
Теорію Байеса можна застосовувати різноманітними способами. У наведеному нижче прикладі розглянуто побудову таблиці Байеса з використанням медичного тесту для визначення наявності захворювання у пацієнта. Імовірнісна довіра перед проведенням тесту полягає у тому, що 99 % популяції не мають цього захворювання, а 1 % — має (тобто це апріорна інформація). Точність тесту показала, що якщо пацієнт має захворювання, то результати тесту є позитивними у 98 % випадків. Є також імовірність того, що якщо в пацієнта немає цього захворювання, результат тесту є позитивним у 10 % випадків. У таблиці Байєса подано таку інформацію:
Таблица В.5 — Дані таблиці Байєса
|
|
Апріорні дані |
Імовірність |
Добуток |
Апостеріорні дані |
|
Має захворювання |
0,01 |
0,98 |
0,009 8 |
0,090 1 |
|
Не має захворювання |
0,99 |
0,10 |
0,099 0 |
0,909 9 |
|
Підсумок |
1 |
|
0,108 8 |
1 |
Застосовуючи правило Байєса, добуток визначають множенням апріорних даних і ймовірності. Апостеріорні дані визначають діленням значення окремого добутку на суму добутків. Аналіз показує, що позитивний результат тесту вказує на те, що апріорне значення зросло з 1 % до 9 %. Ще важливіше те, що є велика можливість того, що навіть за позитивного результату тесту наявність захворювання малоймовірна. Аналізування виразу (0,01 х 0,98)/((0,01 х 0,98) + (0,99 х 0,1)) показує, що твердження «немає позитивного результату щодо захворювання» має вагоме апостеріорне значення.
Розглянемо мережу Байєса, зображену на рис. В.11.
Для умовних апріорних імовірностей, визначених у наведених нижче таблицях В.6—В.10, використано позначення У (позитивний) і N (негативний). Позитивний елемент може бути визначено як «має захворювання», що показано вище, або як Високий, а негативний (Л/) — як Низький.
|
Таблица В.6 — Апріорні ймовірності для вузлів А та |
В |
||
|
Р(А = Y) |
Р(А = N) |
Р(8 = Y) |
Р(В = А/) |
|
0,9 |
0,1 |
0,6 |
0,4 |
Таблица В.7 — Умовні ймовірності для вузла С з визначеними вузлами А та В
|
А |
В |
Р(С = Y) |
Р(С= N) |
|
Y |
Y |
0,5 |
0,5 |
|
У |
N |
0,9 |
0,1 |
|
N |
У |
0,2 |
0,8 |
|
N |
N |
0,7 |
0,3 |
Таблица В.8 — Умовні ймовірності для вузла D з визначеними вузлами А та С
|
А |
С |
P(D = Y) |
P(D = Л/) |
|
У |
У |
0,6 |
0,4 |
|
У |
N |
1,0 |
0,0 |
|
N |
У |
0,2 |
0,8 |
|
N |
N |
0,6 |
0,4 |
Щоб визначити апостеріорну ймовірність Р(Д|О = Л/, С = У), необхідно спочатку обчислити Р(Д, BD = N,C=Y).
Застосовуючи правило Байєса, визначають значення Р(О|Д, С)Р(С|Д, В)Р(Д)Р(В), як показано нижче; в останньому стовпці показано унормовані ймовірності, сума яких дорівнює 1, як отримано у попередньому прикладі (округлений результат).
Таблица В.9 — Апостеріорна ймовірність для вузлів А та В з визначеними вузлами D та С
|
А |
В |
Р(О|А, С)Р(С|А, В')Р[А)Р(В) |
Р(А, В|£> = N, С = Y) |
|
У |
У |
0,4 х 0,5 х 0,9 х 0,6 = 0,110 |
0,4 |
|
У |
N • |
0,4 х 0,9 х 0,9 х 0,4 = 0,130 |
0,48 |
|
N |
У |
0,8 х 0,2 х 0,1 х 0,6 = 0,010 |
0,04 |
|
N |
N |
0,8 х 0,7 х 0,1 х 0,4 = 0,022 |
0,08 |
Щоб отримати Р(Д|О = Л/, С = У), потрібно підсумувати всі значення стовпця В:
Таблица В.10 — Апостеріорна ймовірність для вузла А з визначеними вузлами D та С
|
Р(А = Y|D = N, С = Y) |
Р(А = ND = N, С = Y) |
|
0,88 |
0,12 |
Результати показують, що апріорна ймовірність Р(Д - N) збільшилась з 0,1 до апостеріорної 0,12, тобто зміна є несуттєвою. З іншого боку, імовірність Р(В = ND= N, С = Y) зросла з 0,4 до 0,56, що є суттєвішою зміною.
Вихідні дані
Підхід Байеса можна застосовувати так само, як і класичну статистику з отриманням широкого діапазону вихідних даних, наприклад, для аналізування даних з отриманням точкових оцінок і довірчих інтервалів. Широку популярність цього підходу пов’язано з застосуванням мереж Байеса для визначення апостеріорних розподілів. Графічні вихідні дані забезпечують просту для розуміння модель, а дані може бути легко змодифіковано, щоб розглядати кореляції та чутливості параметрів.
Переваги та обмеженості
Переваги:
потрібно знати тільки апріорні дані;
логічні виведення легкі для розуміння;
необхідно застосовувати лише правило Байеса;
цей метод є способом застосування суб’єктивних уявлень щодо розгляданої проблеми.
Обмеженості:
утруднене визначення всіх взаємодій у мережах Байеса для складних систем;
підхід Байеса потребує знання множини умовних імовірностей, що їх зазвичай визначають на підставі експертних висновків. За допомогою програмних засобів можна отримати тільки відповіді, базовані на цих припущеннях.
В.27 Криві FN
Загальний огляд
Ризик може бути обґрунтованим тільки за надзвичайних обставин
Область непрйнятності
(Немає потреби докладно
опрацьовувати метод ALARP)
Область широкої прйнятності
Ризик допустимий
тільки в разі, якщо його
зниження неможливе
або пов'язані з ним витрати
надто несумірні
з отримуваним поліпшенням
Ризик допустимий,
якщо витрати
на його зниження
перевищуватимуть
отримане поліпшення
Необхідно постійно
забезпечувати,
щоб ризик залишався
на цьому рівні
ІЕС 2073/09
Рисунок В.12 — Поняття ALARP
Криві FN — графічне зображення ймовірності подій, що спричинюють конкретний рівень шкоди для конкретної популяції. Найчастіше вони стосуються частоти заданої кількості нещасних випадків, що виникають.
