відповідним чином уточнeну механічну модель резервуара (наприклад, кінцевоелементна модель) для оцінки механічних напружень, обумовлених тиском.

A.2 Жорсткі вертикальні круглі резервуари на грунті, закреплeні до фундаменту

A.2.1 Горизонтальний сейсмічний вплив

A.2.1.1 Загальні положення

Рух рідкого середовища, що міститься в жорсткому циліндрі, може виражатися як сума двох окремих вкладів, названих «жорстким ударним» і «конвективним», відповідно. «Жорстка ударна» складова точно задовольняє граничним умовам для стінок і дна резервуара, однак дає (некоректно, завдяки присутності хвиль у динамічній реакції) нульовий тиск у вихідному положенні вільної поверхні рідини в статичному стані. «Конвективний» вираз не змінює ці граничні умови, які вже задоволені, при правильному виконанні умов рівноваги на вільній поверхні. Використовується з початком координат в центрі дна резервуара циліндрична система координат: r, z, і віссю z, розташованої вертикально. Висота резервуара до первісної вільної поверхні рідини та його радіус позначаються H і R, відповідно,  - масова щільність рідини, а  = r/R і  = z/H - безрозмірні координати.

A.2.1.2 Жорсткий ударний тиск

Просторово-часова зміна «жорсткого ударного» тиску представлена виразом:

А.2 Rigid vertical circular tanks on-ground, fixed to the foundation

A.2.1 Horizontal seismic action

A.2.1.1 General

The motion of the fluid contained in a rigid cylinder may be expressed as the sum of two separate contributions, called „rigid impulsive”, and „convective” respectively. The „rigid impulsive^” component satisfies exactly the boundary conditions at the walls and the bottom of the tank, but gives (incorrectly, due to the presence of the waves in the dynamic response) zero pressure at the original position of the free surface of the fluid in the static situation. The «convective» term does not alter those boundary conditions that are already satisfied, while fulfilling the correct equilibrium condition at the free surface. Use is made of a cylindrical coordinate system: r, z, with origin at the centre of the tank bottom and the z axis vertical. The height of the tank to the original of the free surface of the fluid and its radius are denoted by H and R respectively,  is the mass density of the fluid, while  = r/R and
 = z/H are the nondimensional coordinates.

A.2.1.2 Rigid impulsive pressure

The spatial-temporal variation of the «rigid impulsive» pressure is given by the expression:

(A.1)

де:

in which:

(A.2)

де:

in which:

І₁(·) and І₁(·) denote the modified Bessel function of order 1 and its derivative¹⁾.

p_i/(RA_g(f))

 = r/R

 = 0,5

 = 1,0

 = 3,0

 = 0,5

 = 1,0

 = 3,0

Figure A.l - Variation of the impulsive pressure (normalized to Ra_g) for three values of  = H/R: a) variation along the height; b) radial variation on the tank bottom.

_____________________

¹⁾ The derivative can be expressed in terms of the modified Bessel functions of order 0 and 1 as:

Член A_g(f) у виразі (A.1) являє собою змінне в часі прискорення грунту у вільному полі (з піковою величиною, позначеною як a_g). Функція С_і представляє розподіл по висоті величини p_i. Вона показана на рисунку A.1a) для  = 1 (тобто у стінці резервуара) і
cos = 1 (тобто в площині горизонтального сейсмічного впливу), нормована до Ra_g, для трeх значень параметра гнучкості
 = H/R. На рисунку A.1b) показана радіальна зміна величини p_i на дні резервуара, як функція величини . Для великих значень  розподіл тиску на дні стає лінійним.

A_g(f) in expression (A.1) is the ground acceleration time-history in the free-field (with peak value denoted by a_g). The function С_і gives the distribution along the height of p_i. It is shown in Figure A.1a) for  = 1 (i.e. at the wall of the tank) and cos = 1 (i.e. in the plane of the horizontal seismic action), normalized to Ra_g, for three values of the slenderness parameter  = H/R. Figure A.1b) shows the radial variation of p_i on the tank bottom as a function of . For large values of  the pressure distribution on the bottom becomes linear.

Pressure resultants: The horizontal resultant of the «rigid impulsive» pressure from expression (A.1) at the base of the wall, Q_i, is:

Impulsive base shear:

Q_i(t) = m_iA_g(t) (A3)

величина m_i, звана ударною масою, позначає масу вміщаючої рідини, яка рухається разом зі стінками і визначається з виразу:

m_i, termed impulsive mass, denotes the mass of the contained fluid which moves together with the walls and is given by the expression:

where m = R²H is the total contained mass of the fluid.

Загальний момент по відношенню до осі, що перпендикулярна напряму руху сейсмічного впливу M_i, безпосередньо під дном резервуара включає вклади тисків на стінки з виразу (A.1) і тисків на дно резервуару. Загальний момент M_iбезпосередньо над дном резервуара включає в себе тільки вклади тисків на стінках.

Ударний момент основи (безпосередньо під дном резервуара):

The total moment with respect to an axis orthogonal to the direction of the seismic action motion, M_i, immediately below the tank bottom includes the contributions of the pressures on the walls from expression (A.1) and of those on the tank bottom. The total moment M_i immediately above the tank bottom includes only the contributions of the pressures on the walls.

Impulsive base moment (immediately below the tank bottom):

M'_i(t) = m_ih'_iA_g(t) (A.5а)

де

where

(A.6а)

Ударний момент основи (безпосередньо над дном резервуара):

Impulsive base moment (immediately above the tank bottom):

M_i(t) = m_ih_iA_g(t) (A.5b)

з

with

(A.6b)

На рисунку A.2 показані величини m_i, h′_i і h_i як функції  = H/R. Величина m_i підвищується коли , асимптотично прагне до повної маси, тоді як обидві величини h_i і h′_i мають тенденцію до стабілізації при значеннях, що відповідають висоті в середній точці. Для низьких широких резервуарів h трохи менше висоти в середній точці, тоді як h′_i істотно більше H внаслідок домінуючого внеску в M′_i тисків на дні.

Figure A.2 shows the quantities m_i, h′_i and h_i as functions of  = H/R. m_i increases with , tending asymptotically to the total mass, while both h_i and h′_i tend to stabilize to values around midheight. For squat tanks h is a little less than midheight, while h′_i is significantly larger than H due to the predominant contribution to M′_i of the pressures on the bottom.

A.2.1.3 Конвективна складова тиску

Просторово-часова зміна «конвективної» складової тиску надається виразом:

A.2.1.3 Convective pressure component

The spatial-temporal variation of the «convective» pressure component is given by:

(A.7)

де:

where:

(A.8)

J₁ = функція Бесселя першого порядку,

J₁= Bessel function of the first order,

λ₁ = 1,841, λ₂ = 5.331, λ₃ = 8,536;

 = H/R

 = H/R

m_i /m

h_i /H

Рисунок A.2 - Відношення m_i/m, h_i/H та h^′_i/H як функції гнучкості резервуару
(див. також таблицю A.2, стовпці 4, 6 і 8)

Figure А.2 - m_i/m, h_i/H and h^′_i/H as functions of the tank slenderness (see also Table A.2, columns 4, 6 and 8)

Позначення до Рисунку A.2 (b):

—―———: вище плити основи;

– – – – – –: нижче плити основи

Key to Figure A.2(b):

—―———: above base plate;

– – – – – –: below baseplate

А_cn(t)   = acceleration time-history of the response of a single degree of freedom oscillator having a circular frequency _cn equal to:

(A.9)

і коефіцієнт демпфування, відповідний розплeскуванню рідини (дивись [1] для процедур розрахунку демпфування).

and a damping ratio appropriate for the sloshing of the fluid (see [1] for procedures for the calculation of damping).

Only the first oscillating, or sloshing, mode and frequency of the oscillating liquid
(n = 1).needs to be considered in expression (A 7) for design purposes.

The vertical distribution of the sloshing pressures for the first two modes is shown in Figure A.3a), while Figure A.3b) gives the values of the first two frequencies, as functions of the H/R. In squat tanks the sloshing pressures maintain relatively high values down to the bottom, while in slender tanks the sloshing effect is limited to the vicinity of the surface of the liquid.
The sloshing frequencies become almost independent of  for  larger than about 1.
For such values of , _c1 is approximately equal to:

(R в метрах)

(R in meters)

(A.10)

яка, для звичайних значень R дає період коливання порядку декількох секунд.

which, for the usual values of R yields periods of oscillation of the order of few seconds.

 = 0,5

 = 1,0

 = 3,0

 = H/R

p_c/RA_g()

ζ = r/H

Рисунок A.3 - a) зміна тиску від розплeскування по висоті в перших двох модах і b) значення перших двох частот розплeскування як функції 

Figure A.3 - a) Variation of sloshing pressures along the height in the first two modes and b) values of the first two sloshing frequencies as functions of 

Позначення: 1 — 2-а мода; 2 — 1-а мода

Key: 1 — 2^nd mode; 2 — 1^st mode