p=pU+pL
pL - процент несоответствующих единиц, выходящий за нижний предел поля допуска;
pU - процент несоответствующих единиц, выходящий за верхний предел поля допуска;
Р - функция распределения;
Q - параметр качества, равный zU минус zL;
z - нормированное значение:
zL - значение z для нижнего предела поля допуска:
zU - значение z для верхнего предела поля допуска:
B.1 Нормальное распределение
В.1.1 Статистическая теория, на основе которой рассчитываются риски при контроле по количественному признаку, основана на свойствах нормального распределения, поэтому настоящий стандарт применим только там, где есть основание считать, что распределение измеряемой характеристики нормальное или близкое к нормальному.
В.1.2 Нормальное распределение можно полностью определить через среднее m и стандартное отклонение с генеральной совокупности; если эти два параметра известны, можно рассчитать вероятность, с которой любое измеренное значение х попадет между двумя заданными значениями, а также вероятность, с которой любое измеренное значение выходит за установленные значения для верхнего или нижнего предела (рисунок 5).
Рисунок 5 - Нормальное распределение
В.1.3 Чтобы облегчить сведение в таблицу этих вероятностей, измеренные значения х преобразуют в нормированную величину z:
.
Такой прием приводит все кривые нормального распределения к общему виду (рисунок 6), упрощает уравнение такой кривой и, поскольку общая площадь под кривой равна 1, позволяет построить одну таблицу, которая для данного значения z дает значение Р интегральной функции плотности вероятности нормального распределения (незаштрихованная площадь под кривой).
Рисунок 6 - Стандартное нормальное распределение
В.2 Доля несоответствующих единиц продукции
В.2.1 Доля несоответствующих единиц продукции представляет собой область (или области) под кривой функции распределения, находящуюся за пределом (или пределами) поля допуска.
Примечание - Долю несоответствующих единиц продукции на практике часто выражают в процентах (см. разделы 1-4).
В.2.2 Если распределение х нормальное, среднее m и стандартное отклонение s известны, то долю несоответствующих единиц р относительно заданных пределов характеристики L и(или) U можно определить по таблицам для нормального распределения как рU=1-РU и pL=pL (см. рисунок 7).
Рисунок 7 - Доля несоответствующих единиц продукции для постоянного s=1 и различных значений среднего (m1, m2, m3) по отношению к заданному нижнему пределу поля допуска характеристики качества
В.3 Параметр качества
В.3.1 Преобразовав исходное нормальное распределение к распределению с параметрами m=0, s=1, получим, что доля несоответствующих единиц однозначно определяется величиной
.
В.3.2 Параметр качества для предельного значения поля допуска, полученный подобным образом, может быть использован в приемочном контроле вместо доли несоответствующих единиц продукции. Для верхнего предела поля допуска U параметр качества qU определяется по формуле
,
и для нижнего предела поля допуска L параметр качества qL определяется по формуле
.
В.4 Область приемлемости для односторонних и двусторонних пределов поля допуска
При рассмотрении непрерывной серии партий AQL- это уровень качества, который при выборочном контроле служит границей удовлетворительного среднего уровня качества процесса и выражается в процентах несоответствующих изделий.
При рассмотрении одностороннего или двустороннего допуска можно установить связь AQL с параметром качества q. Так как существует взаимооднозначное соответствие между областью вне пределов поля допуска и параметром качества, можно ввести контрольный норматив K как нижнюю границу параметра качества q - приемлемости процесса при приемочном контроле, то есть процесс приемлем, если q³K.
Таким образом задается:
- альтернативный показатель AQL;
- значение константы K.
Для заданного множества значений пределов поля допуска pL или pU, зависящих от m и s на плоскости в координатах (m, s) должна быть область, где pL (или рU) меньше или равно AQL, которая является зоной приемлемости процессов. И наоборот, должна быть другая область, где pL (или pU) больше AQL, которая является зоной неприемлемости. Эти области можно разделить одной прямой линией.
Для нижнего одностороннего предела допуска график AQL в координатах (m, s) задается зависимостью
или
.
Для всех точек плоскости выше этой прямой средний процент несоответствующих единиц продукции меньше или равен AQL и, следовательно, процесс приемлем. Для точек ниже этой прямой он больше AQL и, следовательно, процесс неприемлем (рисунок 8).
Для верхнего одностороннего предела поля допуска могут быть получены аналогичные соотношения:
или
Для точек, расположенных под этой линией, средний процент несоответствующих единиц процесса меньше AQL и, следовательно, процесс приемлем, над этой линией - неприемлем (рисунок 9).
Рисунок 8 - Приемочная карта для нижнего предела поля допуска (s и m известны)
Рисунок 9 - Приемочная карта для верхнего предела поля допуска (s и m известны)
Двустороннему допуску соответствует рисунок 10.
Рисунок 10 - Приемочная карта для двустороннего допуска (s и m известны)
В.5 Область приемлемости для предельных значений с общим уровнем качества
В.5.1 Пределы двустороннего допуска с общим AQL
Если заданы верхнее и нижнее предельные значения с общим уровнем качества, допуск называется двусторонним допуском с общим уровнем качества. Задание общего уровня качества не позволяет отдельно получить доли несоответствующих единиц продукции рU и pL для верхнего и нижнего пределов поля допуска. Вместо этого устанавливают их сумму р, которая не должна быть превышена.
Иначе не существует способа получить график зависимости одного параметра, такого как K, соответствующего AQL. Вместо этого для нахождения пары значений (m, s), для которой доля несоответствующих единиц равна AQL, следует использовать математическое соотношение между величинами m и s и общей долей несоответствующих единиц процесса.
Для данного значения s не только рU и pL зависят от m, но и их сумма рU+pL=p также зависит от значения m относительно U и L (рисунок 11). Значение p достигает минимума, когда m находится посередине между U и L, и возрастает, когда m отклоняется от середины.
Площадь под кривой, находящаяся за пределами поля допуска для данной функции распределения при фиксированном значении m определяется величиной s (рисунок 12).
Рисунок 11 - Влияние изменения m на долю несоответствующих единиц процесса (при постоянном значении s)
Рисунок 12 - Влияние изменения s (при постоянном m) на долю несоответствия процесса
В.5.2 Максимальное стандартное отклонение процесса (MPSD)
Наибольшее значение s, которое возможно при данном AQL и m, расположенном посередине между U и L, можно рассматривать как максимальное стандартное отклонение процесса (MPSD) при нормальном контроле. Если s процесса больше значения этой величины, то доля несоответствующих единиц продукции в этом процессе больше AQL. Но обратное утверждение не всегда верно.
При усиленном или ослабленном контроле MPSD - это максимальное стандартное отклонение процесса, при котором может быть обеспечен AQL на уровень ниже или выше соответственно.
По усмотрению уполномоченной стороны величина fs для усиленного контроля может быть использована для нормального или ослабленного контроля. При этой альтернативной процедуре выбор между s- и s-методам и не связан с правилами переключения.
В.5.3 Кривая приемки
Если даны предельные значения с общим уровнем качества, можно рассчитать ряд значений m и s, дающих значения рU и pL, в сумме равные AQL. Можно нанести эти значения на плоскость в координатах (m, s) и через эти точки провести кривую (рисунок 13). Эта кривая располагается внутри треугольника, соответствующего пределам двустороннего допуска, имеющего свои AQL (рисунок 10). Вблизи U и L эта кривая не отличима от прямой с наклоном минус K и плюс K соответственно, а затем она плавно изгибается, проходя через точку s=MPSD и m=(U+L)/2 (рисунок 13).
Рисунок 13 - Кривая приемки для р=AQL=10 % для предельных значений с общим уровнем качества в координатах (m, s)
В.6 Выборочный контроль
На практике значение m неизвестно, и его предстоит оценить на основании выборки; обычно также нужно оценить значение s.
Наилучшую оценку m дает среднее выборки . В зависимости от обстоятельств s либо принимается известным, либо оценивается по выборке одним из двух методов. Эти два подхода к определению s приводят к s-методу, s-методу (и R-методу, приведенному в приложении С) для оценки партии.
Используя оценки значений m и s, получают оценку параметра качества q. Она известна как статистика качества Q.
Можно рассчитать значение контрольного норматива K, которое для данного объема выборки и метода оценки стандартного отклонения процесса дает гарантию, что с заданной вероятностью партия приемлема, если статистика качества Q больше или равна K.
В.7 s-метод
В.7.1 Получение контрольного норматива
В определенных условиях, то есть когда процесс протекает в течение некоторого времени и с применением статистического контроля качества, s принимают известным и постоянным.
Значения средних последовательных партий не считают постоянными или известными, поэтому каждое значение следует оценить через среднее случайной выборки единиц продукции, взятой от партии.
Среднее выборки необязательно равно среднему генеральной совокупности m, но статистика распределена нормально со средним m=0 и стандартным отклонением, равным 1, так что можно показать, что для данной вероятности разность среднего выборки и среднего партии не превышает определенного значения величины.
Например, для вероятности 95 % это будет ±1,96.
Формулу для верхней статистики качества QU=(U-)/s можно записать в другом виде:
.
Первый член в правой части - постоянный, а второй - нормированное отклонение среднего. Поэтому (как и QL) также имеет нормальное распределение со стандартным отклонением, равным 1. Следовательно, можно так рассчитать k, чтобы для данных объема выборки и AQL статистический показатель качества для выборки был с заданной вероятностью больше или равен k, если партия приемлема.
В.7.2 Критерии приемлемости для одностороннего или двустороннего допуска
Для значения контрольного норматива k, рассчитанного по В.7.1 и приведенного для нормального, усиленного и ослабленного контроля в таблицах IIIA, IIIB и IIIC соответственно, критерий приемлемости для одностороннего допуска приобретает вид:
для верхнего предела поля допуска
партия принимается, если ;
для нижнего предела поля допуска
партия принимается, если
в других случаях партия не принимается.
Если задан двусторонний допуск, то критерий приемлемости имеет вид:
партия принимается, если kU³ kU и QL³kL;
партия не принимается, если QU<kU или QL>kL.
Так как значение s известно, на практике удобнее преобразовать критерии приемлемости, придав им следующий вид: £U-ks - для верхнего предела и ³L+ks - для нижнего предела, так как правую часть этих критериев можно определить заранее.
В.7.3 Критерии приемлемости для пределов двустороннего допуска с общим AQL
Если даны пределы двустороннего допуска с общим AQL, то для того, чтобы принять решение о приемлемости партии, точку с координатами
можно нанести на соответствующую диаграмму (см. раздел 4 настоящего стандарта, диаграммы, начиная с s-С до s-Р), в соответствии с В.5.3. Так как s известна, эта точка будет лежать на вертикали, соответствующей этому значению s. Поэтому на практике достаточно получить и - приемлемые верхний и нижний пределы приемки (рисунок 14).
Рисунок 14 - Приемочная карта для предельных значений с общим уровнем качества
Критерии приемлемости приобретают вид:
партия принимается, если £ и ³;
партия не принимается, если > или <.
В.8 s-метод
В.8.1 Получение контрольного норматива
Когда и среднее, и стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестны, их оценивают по выборке, взятой из этой совокупности. В s-методе вместо m и s генеральной совокупности берут среднее и стандартное отклонение s, полученное из выборки по формуле
.
Таким образом,
или .
По сравнению с s-методом это увеличивает вероятность ошибки, так как установлено, что при подстановке s вместо s в выражение (В.7.1) величина , которую можно записать в виде
,
уже не имеет нормального распределения, а имеет t-распределение с (n-1) степенями свободы. Например, если n=10, то с вероятностью 95 % разность среднего выборки и среднего партии не превысит значения, равного ±2,26, по сравнению с ±l,96, приведенным в В.7.1.
