---

Если, по меньшей мере, одно из четырех значений л₁₅ л₂, (х₁ + х₂), (гц + п₂— х₁ —х₂) меньше или равно (л₁ + л₂)/4, применяют биномиальную аппроксимацию, приведенную в I настоящей формы, в противном случае применяют нормальную аппроксимацию, приведенную в II настоящей формы. Однако, даже если вышеупомяну­тое условие выполнено, можно применять нормальную аппроксимацию, если выполнены два следующих усло­вия:

• при применении биномиальной аппроксимации в таблице 4 F-распределения необходимо использовать интерполяцию;

• л₁ и л₂ или (х₁ + х₂) и (л₁ + л₂ — х₁ — х₂) попарно являются величинами одного порядка.

Решение:

Должна применяться биномиальная аппроксимация (продолжить с І) ІХІ

Должна применяться нормальная аппроксимация (продолжить с II) I I

Вычисление статистики и определение значений по таблице 4

1. Случай гц < + К₂

_F (щ-/<і)(/<і+2К2)

² (К! + 1)(щ + 2г|₂ - Ку - 2К₂ + 1)

Число степеней свободы F-распределения:

= 2(^ + 1) =
/2 = 2(111-^) =

По таблице 4 для q = (1 — а), и f₂ (при необходимости применяют интерполяцию) определяют:

^1 - aV 1 ’ '2) ⁼

2. Случай г|-| > + К₂ ІАІ

Я

(Ку + 1)(2_П2 - К₂ + 1)

, = ^/<2Ї1Ді *1) = 0,9824561.

Число степеней свободы F-распределения:

fy=2(Ky + 1) = 6; f₂= 2К₂ = 4.

По таблице 4 для q - (1— а), и f₂ (при необходимости применяют интерполяцию) определяют:

F| (^ , f₂) = 6,16.

Заключение в нетривиальном случае для биномиальной аппроксимации:

Гипотезу отклоняют, если F₂> F₁ _ _a(f^ , f₂), в противном случае гипотезу Н_о не отклоняют.

II Нормальная аппроксимация

Вычисление статистики и определение значений по таблице 3: _zПу(Ху+Х₂) — (Ху+М2)(Пу+П₂)

²УІ ПуП₂(Ху + Х₂)(Пу + п₂— Ху — х₂)/(пу + П₂)

По таблице 3 для q = (1 — а) определяют и._ = I '-Д-

Заключение в нетривиальном случае для нормальной аппроксимации:

Гипотезу H_Q отклоняют, если z₂ > U| _ , в противном случае гипотезу H_Q не отклоняют.

Результат проверки гипотез:

Гипотеза Hq отклонена □

Гипотеза Hq не отклонена И

В.3.2 Пример 2 — Форма С-3. Сравнение двух пропорций для двустороннего критерия Н$: р^=Р2

Характеристика:

1. наличие видеомагнитофонов марки А в квартирах;

2. наличие видеомагнитофонов марки В в квартирах.

Процедура определения: Интервью.

Элементы: Жилые дома одной определенной области.

Критерий для идентификации целевых элементов:

1. наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона марки А;

2. наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона марки В.

Примечания: Нет.

Выбранный уровень значимости а = 0,01.

Объем выборки 1: л₁ = 95.

Объем выборки 2: п₂ = 95.

Число целевых элементов в выборке 1: х₁ = 41.

Число целевых элементов в выборке 2: х₂ = 21.

Проверка гипотез для тривиального случая

x-і _ х₂

Л-, л₂

Равенство является истинным I I

Равенство не является истинным

Если равенство является ИСТИННЫМ, нулевую гипотезу Нц не отклоняют и результат проверки гипотез может быть объявлен немедленно. В противном случае проводят следующую процедуру, которая может привести к от­клонению ИЛИ К НЄОТКЛОНЄНИЮ Hq.

Процедура проверки гипотез для нетривиальных случаев

Если, по меньшей мере, одно из четырех значений л_1? л₂, (х₁ + х₂), + л₂ — х₁ —х₂) меньше или равно

(л₁ + л₂)/4, применяют биномиальную аппроксимацию, приведенную в I настоящей формы, в противном случае применяют нормальную аппроксимацию, приведенную в II настоящей формы. Однако, даже если вышеупомяну­тое условие выполнено, можно применять нормальную аппроксимацию, если выполнены два следующих усло­вия:

• при применении биномиальной аппроксимации в таблице 4 F-распределения необходимо использовать интерполяцию;

• л₁ и п₂ или (х₁ + х₂) и (л₁ + л₂ — х₁ — х₂) попарно являются величинами одного порядка.

Решение:

Должна применяться биномиальная аппроксимация (I) | |

Должна применяться нормальная аппроксимация (II) БЗ

I Биномиальная аппроксимация

Определение переменных/Ср К₂, ГЩ Г|₂

Если [л₂ < л₁ и л₂ < (х₁ + Х₂)] или [(л₁ + л₂ — х₁ — х₂) < л₁ и (л₁ + л₂ — х₁ — х₂) < (х₇ + Х₂)], определяют сле­дующим образом:

Пі ^=п2 ⁼

П2 = ^П1 =

К₁ = л₂ — х₂ =

К₂ = л₁ — х₁ =

В противном случае:

Щ = Пі =

П2 = ^п2 ⁼

= х₁ =

К₂ = х₂ =

Вычисление статистики и определение значений по таблице 4

1. Случай < К^ + К₂ I—I

п - ^К1 ^к2 П

1. Случаи — > — | |

П1 П2

Значения F_r и f₂ определяют по 8.3.2 (форма С-2)

_F_ Кд (Г|1 + 2г[2 — Ki — 2К₂) _
¹(_П1- Кд + 1)^ + 2К₂ + 1)

Число степеней свободы F-распределения:

Г₁=2(_П1-К₁ + 1) =

f₂= 2Кд =

По таблице 4 для q - (1 — а/2), /, и f₂ (при необходимости применяют интерполяцию) определяют:

^1 - a/2v 1 ’ '2) ⁼

2. Случай — < — О

П1 П2

Значения F₂, fy и f₂ определяют по 8.3.1 (форма С-1).

_F (пі - Кт )(Кт + 2К₂)

²(Кд + 1)(щ + 2г|₂ - Кд - 2К₂ + 1)

Число степеней свободы F-распределения

f₁₌2(K_{l +} 1) =

f₂= 2(^-KJ =

По таблице 4 для q = (1 — а/2), и f₂ (при необходимости применяют интерполяцию) определяют:

^1 - a/2Vl ’ '2) “

2. Случай vft> К^ + К₂| |

п - ^К1 ^к2 П

1. Случаи —- > — | |

П1 П2

Значения F_r и f₂ определяют по 8.3.2 (форма С-2)

_F Кі(2_П2-К₂)
¹ (К₂ + 1)(2_П1 - Кд + 1)

Число степеней свободы F-распределения:

=2(К₂ + 1) =

f₂= 2К₂=

По таблице 4 для q = (1 — a 12), и f₂ (при необходимости применяют интерполяцию) определяют:

^1 - a/2vi ’ ty ~

2. Случай — < — Г“|

П1 П2

Значения F₂, и f₂ определяют по 8.3.1 (форма С-1)

_FК₂(2^-К_})

²(Кд + 1)(2Т]₂ - К₂ + 1)

Число степеней свободы F-распределения:

=2(К₂ + 1) = f₂= 2К₂=

По таблице 4 для q = (1 — a/2), и f₂ (при необходимости применяют интерполяцию) определяют:

- a/2v 1 ’ У ⁼

З

Щ П2

аключение в нетривиальном случае для биномиальной аппроксимации: Гипотезу Нц отклоняют, если:

F₁ > F₁ _ _а/2, f₂) в случае

и

*2

П2

ли

2 — ^F1 - а/2 (^f1 ’ ^f2> ^В Случае —¹

П1

в противном случае гипотезу Н_о не отклоняют.

II Нормальная аппроксимация

Вычисление статистики и определение значений по таблице 3

- ²⁶1 ^х2

а) Случаи — > —

П₂

Значение z₁ определяют по 8.3.2 (форма С-2)

(х₁ — 1/2)^ + л₂) —п₁(х₁ + х₂) _₂₉₁

^nin₂(xi + х₂){п^ + п₂— x-і — Хг)/(^п1 + ^п2)

По таблице 3 для q = (1 — а/2) определяют

^и1 - а/2 " 2>576.

Л1

Ь) Случай

Значение z₂ определяют по 8.3.1 (форма С-1).

п₁(х₁+ х₂)— (х₁+ 1/2)(п₁+ п₂)

УІ ЩП₂(х^ + Х₂)(^п1 ^{+ п}2 — ^Х1 — ^х2 ) 7(^п1 ^{+ п}г)

По таблице 3 для q = (1 — а/2) определяют

Заключение в нетривиальном случае для нормальной аппроксимации Гипотезу Нц отклоняют, если:

или

^х2

Л₂

^Z1 > Щ _ _а/2 в случае

^z2 “і - а/2 ^В случае

В противном случае гипотезу Н_о не отклоняют.

Приложение С
(справочное)

Сведения о соответствии межгосударственных стандартов ссылочным
международным стандартам

Приложение D
(справочное)

Библиография

[1 WALTERS, D.E., In defense of the arc sine approximation. The Statistical. 28, 1979, pp. 219—222

[2] HASEMAN, J.K., Exact sample sizes for use with the Fisher-Irwin test for 2 x 2 tables. Biometrics, 34 (1978), pp. 106—109

УДК 658.562.012.7:65.012.122:006.354

ОКС 03.120.30

Т59

Ключевые слова: статистика, статистический анализ, статистическая проверка гипотез, критерий про­верки гипотез, статистический доверительный интервал, доверительные границы

Редактор Т.А. Леонова
Технический редактор Н.С. Гоишанова
Корректор М.В. Бучная
Компьютерная верстка Л.А. Круговой

Сдано в набор 08.08.2006. Подписано в печать 27.09.2006. Формат 60x84 14. Бумага офсетная. Гарнитура Ариал.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 5,58. Уч.-изд. л. 4,90. Тираж 400 экз. Зак. 676. С 3308.

ФГУП «Стандартинформ», 123995 Москва, Гранатный пер., 4.
www.gostinfo.ru [email protected]

Набрано во ФГУП «Стандартинформ» на ПЭВМ.
Отпечатано в филиале ФГУП «Стандартинформ» — тип. «Московский печатник», 105062 Москва, Лялин пер., 6.

1Определение границы доверительного интервала

а) Процедура для п < 30 |_

2 Случай х = 0 О

Pl, о ^{= 0}

3 Случай х > 0 Г"|

По таблице 2 для известных значений п,Х = п — х и g = (1 — а) определяют:

T-I _ _а (л, л — х) =

Р/,0 = ¹—^Г1-а (п, л —Х) =

Ь) Процедура для л > 30 О

1) Случай х = 0 □

Pi, о ^{= 0}

2) Случай х = л О

Р/,о = ^{а1/п =}

4 Случай 0 < х < п □

По таблице 3 для q = 1 — а определяют _ _а =

Значение с/, соответствующее вы бранному уровню доверия, определяютпо следующей таблице.

5Гипотезу H_Q отклоняют, если х < С/ ₀; в противном случае гипотезу не отклоняют.

II Критические значения неизвестны О

а) Случай х>р_оп 1-І

Гипотезу Н_о не отклоняют

Ь) Случай х < р₀п О

6 Процедура для п < 30 □

По 8.1.1 (форма А-1) определяют одностороннюю верхнюю доверительную границу для л, х и уровня доверия (1 — а)

Ри,0 =

Гипотезу Н_о отклоняют, если р_и0 < р₀, в противном случае гипотезу не отклоняют.

7 Процедура для л > 30 О

- Случай х = 0 1-І

Ри, о = 1 - = [см. 8.1.1 в) 1)].

Гипотезу Н_о ОТКЛОНЯЮТ, если р_иQ < р₀, в противном случае гипотезу не отклоняют.

- Случай 0 < х < л Ц

По таблице 3 для q = (1 — а) определяют іь _ = I хЛ¹

U1 = 2Ы(л —х)р₀ — 7 (х +1)(1 — р₀) =

Гипотезу н_о ОТКЛОНЯЮТ, если U-I > л₁ в противном случае гипотезу не отклоняют.

8 Критические значения известны (см. 7.2.1)

^Си, 0 ⁼

9Гипотезу Hq ОТКЛОНЯЮТ, если X > С_иQ, в противном случае гипотезу не отклоняют.

10Критическое значение (или одно из критических значений) может не существовать для некоторых значе­ний р₀ и/или для очень маленьких объемов выборок п.

11> х* — вспомогательная величина для нахождения х_ста

Определение критических значений

С/ _f— наименьшее неотрицательное целое число х, а С_иt— наибольшее целое число х, для которого проверка гипотез поформе В-3 (II) не ведет к отклонению Hq. Значения С; _t и С_иt определяют методом итераций путем повторного применения формы В-3 (I I) с различными значениями х до тех пор, пока не будут определены такие две пары значений, у которых значения в каждой паре отличаются друг от друга на 1, и при этом одно из значений приводит к отклонению нулевой гипотезы Hq, а другое значе­ние приводит к неоткпонению нулевой гипотезы Hq¹'). Начальное значение х_старт может быть получено следующим образом.

Процедура проверки гипотез для нетривиальных случаев

Если, по крайней мере, одно из четырех значений л₁,л₂,(х₁ + х₂), (л₁ + п₂— х₁ —х₂) меньше или равно (л₁ + л₂)/4, то применяют биномиальную аппроксимацию, приведенную в I настоящей формы; в противном случае применяют нормальную аппроксимацию, приведенную в 11 настоящей формы. Одна­ко даже если вышеупомянутое условие выполнено, можно применять нормальную аппроксимацию, если выполнены два следующих условия:

- при применении биномиальной аппроксимации в таблице 4 F-распределения необходимо использовать интерполяцию;