Приклад зміщення з розрідженими даними
Наведено приклад дослідження різних схем з’єднань для простих мір. Міру, 4-точковий зонд для вимірювання питомого опору кремнієвих пластин, які можна з’єднати кількома способами. Оскільки було неможливо випробувати всі конфігурації схеми з’єднання під час дослідження міри, вимірювання проводили лише з двома конфігураціями, для того щоб ідентифікувати можливі проблеми.
Вимірювання проводили на п’яти пластинах протягом шести днів (окрім дня 2 на пластині 39), із зондом № 2062, з’єднаним у двох конфігураціях. Різниці між результатами вимірювання в двох конфігураціях в один і той самий день розглядають як поправки та наводять у таблиці 6.
Таблиця 6 — Різниці між конфігураціями схем з'єднання для зонда № 2062
|
Пластина |
Ідентифікаційний номер пластини |
День |
Різниця |
|
17 |
1 |
1 |
- 0,0108 |
|
2 |
- 0,0111 |
||
|
3 |
- 0,0062 |
||
|
4 |
0,0020 |
||
|
5 |
0,0018 |
||
|
6 |
0,0002 |
||
|
39 |
2 |
1 |
-0,0089 |
|
3 |
- 0,0040 |
||
|
4 |
-0,0022 |
||
|
5 |
- 0,0012 |
||
|
6 |
-0,0034 |
||
|
63 |
3 |
1 |
-0,0016 |
|
2 |
-0,0111 |
||
|
3 |
- 0,0059 |
||
|
4 |
-0,0078 |
||
|
5 |
- 0,0007 |
||
|
6 |
0,0006 |
||
|
103 |
4 |
1 |
- 0,0050 |
|
2 |
- 0,0140 |
||
|
3 |
- 0,0048 |
Кінець таблиці 6
|
Пластина |
Ідентифікаційний номер пластини |
День |
Різниця |
|
103 |
4 |
4 |
0,0018 |
|
5 |
0,0016 |
||
|
6 |
0,0044 |
||
|
125 |
5 |
1 |
-0,0056 |
|
2 |
- 0,0155 |
||
|
3 |
- 0,0010 |
||
|
4 |
- 0,0014 |
||
|
5 |
0,0003 |
||
|
6 |
-0,0017 |
Графік різниць для двох конфігурацій наведено на рисунку 4. З цього рисунка видно, що різниці, головним чином, від’ємні. Максимальна й мінімальна різниці дорівнюють 0,0044 та мінус 0,0155. Зміщення, обумовлене конфігураціями, оцінюють середнім значенням різниць чи поправок, тобто:
29
6 = ^1—= -0,00383.
29
Оскільки загальна кількість різниць становить 29, то невизначеність зміщення на основі вибіркового стандартного відхилення дорівнює:
= 0,00096 Ом ■ см.
Для 29 поправок (ф ) обчислена t — статистика = - 4,0133. Гіпотезу про те, що розподіл ймовірності поправок має нульове середнє значення, відкидають.
0,01
-0,02 -і J і L і і І L J І І І !
0 5 10 15 20 25 ЗО X
Y
Пояснення:
X — час, дні;
У — різниці питомих опорів між двома конфігураціями схем з'єднання, Ом ■ см;
1 5 — ідентифікаційні номери пластин (див. таблицю 6).
Рисунок 4 — Різниці між двома конфігураціями схем з'єднання
Цикл для вимірювань, проведених із зондом № 2062 на п’яти пластинах для шести днів.
6 ОЦІНЮВАННЯ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ ЗА ТИПОМ В
Оцінювання невизначеності за типом В можна застосовувати як до випадкових, так і до систематичних складових. Особливістю є те, що обчислення складової невизначеності не ґрунтується на статистичному аналізі дані#.
Кілька прикладів джерел невизначеності, що ведуть до оцінювання за типом В:
вихідні еталони, відкалібровані іншою лабораторією;
фізичні сталі, що використовують під час обчислювання значення, яке описують;
впливи навколишнього середовища, вибірку яких провести не можна;
можливе неточне суміщення у конфігурації/геометрії ЗВТ;
брак роздільної здатності ЗВТ.
Задокументовані джерела невизначеності, наприклад, у звітах про калібрування вихідних еталонів або опубліковані звіти про невизначеності для фізичних сталих, не викликають ніяких труднощів для аналізування. Невизначеність зазвичай визначають як розширену невизначеність, U, що перетворюється у стандартну невизначеність за формулою:
Якщо коефіцієнт к не є відомим чи задокументованим, то ймовірно припустити, що к = 2. Джерела невизначеності, що є локальними для процесу вимірювання та адекватну вибірку яких для статистичного аналізу зробити не можна, потребують оцінювання за типом В. Широко використовуваним методом є оцінювання найбільш несприятливої складової за:
досвідом;
науковим судженням;
розрідженими даними.
Для ситуації, що розглядають, оцінене зміщення чи поправку можна вважати випадковим значенням із заданого статистичного розподілу. Стандартною невизначеністю тоді вважають стандартне відхилення від цього розподілу. Серед можливих статистичних розподілів розглядають лише два.
Рівномірний розподіл
За наявності кінцевих точок, ± а, усі значення між мінус а та а, є рівноможливими:
Відповідні ступені свободи можна вважати нескінченними, якщо а має добре кількісне визначення. Інакше, ступені свободи має бути вибрано так, щоб відображати точність, з якою відоме а. Див. GUM, G.4.2.
Трикутний розподіл
Трикутний розподіл дає меншу стандартну невизначеність, ніж рівномірний розподіл, із тими самими кінцевими точками:
„=-4=а.
Зазвичай, ступені свободи вважають нескінченними.
7 ВПРОВАДЖЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ
Загальні положення
Підхід щодо оцінювання невизначеності, якого досі дотримувалися, був підходом, що називається низхідним. Складові невизначеності оцінюють на основі безпосередніх повторень вимірювання. Щоб протиставити цей підхід із використанням закону розподілу невизначеності, розглянемо простий приклад, в якому площу прямокутника оцінюють із повторних парних вимірювань довжини, L, та ширини, W. Площу Д:
А = L-W
можна обчислити з кожного повторення. Стандартне відхилення визначеної площі оцінюють безпосередньо з повторень площі.
Цей підхід має такі переваги:
належне оброблення коваріацій між вимірюваннями довжини та ширини;
належне оброблення неочікуваних джерел невизначеності, що виникли б, якщо б вимірювання охоплювали діапазон робочих умов і досить довгий період часу.
Іноді вимірювання неможливо безпосередньо повторити так, щоб відобразити всі складові, що впливають на нього. Можна приділити увагу використанню закону розподілу невизначеності (GUM). Підхід у цьому випадку має обчислити:
результат вимірювання як добуток середнього значення з результатів вимірювання довжини та середнього значення з результатів вимірювання ширини;
стандартну невизначеність, пов’язану з «довжиною» L
стандартну невизначеність, пов’язану з «шириною» IV;
і об’єднати дві стандартні невизначеності в одну стандартну невизначеність, пов’язану з результатом вимірювання, за допомогою апроксимації для добутку двох змінних. Наведена нижче формула є доцільною, якщо між вимірюваннями довжини та ширини немає коваріації.
Sa^W1-S2l+L2-S2w.
В ідеальному випадку це значення значно не відрізнятиметься від значення, отриманого безпосередньо від вимірювання площі. Проте за деяких обставин вони можуть значно відрізнятися через:
неочікувані коваріації;
завади, що впливають на визначене значення вимірюваної величини;
похибки заокруглення результатів.
Загалом, закон розподілу невизначеності застосований до моделі:
Y = f(X, Z,...),
що є функцією однієї чи більше змінних із вимірюваннями X, дає таке значення для стандартного відхилення, пов’язаного з Y:
b) 3 практичної точки зору, елементи коваріації слід включати до обчислення, лише якщо їх оцінювали з достатніх даних, або якщо для їх визначення доступна інша інформація.
Загалом, визначені значення об’єктів випробування з експериментів калібрування мають не- нульові коваріації, що слід враховувати, якщо У є підсумовуванням, наприклад, масою двох ваг або довжиною двох мір, з'єднаних впритул тощо.
Формули для функцій однієї змінної
Стандартні відхилення опублікованих значень, що є функціями однієї змінної, наведено з [6] у таблиці 7, Визначене значення У є функцією від середнього значення з N вимірювань однієї змінної.
Формули для функцій двох змінних
Стандартні відхилення опублікованих значень, що є функціями двох змінних, наведено з [6] у таблиці 8. Визначене значення У є функцією від середніх значень з N вимірювань двох змінних. Множники стандартних відхилень називають «коефіцієнтами чутливості».
Таблиця 7 — Стандартні відхилення для функцій однієї змінної
|
Функція Y від X |
Апроксимація першого порядку стандартного відхилення У |
Примітки |
|
X — середнє значення N незалежних вимірювань |
Зх = стандартне відхилення X |
|
|
Y = Х |
1 s 4n х |
|
|
II |
$х Jn(i+x)2 |
|
|
У = (хґ |
XS ■JN х |
|
|
У = |
$х 2-^NX |
|
|
У = /л(х) |
Sx_ ■Jnx |
|
|
Y = ex |
Є* /Т7 y/N |
Апроксимація може бути незадовільною, якщо N невелике |
|
X |
Y |
Припустимо, що X нормально розподілене. Див. [7] |
Таблиця 8 — Стандартні відхилення для функцій двох змінних
|
Функція У від X, Z |
Стандартне відхилення У |
|
X і Z — середні значення з N вимірювань |
Sx = стандартне відхилення X Sz= стандартне відхилення Z $xZ = коваріація X, Z |
|
У = AX + BZ |
-^A2S2x+B2S2z+2ABS2xz |
Кінець таблиці 8
|
Функція Y від X, Z |
Стандартне відхилення Y |
|
І II Nl| X! |
X И+^І Ул/гї/х2z2xz |
|
Y = =2L= X + Z |
-^^Z2S2+X2S|-2XZS2zJnx |
|
Y = X-Z |
CN + сч nj|oj <Z) I IN LsojJX |
|
Y = (X )a(Z)b |
/ I c2 q2 q2 д^+ЬЩ +2аЬХ& Vni) x2z2xz |
|
а) Елемент коваріації має бути включено, лише якщо існує достовірна оцінка. |
|
8 ПРИКЛАД ОЦІНЮВАННЯ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ ЗА ТИПОМ А, У РАЗІ ВИКОРИСТАННЯ ЗВТ
Мета й передумови
Мета цього прикладу — проілюструвати процес оцінювання невизначеності для вимірювання з кількома джерелами невизначеності. У цьому прикладі проводять вимірювання питомого опору (Ом • см) кремнієвих пластин. Мета полягає в обчисленні невизначеності, пов’язаної з вимірюваннями питомого опору приблизно 100 кремнієвих пластин, що були сертифіковані 4-точковим зондом, з’єднаним у певній конфігурації, конфігурації А, відповідно до методу ASTM F84, що рекомендують для цього вимірювання. Опублікованим значенням для кожної пластини є середнє з шести короткотривалих повторень, проведених у центрі пластини. Вимірювання проводили в Національному інституті стандартів і технологій (NIST) із зондом № 2362, що є одним з п’яти зондів NIST, що допускають вимірювання.
Оцінювання невизначеності враховує такі джерела невизначеності, що залежать від часу:
короткотривалі складові від вимірювання у центрі пластини;
щоденні складові;
складові від циклу до циклу;
і такі можливі джерела зміщення:
зміщення, обумовлене зондом № 2362;
зміщення, обумовлене конфігурацією схеми з’єднання А.
Збирання даних і контрольні еталони
Сертифікаційні вимірювання самі по собі не є основним джерелом для оцінювання складових невизначеності, що залежать від часу, оскільки вони не надають інформацію про щоденні та довготривалі складові. Три джерела невизначеності, що залежать від часу, оцінюють за допомогою трирівневого ієрархічного експерименту:
