ДОДАТОК А

(довідковий)

Вірогідність, що стосується початкової сейсмічної дії. Рекомендації по вибору розрахункової сейсмічної дії на стадії будівництва

А.1 Початкова сейсмічна дія

(1) Початкову сейсмічну дію можна визначити за допомогою вибору прийнятно низької вірогідності (р) його перевищення протягом розрахункового строку служби (t_L) конструкції. В цьому випадку період повторення події (Т_R) виводиться з виразу:

ANNEX A

(informative)

PROBABILITIES RELATED TO THE REFERENCE SEISMIC ACTION.

GUIDANCE FOR THE SELECTION OF DESIGN SEISMIC ACTION DURING THE CONSTRUCTION PHASE

A.1 Reference seismic action

(1) The reference seismic action can be defined by selecting an acceptably low probability (p) of it being exceeded within the design life (t_L) of the structure. Then the return period of the event (Т_R) is given by the expression:

Tr = 1/(1 - (1 - p)^1/tL

(А.1)

(2) Початкова сейсмічна дія (відповідне γ_i = 1,0) звичайно відображає сейсмічну подію з початковим періодом повторення, T_ncr, рівним 475 годам. Вірогідність перевищення такої події знаходиться в діапазоні від 0,10 до 0,19 для розрахункового терміну служби від 50 до 100 років, відповідно. Такий підхід до проектування може застосовуватися до більшості мостів середнього класу важливості.

А.2 Розрахункова сейсмічна дія для стадії будівництва

(1) Якщо допустити, що t_c - це тривалість фази будівництва моста, а р - прийнятна вірогідність перевищення розрахункової сейсмічної події на протязі даної фази, період повторення T_Rcможна вивести за допомогою виразу (А.1), используя t_c замість t_L.. Для відносно малих значень, що зазвичай асоціюються з t_c (t₀< 5 років), вираз (А.1) можна апроксимувати за допомогою наступного, найбільш простого виразу:

(2) The reference seismic action (corresponding to γ_i = 1,0) usually reflects a seismic event with a reference return period, T_ncr, of 475 years. Such an event has a probability of exceedance between 0,10 and 0,19 for a design life ranging between 50 and 100 years respectively. This level of design action is applicable to the majority of the bridges considered to be of average importance.

A.2 Design seismic action for the construction phase

(1) Assuming that t_c is the duration of the construction phase of a bridge andp is the acceptable probability of exceedance of the design seismic event during this phase, the return period T_Rc is given by expression (A.1), using t_c instead of t_L. For the relatively small values usually associated with t_c (t_c < 5 years), expression (A.1) may be approximated by the following simpler relationship:

(А.2)

Рекомендується, щоб значення р не перевищувало 0,05.

(2) Значення розрахункового прискорення грунту a_gc, відповідне периоду повторения T_ncr, залежить від сейсмічності району. У багатьох випадках наступне відношення пропонує прийнятну апроксимацію:

It is recommended that the value of p does not exceed 0,05.

(2) The value of the design ground acceleration a_gc corresponding to a return period T_ncr, depends on the seismicity of the region. In many cases the following relationship offers an acceptable approximation

(А.3)

де:

a_g;R контрольне максимальне прискорення грунту, відповідне початковому періоду повторення T_ncr.

Значення показника ступеня k залежить від сейсмічності району. Як правило, використовуються значення в діапазоні 0,30 - 0,40.

(3) На стадії будівництва необхідно забезпечити надійність всіх окремих конструкцій мосту незалежно від розрахункової сейсмічної дії.

where:

a_g;R is the reference peak ground acceleration corresponding to the reference return period T_ncr.

The value of the exponent k depends on the seismicity of the region. Normally, values in the range of 0,30 - 0,40 may be used.

(3) The robustness of all partial bridge structures should be ensured during the construction phases independently of the design seismic actions.

ДОДАТОК В

(довідковий)

Взаємозв'язок між податливістю до переміщення і податливістю до згину пластичних шарнірів в залізобетонних опорах

(1) Якщо допустити, що

• горизонтальне переміщення в центрі маси пролітної будови викликається тільки деформацією повністю нерухомої консольної опори завдовжки L,

• маса опори є набагато меншою в порівнянні з масою пролітної будови

• L_p представляє довжину пластичного шарніра, що формується в основі опори

- необхідний коефіцієнт згинальної податливості µ_ф шарніра, відповідний коефіцієнту пластичності конструкції µ_d, згідно 2.3.5.2, рівний:

ANNEX B

(informative)

RELATIONSHIP BETWEEN DISPLACEMENT DUCTILITY AND CURVATURE DUCTILITY FACTORS OF PLASTIC HINGES IN

CONCRETE PIERS

(1) Assuming that:

- the horizontal displacement at the centre of mass of the deck is due only to the deformation of a fully fixed cantilever pier of length L, that

- the mass of the pier is negligible compared to that of the deck, and that

- L_p is the length of the plastic hinge developing at the base of the pier,

-the required curvature ductility factor µ_ф of the hinge corresponding to a structure displacement ductility factor µ_d, as defined in 2.3.5.2, is:

(В.1)

де:

where:

λ = L_p/L

2. У залізобетонних перетинах (де коефіцієнт згинальної податливості використовується як міра податливості пластичного шарніра), значення коефіцієнта λ залежить від таких ефектів, як вплив деформації розтягування арматури в суміжному елементі, похиле тріщеноутворення в результаті взаємодії поперечна сила-вигин і так далі. Значення Lp може використовуватися відповідно до Е.3.2(5).

2. Якщо значна частина переміщення пролітної будови викликається деформацією інших компонентів, які зберігають пружність і після утворення пластичного шарніра, необхідний коефіцієнт згинальної пластичності µ_фd виводиться за допомогою наступного виразу:

2. In reinforced concrete sections (where the curvature ductility factor is used as a measure of the ductility of the plastic hinge), the value of the ratio λ is influenced by such effects as the reinforcement tensile strain penetration in the adjoining member, the inclined cracking due to shear-flexure interaction etc. The value of Lp in accordance with E.3.2(5) may be used.

2. When a considerable part of the deck displacement is due to the deformation of other components which remain elastic after the formation of the plastic hinge, the required curvature ductility factor µ_фd is given by the expression

µ_фd= 1+f(µ_фd- 1)

(В.2)

де:

f = d_tot/dp - відношення загального переміщення пролітної будови d_tot до переміщення с dp , викликаному деформацією тільки опори,

µ_ф розраховується з виразу (В.1).

Примітка: Якщо сейсмічна дія передається між пролітною будовою і опорою через гнучкі еластомерні опорні частини на рівні, наприклад, значення f = 5, і якщо допустити, що, наприклад, µ_ф = 15 буде потрібно у разі жорсткого з'єднання між пролітною будовою і опорою, необхідне значення µ_фd згідно рівнянню (В.2) складе близько 71, яке, зрозуміло, є недоступним. Цей приклад з явною очевидністю показує, що висока гнучкість еластомерних опорних частин, використовуваних по одному напряму дії сил з жорсткою опорою, забезпечує, практично, загальна пружна поведінка системи.

where:

f = d_tot/dp is the ratio of the total deck displacement d_tot to the displacement dp, due to the deformation of the pier only, and

µ_ф is calculated from expression (B.1).

NOTE: If the seismic action is transferred between deck and pier through flexible elastomeric bearings inducing for example a value of f = 5 and assuming that for example µ_ф= 15, would be required in the case of rigid connection between the deck and the pier, the required value of µ_фdin accordance with equation (B.2) amounts to 71, which is certainly not available. It is therefore evident that the high flexibility of the elastomeric bearings, used in the same force path with the stiff pier, imposes a practically elastic overall behaviour of the system.

ДОДАТОК С

(довідковий)

Розрахунок ефективної жорсткості податливих залізобетонних елементів

С.1 Загальні положення

(1) Ефективна жорсткість податливих залізобетонних елементів, використовуваних в лінійному сейсмічному розрахунку, має дорівнювати жорсткості в теоретичній точці межі текучості. Якщо розрахунки не виводять інше, для визначення січної жорсткості в теоретичній точці межі текучості, можна використовувати один з наступних методів апроксимації:

С.2 Метод 1

(1) Ефективний момент інерції J_eff опори з постійним поперечним перерізом може бути визначений таким чином:

ANNEX C

(informative)

ESTIMATION OF THE EFFECTIVE STIFFNESS OF REINFORCED CONCRETE DUCTILE MEMBERS

C.1 General

(1) The effective stiffness of ductile concrete components used in linear seismic analysis should be equal to the secant stiffness at the theoretical yield point. Unless otherwise substantiated by calculation, one of the following approximate methods may be used to determine the secant stiffness at the theoretical yield point:

C.2 Method 1

(1) The effective moment of inertia J_eff of a pier of constant cross section may be estimated as follows:

J_eff = 0,08J_un + J_cr

(С.1)

де:

J_un - момент інерції перетину брутто опори без тріщин;

J_cr - момент інерції перетину з тріщинами в точці межі текучості розтягнутої арматури. Це можна визначити за допомогою наступного виразу:

where:

J_un is the moment of inertia of the gross section of the uncracked pier;

J_cr is the moment of inertia of the cracked section at the yield point of the tensile reinforcement. This may be estimated from the expression:

Jcr = M_y/(E_c.Ф_y)

(C.2)

у якому M_y і Ф_y граничний момент і кривизна перетину, відповідно, а Ес - це модуль пружності бетону.

(2) Дані вирази виведені за допомогою параметричного розрахунку спрощеної нелінійної моделі консольної опори з порожнистим прямокутним, порожнистим и суцільним круглим поперечними перетинами.

С.3 Метод 2

(1) Ефективна жорсткість може визначатися по розрахунковому граничному моменту M_Rd і крива текучості Ф_y перетини пластичного шарніра:

in which M_y and Ф_yare the yield moment and curvature of the section respectively and Ec is the elastic modulus of concrete.

(2) These expressions have been derived from a parametric analysis of a simplified non-linear model of a cantilever pier with hollow rectangular and hollow and solid circular cross-sections.

C.3 Method 2

(1) The effective stiffness may be estimated from the design ultimate moment M_Rd and the yield curvature Ф_yof the plastic hinge section as follows:

EcJ_eff= νM_Rd/Ф_у

(С.3)

де:

ν = 1,20 - це коефіцієнт кореляції, що враховує ефект, що додає жорсткість опорі без тріщин.

Крива (згин) фази текучості Ф_у може бути визначена таким чином:

where:

ν= 1,20 is a correction coefficient reflecting the stiffening effect of the uncracked part of the pier.

The curvature at yield Ф_у may be determined as follows:

Φy = (ε_sy - ε_cy)/d_s (с.4)

(С.4)

d_s висота перетину до центру розтягнутої арматури

e_sy деформація на межі текучості арматури,

e_cy деформація стискування бетону на фазі текучості розтягнутої арматури.

Значення e_cyможе оцінюватися за допомогою розрахунку перетину на підставі e_sy і дійсної сили в розрахунковій сейсмічній ситуації, N_ed.

(2) Для кривизни текучості допускається наступне значення:

d_s is the depth of the section to the centre of the tension reinforcement

e_sy is the yield strain of the reinforcement,

e_sy is the compressive strain of concrete at yielding of the tension reinforcement.

The value of % may be estimated by a section analysis on the basis of % and the actual force in the seismic design situation, N_Ed.

(2) The assumptions of the following value for the yield curvature:

для прямокутних перетинів:

for rectangular sections:

Ф_у = 2,1 ε_sy/d

(С.5)

для круглих перетинів

for circular sections:

Ф_у = 2,4 ε_sy/d

(C.6)

де d представляє робочу висоту перетину.

Розрахунок, проведений на базі значення E_cJ_eff, виходячи з допускаемого значения M_Rd, вимагає коректування тільки в тому випадку, якщо кінцеве необходимое значение граничного моменту, що вигинає, M_Rd,_req , значно вище принимаемого значения M_Rd. Якщо M_Rd,_req < M_Rd, коректування може звестися тільки до множення переміщень, отриманих в ході першого розрахунку, на відношення M_Rd/M_Rd,_req

where d is the effective depth of the section, give in general satisfactory approximation.

(3) The analysis performed on the basis of a value of E_cJ_eff based on an assumed value of M_Rd needs to be corrected only if the finally required value of flexural capacity, M_Rd,_req is significantly higher than the assumed value M_Rd. If M_Rd>req < M_Rd, the correction may just entail multiplication of the displacements resulting from the first analysis times the ratio M_Rd/M_Rd,_req.

ДОДАТОК D

(довідковий)

Просторова мінливість сейсмічного коливання грунту: модель і методи розрахунку

D.1 Опис моделі

(1) Для опису просторової мінливості, можна використовувати вектор нульових середніх випадкових процесів. З допуском стаціонарності, даний вектор визначається за допомогою симетричної матриці n х n функцій спектральної густини потужності:

ANNEX D

(informative)

SPATIAL VARIABILITY OF EARTHQUAKE GROUND MOTION:

MODEL AND METHODS OF ANALYSIS

D.1 Description of the model

(1) Spatial variability can be described by means of a vector of zero-mean random processes. Under the assumption of stationarity, this vector is fully defined by means of its symmetric n x n matrix of auto- and cross-power spectral density functions:

(D.1)

де n означає кількість опор.

При цьому корисно буде ввести наступну безрозмірну комплексну функцію, яка називається когерентною функцією:

where n is the number of supports.

It is useful to introduce the following non-dimensional complex-valued function, called coherency function:

(D.2)

Її значення обмежується 0 і 1,0 і надає міру вимірювання лінійної статистичної залежності двох процесів на опорах і та j з відстанню d_ij

(2) Наступна форма когерентної функції часто співвідноситься з [1][2]:

Its modulus is bounded by 0 and 1,0 and provides a measure of the linear statistical dependence of the two processes at the supports i and j, whose distance is dj.

(2) The following form of the coherency function is frequently referred to [1][2]:

(D.3)

де:

v_s швидкість сдвиговых хвиль, а - постійна

v_app так звана швидкість хвиль, що здається

d_ij^L відстань між опорами i та j , спроектоване уздовж напряму розповсюдження хвиль

θ_ij(ω - частотно-залежний фазовий кут).

(3) Коефіцієнти γij,1(ω), γij,2(ω) and γij,3(ω) відповідають за втрату кореляції відзеркалювань/ заломлень розповсюдження середовища, за обмеженість швидкості розповсюдження хвиль і їх кута атаки на поверхні, а також за різні умови грунту на двох опорах, відповідно. Різні характеристики грунту на двох опорах враховуються в моделі; для цього розглядаються два зразка грунту, представляючі два профілі грунту, з дією на них стаціонарного білого шуму з інтенсивністю G₀.Зразки грунту характеризуються функціями передачі Нi(ω) і Нj(ω), відповідно, які можуть забезпечити бажаний зміст і інтенсивність руху на верхній поверхні в точках і та j

where:

v_s is the shear-wave velocity, a is a constant,

v_app is the so-called apparent velocity of waves,

dj^L is the distance between supports i and j projected along the direction of propagation of the waves, and

is a frequency-dependent phase angle.

(3) The factors γij,1(ω), γij,2(ω) and γij,3(ω) account for the loss of correlation due to reflections/refractions in the propagation medium, for the finiteness of the propagation velocity of the waves and their angle of incidence at the surface and for the different soil conditions at the two supports, respectively. The difference of the soil properties at two supports is taken into account in the model by considering two soil columns representing the two soil profiles acted upon at their base by a stationary white noise of intensity G₀. The soil columns are characterised by transfer functions Нi(ω) and Нj(ω), respectively, which are such as to provide the desired spectral content and intensity of the motion at the upper surface in locations i and j

Gii(ω) = G0 |Hi(ω)|²

(D.4)

(4)Р Спектральний розподіл щільності потужності на майданчику повинен узгоджуватися із спектром пружних реакцій згідно EN 1998-1:2004, 3.2.2.2.

Можна показати також, що:

(4)P The power density spectrum at the site shall be consistent with the elastic response spectrum as given in EN 1998-1: 2004, 3.2.2.2.

It can also be shown that:

(D.5)

D.2 Підготовка зразків

(1) Для проведення структурного розрахунку, можливо, буде потрібно зразки вектора випадкових процесів, опис яких приводиться в D.1. Для цього, матрицю G(w) необхідно спочатку розкласти:

D.2 Generation of samples

(1) For the purposes of structural analysis samples of the vector of random processes described in D.1 may need to be derived. To this end the matrix G(c) is first decomposed into the product:

G(ω) = l(ω)l*^t

(D.6)

між матрицею L(w) і транспонованою матрицею. Якщо використовується розкладання Холецкого, L(w) буде меншою трикутною матрицею.

Згідно [3], прискорення на опорі i дорівнює:

between matrix L(c) and the transpose of its complex conjugate. If Cholesky decomposition is employed L(c) is a lower triangular matrix.

According to [3] a sample of the acceleration motion at the generic support i is obtained from the series

j=1 k=1

(D.7)

де:

N загальне число частот ω_k, в яке проводиться дискретизація значущої ширини частот L_ij(ω);

∆ω = ω_max/N, а кути Φ_jk(для будь-якого j) представляють набір незалежних випадкових змінних N, рівномірно розподілених між нулем і 2π.

Зразки, створені згідно виразу (D.7), характеризуються бажаним змістом місцевих частот, а також привласненим ступенем кореляції.

D.3 Методи розрахунку

D.3.1 Загальні положення

(1) На підставі D.1 і D.2 опції, опис яких приводиться в D.3.2 - D.3.4, можуть використовуватися для визначення реакції конструкції на просторові переміщення грунту, що змінюються.

D.3.2 Лінійний розрахунку випадкових коливань

1. Лінійний розрахунок випадкових коливань проводиться з використанням модального дослідження частотно-залежних матриць перенесення і введення, представленого матрицею G(w).

2. Ефекти пружної дії приймаються як середні значення розподілу вірогідності великого значення реакції протягом періоду, що узгоджується з сейсмічною подією, що веде до утворення a_g.

3. Розрахункові значення визначаються за допомогою ділення ефектів пружної дії на відповідний коефіцієнт роботи q; при цьому для забезпечення податливої реакції, досить дотримувати правила, які приводяться в обов'язковій частині цього стандарту.

where:

N is the total number of frequencies c_k into which the significant bandwidth of L_ij(ω) is discretised;

∆ω = ω_max/N, and the angles Φ_jk are, for any j, a set of N independent random variables uniformly distributed between zero and 2π.

Samples generated according to Expression (D.7) are characterised by the desired local frequency content as well as the assigned degree of correlation.

D.3 Methods of analysis

D.3.1 General

(1) Bsed on D.1 and D.2, the options described in D.3.2 to D.3.4 are available for determining the structural response to spatially varying ground motions.

D.3.2 Linear random vibration analysis

1. A linear random vibration analysis is performed, using either modal analysis of frequency-dependent transfer matrices and input given by the matrix G(w).

2. The elastic action effects are assumed as the mean values from the probability distribution of the largest extreme value of the response for the duration consistent with the seismic event underlying the establishment of a_g.

3. The design values are determined by dividing the elastic effects by the appropriate behaviour factor q and ductile response is assured by conformity to the relevant rules of the normative part of this Standard.

D.3.3 Розрахунок динаміки змін з відповідними переміщеннями

1. Лінійний розрахунок динаміки змін може проводитися з використанням переміщень-зразків, що генеруються згідно D.2, починаючи із спектру розподілу потужностей, відповідних спектру пружної реакції на опорах.

2. Кількість використовуваних зразків повинна забезпечити виведення стійких результатів для розрахунку середнього значення максимальних реакцій. Ефекти пружної дії приймаються як середні значення даного максимуму (див. вище). Розрахункові значення визначаються за допомогою ділення ефектів пружної дії на відповідний коефіцієнт роботи q; при цьому для забезпечення податливої реакції, досить дотримувати правила, які приводяться в обов'язковій частині цього стандарту.

3. Нелінійний розрахунок динаміки змін може проводитися з використанням переміщень-зразків, що генеруються згідно D.2, починаючи із спектру розподілу потужностей, відповідних спектру пружної реакції на опорах. Кількість використовуваних зразків повинна забезпечити виведення стійких результатів для розрахунку середнього значення максимальних реакцій.

4. Розрахункові значення результату дії Еd приймаються як середні значення даного максимуму (див. вищий). Порівняння між результатом дії Еd і розрахунковим опором R_dповинно проводитися згідно EN 1998-1:2004.

D.3.3 Time history analysis with samples of correlated motions

1. Linear time-history analysis can be performed using sample motions generated as indicated in D.2, starting from power spectra consistent with the elastic response spectra at the supports.

2. The number of samples used should be such as to yield stable estimates of the mean of the maximum responses of interest. The elastic action effects are assumed as the mean values of the above maxima. The design values are determined by dividing the elastic action effects by the appropriate behaviour factor q and ductile response is assured by conformity to the relevant rules of the normative part of this Standard.

3. Non-linear time-history analysis may be performed using sample motions generated as indicated in D.2 starting from power spectra consistent with the elastic response spectra at the supports. The number of samples used should be such as to yield stable estimates of the mean of the maximum responses of interest.

4. The design values of the action effects E_d are assumed as the mean values of the above maxima. The comparison between action effect E_d and design resistance R_d is to be performed in accordance with EN 1998-1:2004.

D.3.4 Спектр реакції для багатоопорного введення

D.3.4.1 Загальні положення

(1) Рішення реакції пружної дії конструкції з введенням значень для декількох опор в рамках спектру реакції виведено в [4]. Тут наводяться тільки деякі дані. Повна інформація надається в [4].

D.3.4.2 Лінійна реакція на багатоопорне введення

(1) Рівняння переміщення для дискретизаційної лінійної системи, з n-ступенями свободи, що зазнає дії переміщення опор m, можна записати в наступному вигляді:

D.3.4 Response spectrum for multiple-support input

D.3.4.1 General

(1) A solution for the elastic response of a structure subjected to multiple support input in terms of response spectra has been derived in [4]. An outline is given here. For complete information refer to [4].

D.3.4.2 Linear response to multiple-support input

(1) The equations of motion for a discretised, n-degrees of freedom linear system subjected to m support motions can be written as:

(D.8)

х вектор п сумарних переміщень з необмеженим числом ступенів свободи;

u вектор m заданих переміщень опори;

М, C і K маса n х n, матриці амортизації і жорсткості, що асоціюються з необмеженим числом ступеней свободи, відповідно;

Мg, Сg і Кg маса m х m, матриці амортизації і жорсткості, що асоціюються з ступенями свободи опор, відповідно;

Мс, Сс і Кс - матриці сполучень n х m;

F вектор m сил реакції із ступенями свободи опор.

(2)Загальну реакцію можна розкласти як:

x is the n-vector of the total displacements at the unconstrained degrees of freedom;

u is the m-vector of prescribed support displacements;

M, C and K are the n x n mass, damping and stiffness matrices associated with the unconstrained degrees of freedom, respectively;

Мg, Сg і Кg support degrees of freedom, respectively;

Mc, Cc and Kc are the n x m coupling matrices;

F is the m-vector of the reacting forces at the support degrees of freedom.

(2)The total response is decomposed as:

х=х^s+х^d

(D.9)

де х^s, так званий псевдостатичний компонент, представляє вирішення виразу (D.8) без елементів інерції і амортизації, т.ч.:

where x^s, called pseudo-static component, is the solution of expression (D.8) without the inertia and damping terms, i.e.:

х^s=-К^-1К_сu=Ru

(D.10)

Якщо підставити вирази (D.9) і (D.10) у вираз (D.8), можна отримати диференціальне рівняння для динамічної складової:

Substituting expression (D.9) and (D.10) into expression (D.8), the differential equation

for the dynamic component is obtained in the form:

(D.11)

після видалення відносного незначного члена

after eliminating the comparatively negligible term

(СR + Сс) u.

(3) Допустим, що Ф, ω_i і ξ_i представляють матрицю модальних форм, модальных частот і відповідних коефіцієнтів загасання фіксованої структури. Якщо підставити x^d =Фy у вираз (D.11), незв'язане рівняння набуде наступний вигляд:

(3) Let Ф, ω_i and §_ibe the matrix of modal shapes, the modal frequencies and corresponding damping ratios of the fixed base structure. Setting x^d =Фy in Expression (D.11), the uncoupled modal equations are obtained as:

i =1,K,n

(D.12)

де коефіцієнт модальної участі має форму:

where the modal participation factor has the form:

(D.13)

r_k - це к-ая колонка величини R, а i_k - це к-а колонка одиничної матриці n х n.

(4) Рекомендується визначити нормалізовану модальну реакцію s_ki(t), яка є реакцію генератора з однією ступінню свободи, частотою і коеффіцієнтом загасання i-ого режиму з дією базового прискорення _kt(t):

in which r_k is the k-th column of R and i_k is the k-th column of a n x n identity matrix.

(4) It is convenient to define a normalised modal response s_ki(t), representing the response of a single-degree-of-freedom oscillator with frequency and damping ratio of the z'-th mode, and subjected to the base acceleration _kt(t):

(D.14)

Отримуємо:

Clearly one has:

(D.15)

(5) Загальну величину даної реакції (вузлове переміщення, зусилля і так далі)можно виразити як лінійну функцію вузлового переміщення x(t):

(5) A generic response quantity of interest z(t) (nodal displacement, internal force, etc) can be expressed as a linear function of the nodal displacement x(t):

z(t) = qTx(t) = qT xs(t)+ xd (t)

(D.16)

Якщо замість х^s і х^d підставити отримані вирази, можна отримати:

Substituting for the expressions obtained for x^s and x^d one arrives at:

(D.17)

у якому:

in which:

a_k (t) = q^Tr_kb_ki= q^Tφ_iβ_ki

(D.18)

D.3.4.3 Спектральне вирішення реакції

1. Використовуючи базову теорію випадкових коливань разом з моделлю (див. D.1) для руху опори u(t), стандартне відхилення величини реакції z(t) можна визначити безпосередньо в одиницях стандартного відхилення вхідних процесів u(t) і нормалізованих модальних реакцій s(t), а також в одиницях кореляції між вхідними і вихідними величинами.

2. Далі, зважаючи на відношення між спектральною густина потужності вхідних процесів, G_uu(ω)⁵, дані стандартні відхилення і кореляції, а також відношення між спектральною густиною потужності реакції і спектру реакції, можна вивести наступний вираз для середнього значення максимальної реакції (тобто ефект пружної роботи)

D.3.4.3 Response spectrum solution

1. Using basic random vibration theory in conjunction with a model such as that described in D.1 for the support motions u(t), the standard deviation of the response quantity of interest z(t) can be directly determined in terms of the standard deviations of the input processes u(t) and of the normalised modal responses s(t), as well as of the correlation between input and output quantities.

2. Further, by taking into account the relationship between the power spectral densities of the input processes, G_uu(c)⁵, and the above standard deviations and correlations, as well as the relationships between power spectral density of the response process and response spectrum, the following expression is derived for the mean value of the maximum response (i.e. the elastic action effect)

^(D.19)

де u_k,_max і u_l,max представляють максимальні переміщення на опорах k і l , що узгоджуються з відповідним спектром місцевої пружної дії згідне EN 1998-1:2004, 3.2.2.4; D_k(ω_i,ξ_і ) і D_l(ω_i, ξ_і) представляють значення спектру пружних пересмещений на опорах k і l для частот і коефіцієнтів загасання даних режимів, що узгоджуються з відповідним спектром місцевої пружної роботи згідно EN 1998-1:2004, 3.2.2.2.

(3) Коефіцієнти кореляції, , між максимальними зсувами грунту і p_SiSj, між нормалізованими модальними реакціями, можна виразити як:

_____________________

⁵ G_uu(ω) позначає потужність спектральної матриці прискорення щільності земляних процесів, я кі для простото ти позначаються в D.1 просто G(ω)

where u_k,_max and u_l,max are the peak ground displacements at supports k and l consistent with the respective local elastic response spectrum as given in EN 1998-1:2004, 3.2.2.4; D_k(ω_i ξ_і ), and D_l(ω_i ξ_і), are the elastic displacement response spectra values at supports k and l for frequencies and damping ratios of the considered modes, consistent with the respective local elastic response spectrum as given in

EN 1998-1:2004, 3.2.2.2.

(3) The correlation coefficients , between peak ground displacements, and p_SiSj, between normalised modal responses, are given by:

_____________________

⁵ G_uu(ω) detones the power spectral densities matrix of the ground acceleration prosses which, for simplicity of notation, is detoned in D.1 siply by G(ω)

(D.20)

де G_ukul (ω) є kl- термом матриці спектральної густини потужності процесів переміщення грунту і процесів прискорення в співвідношенні:

where G_ukul(ω) is the kl-term of the power spectral densities matrix of the ground displacement processes, related to the corresponding one for the acceleration processes

H_i(ω) це функція передачі частоти нормалізованого модального переміщення, виражена у формі:

H_i(ω) is the frequency transfer function of the normalised a modal displacement, given by:

(D.21)

(4) Для того, щоб провести оцінку інтегралів у виразі (D.20), спектральну густину потужності необхідно співвіднести із спектром реакції, який представляє дані, необхідні для користувача даного підходу. Наступний відкоректований наближений вираз, що трохи відрізняється від виразу в [4], може використовуватися для встановлення відношення спектрів реакції і потужності:

(4) In order to evaluate the integrals in Expression (D.20) the power spectral densities should be related to the response spectra that represent the information supposed to be available to the user of the present approach. The following approximate expression, slightly adjusted from that proposed in [4], can be used to relate response and power spectrum at any station:

(D.22)

де t - це тривалість нерухомої частини руху грунту, яка повинна погоджено прийматися з сейсмічною подією, що веде до створення a_g.

(5) У практичних випадках, коли різні опори мають різні грунти в основі, це домінує над рештою чинників, що веде до втрати кореляції. Числові розрахунки показують, що облік третього члена у_ij,3(ω) в когерентній функції має невеликий вплив на результати і в апроксимації його можна прийняти рівним нулю. Виходячи з даних припущень і приймаючи в розрахунок наближений характер вказаної процедури спектру реакції, значним спрощенням буде використання діагональної матриці G(ω), тобто пропонується розглянути конструкцію, як що піддається дії вектора незалежних процесів руху грунту. При цьому кожен процес характеризується своєю власною функцією спектральної густиною потужності. Відповідно, вираз (D.19) спрощується до наступного вигляду:

where t is the duration of the stationary part of the ground motion to be taken consistently with the seismic event underlying the establishment of a_g.

(5) In practical cases, when local soil conditions differ from one support to another, the effect of this difference tends to dominate over the other two phenomena generating loss of correlation. Numerical analyses show in addition that the consideration of the third term у_ij,3(ω) in the coherency function has small influence on the results so that it can be, in approximation, set to zero. Based on these considerations and taking into account the approximate character of the described response spectrum procedure, a significant simplification is to consider a diagonal matrix G(ω), i.e. to consider the structure as subjected to a vector of independent ground motion processes, each one characterised by its own power spectral density function. Correspondingly, Expression (D.19) simplifies to:

(D.23)