Страница 23: ДСТУ-Н Б EN 1991-1-4:2010. Єврокод 1. Дії на конструкції. Частина 1-4. Загальні дії. Вітрові навантаження / Eurocode 1. Actions on structures. Part 1-4. General actions. Wind actions (59949)

ДОДАТОК F (обов’язковий) ДИНА­МІЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНСТРУК­ЦІЙ

F.1 Загальні положення

(1) Методики розрахунку, рекомендовані в цьому розділі, припускають, що конструкт­ції мають лінійно-пружну поведінку і кла­сичні форми власних коливань. Тому дина­мічні властивості конструкції характеризу­ються:

– власними частотами;

– формами коливань;

– еквівалентними масами;

– логарифмічним декрементом затухання.

(2) Власні частоти, форми коливань, еквіва­лентні маси і логарифмічні декременти за­тухання потрібно визначати теоретично або експериментально із застосуванням методів динаміки будівельних конструкцій.

(3) Основні динамічні характеристики мо­жуть бути визначені із застосуванням спро­щених аналітичних, напівемпіричних або емпіричних наближених формул за умови достатньої апробованості. Деякі з таких формул наведені в F.2 – F.5

F.2 Основна власна частота

(1) Для консольних конструкцій з центром мас на кінці стрижня для розрахунку основ­ної власної згинальної частоти n₁ дозволя­ється застосовувати спрощену формулу:

ANNEX F (INFORMATIVE) DYNAMIC CHARACTERISTICS OF STRUCTURES

F.1 General

(1) Calculation procedures recommended in this section assume that structures possess linear elastic behaviour and classical normal modes. Dynamic structural properties are therefore characterised by:

– natural frequencies;

– modal shapes;

– equivalent masses;

– logarithmic decrements of damping.

(2) Natural frequencies, modal shapes, equivalent masses and logarithmic decrements of damping should be evaluated, theoretically or experimentally, by applying the methods of structural dynamics.

(3) Fundamental dynamic properties can be evaluated in approximate terms, using simplified analytical, semi-empirical or empirical equations, provided they are adequately proved: Some of these equations are given in F.2 to F.5.

F.2 Fundamental frequency

(1) For cantilevers with one mass at the end a simplified expression to calculate the fundamental flexural frequency n₁ of structures is given by Expression (F.1):

,

(F.1)

де:

g прискорення вільного падіння = 9,81 м/с²;

x₁ максимальне переміщення від власної ва­ги, що прикладена в напрямку коливань в м.

(2) Основна частота згинальних коливань n₁ багатоповерхових будівель із висотою, більшою ніж 50 м, оцінюється формулою (F.2):

where:

g is the acceleration of gravity = 9,81 m/s²;

x₁is the maximum displacement due to self weight applied in the vibration direction in m.

(2) The fundamental flexural frequency n₁ of multi-storey buildings with a height larger than 50 m can be estimated using Expression (F.2):

[Гц],

(F.2)

де:

h висота конструкції в м.

Цю формулу можна також застосовувати як допоміжну для одноповерхових будівель і башт.

where:

h is the height of the structure in m.

The same expression may give some guidance for single-storey buildings and towers.

(3) Основна частота згинальних коливань n₁ витяжних труб визначається за формулою (F.3):

(3) The fundamental flexural frequency n₁, of chimneys can be estimated by Expression (F.3):

[Гц],

(F.3)

з:

with:

,

(F.4)

де:

b верхній діаметр витяжної труби [м];

h_eff ефективна висота витяжної труби [м], h₁ і h₂ наведені на рисунку F.1;

W_s вага конструктивних частин, які впливають на жорсткість витяжної труби;

W_t загальна вага витяжної труби;

ε₁ дорівнює 1000 для сталевих витяжних труб і 700 для бетонних і цегляних витяжних труб

where:

b is the top diameter of the chimney [m];

h_eff is the effective height of the chimney [m], h₁ and h₂ are given in Figure F.1;

W_s is the weight of structural parts contributing to the stiffness of the chimney;

W_t is the total weight of the chimney;

ε₁ is equal to 1000 for steel chimneys, and 700 for concrete and masonry chimneys.

ПРИМІТКА. h₃ = h₁/3; h₃ дивись F.4(2).

NOTE. h₃ = h₁/3; h₃ see F.4(2).

Рисунок F.1 – Геометричні характеристики витяжних труб

Figure F.1 – Geometric parameters for chimneys

Основна овальна частота n_1,0 довгої цилінд­ричної оболонки без кілець жорсткості може бути встановлена, виходячи з виразу (F.5)

(4) The fundamental ovalling frequency n_1,0 of a long cylindrical shell without stiffening rings may be calculated using Expression (F.5).

,

(F.5)

де:

E модуль Юнга [Н/м²];

t товщина оболонки [м];

ν коефіцієнт Пуассона;

μ_s маса оболонки на одиницю площі [кг/м²];

b діаметр оболонки [м].

Формула (F.5) дає найнижчі власні частоти для оболонок. Кільця жорсткості збільшу­ють значення n₀.

(5) Власна частота вертикальних згиналь­них коливань n_1,B мостів пластинчастого чи коробчастого перерізу може бути приб­лизно визначена за формулою (F.6):

where:

E is Young's modulus in [N/m²];

t is the shell thickness in [m];

ν is Poisson ratio;

μ_s is the mass of the shell per unit area in [kg/m²];

b is the diameter of the shell in [m].

Expression (F.5) gives the lowest natural frequency of the shell. Stiffness rings increase n₀.

(5) The fundamental vertical bending n_1,B of a plate or box girder bridge may be approximately derived from Expression (F.6).

,

(F.6)

де:

L довжина головного прогону в м;

E модуль Юнга в Н/м² ;

l_b момент інерції поперечного перерізу всередині прогону в м⁴;

m маса одиниці довжини загального поперечного перерізу в центрі прогону (враховується навантаження від власної ваги і від тимчасового навантаження), кг/м;

where:

L is the length of the main span in m;

E is Youngs Modulus in N/m²;

l_b is the second moment of area of cross-section for vertical bending at mid-span in m⁴;

m is the mass per unit length of the full cross-section ad midspan (for dead and super-imposed dead loads) in kg/m.

K безрозмірний коефіцієнт, залежить від конструкції прогонів, визначається нижче.

K is a dimensionless factor depending on span arrangement defined below.

а) Для мостів з одним прогоном:

K = π якщо він вільно обпертий;

K = 3,9 якщо він консольний;

K = 4,7 якщо він затиснений на обох кінцях.

b) Для двопрогонових нерозрізних мостів:

K отримується із рисунка F.2, викорис­товуючи графік для двопрогонових мостів, де L₁ довжина крайнього прогону і L > L₁.

c) Для трипргонових нерозрізних мостів:

K отримується із рисунка F.2, викорис­товуючи відповідний графік для три­прогонових мостів, де

L₁ довжина найдовшого крайнього прогону;

L₂ довжина іншого крайнього прогону і L > L₁ > L₂.

Це також стосується трипрогонових мостів з консольним/підвісним головним прого­ном.

Якщо L₁ > L, то K визначається по кривій для мостів із двома прогонами, без ураху­вання найкоротшого прогону і з урахуван­ням найбільшого прогону як головного прогону для еквівалентного двопрогоно­вого мосту.

a) For single span bridges:

K = π if simply supported or;

K = 3,9 if propped cantilevered or;

K = 4,7 if encastre.

b) For two-span continuous bridges:

K is obtained from Figure F.2, using the curve for two-span bridges, where L₁ is the length of the side span and L > L₁.

c) For three-span continuous bridges:

K is obtained from Figure F.2, using the appropriate curve for three-span bridges, where

L₁ is the length of the longest side span;

L₂ is the length of the other side span and L > L₁ > L₂.

This also applies to three-span bridges with a cantilevered/suspended main span.

If L₁ > L then K may be obtained from the curve for two span bridges, neglecting the shortest side span and treating the largest side span as the main span of an equivalent two-span bridge.

d) Для симетричних чотирипрогонових нерозрізних мостів (тобто мостів симетрич­них відносно центральної опори):

K отримується із графіка для двопрого­нових мостів на рисунку F.2, приймаючи кожну половину моста як еквівалентний двопрогоновий міст.

е) Для несиметричних чотирипрогонових нерозрізних мостів і нерозрізних мостів із більш ніж чотирма прогонами:

K отримується із рисунка F.2, викорис­товуючи відповідний графік для трипрого­нових мостів, вибираючи головний прогон як найбільший внутрішній прогон.

Примітка 1. Якщо значення на опорі вдвічі перевищує значення в центрі прогону або менше ніж 80 % значення в середині прогону, тоді формула (F.6) не застосовується, за винятком коли дозволені дуже грубі оцінки.

NOTE 2. Для визначення n_1,B. у циклах за секунду потрібно вибирати відповідні вихідні дані.

(6) Власна частота кручення балкових мос­тів ідентична основній власній згинальній частоті, яка розрахована за формулою (F.6), якщо середня інерція на одиницю ширини при поздовжньому згині не менше 100-кратної середньої інерції на одиницю довжини при поперечному згині.

(7) Власна частота кручення мостів коробчастого перерізу може бути приб­лизно визначена за формулою (F.7):

d) For symmetrical four-span continuous bridges (i.e. bridges symmetrical about the central support):

K may be obtained from the curve for two-span bridges in Figure F.2 treating each half of the bridge as an equivalent two-span bridge.

e) For unsymmetrical four-span continuous bridges and continuous bridges with more than four spans:

K may be obtained from Figure F.2 using the appropriate curve for three-span bridges, choosing the main span as the greatest internal span.

NOTE 1. If the value of at the support exceeds twice the value at mid-span, or is less than 80 % of the mid-span value, then the Expression (F.6) should not be used except very approximate values are sufficient.

NOTE 2. A consistent set should be used to give n_1,B. in cycles per second.

(6) The fundamental torsional frequency of plate girder bridges is equal to the fundamental bending frequency calculated from Expression (F.6), provided the average longitudinal bending inertia per unit width is not less than 100 times the average transverse bending inertia per unit length.

(7) The fundamental torsional frequency of a box girder bridge may be approximately derived from Expression (F.7):

,

(F.7)

з:

with:

,

(F.8)

;

(F.9)

,

(F.10)

де:

n_1,B основна згинальна частота в Гц;

b загальна ширина моста;

m маса одиниці довжини, визначається у F.2(5);

ν коефіцієнт Пуассона матеріалу опори;

r_j відстань від центру ваги окремого коробчастого перерізу до центру ваги поперечного перерізу мосту;

l_j момент інерції маси окремого коробчастого перерізу для вертикального згину посередині прогону, враховуючи приєднану ефективну ширину дорожного полотна;

l_p момент інерції маси на одиницю довжини поперечного перерізу посередині прогону. Визначається за формулою (F.11):

where:

n_1,Bis the fundamental bending frequency in Hz;

b is the total width of the bridge;

m is the mass per unit length defined in F.2(5);

ν is Poisson´s ratio of girder material;

r_j is the distance of individual box centre-line from centre-line of bridge;

l_j is the second moment of mass of individual box for vertical bending at mid-span, including an associated effective width of deck;

l_p is the second moment of mass per unit length of cross-section at mid-span. It is described by Expression (F.11).

,

(F.11)

де:

m_d маса на одиницю довжини лише дорожного полотна на середині прогону;

l_pj момент інерції окремого короб­частого перерізу на середині прогону;

m_j маса на одиницю довжини тільки окремого коробчатого перерізу на середині прогону без врахування дорожного полот­на;

J_j постійна кручення окремого короб­частого перерізу на середині прогону. Виз­начається за формулою (F.12).

where:

m_d is the mass per unit length of the deck only, at mid-span;

l_pj is the mass moment of inertia of individual box at mid-span;

m_j is the mass per unit length of individual box only, at mid-span, without associated portion of deck;

J_j is the torsion constant of individual box at mid-span. It is described by Expression (F.12).

,

(F.12)

де:

A_j площа, обмежена контуром коробчастого перерізу в центрі прогону;

інтеграл по периметру коробчатого перерізу від відношення довжина/товщина стінки в центрі прогону.

where:

A_j is the enclosed cell area at mid-span

is the integral around box perimeter of the ratio length/thickness for each portion of box wall at mid-span

ПРИМІТКА. Втрата точності досить незначна, якщо запропонована формула (F.12) застосовується для мостів багатозв’язного коробчастого перерізу, для яких відношення довжини прогону до його ширини(=прогон/ширина) не перевищує 6.

NOTE. Slight loss of accuracy may occur if the proposed Expression (F.12) is applied to multibox bridges whose plan aspect ratio (=span/width) exceeds 6.

Рисунок F.2 – Коефіцієнт K, який використовується для

знаходження основної згинальної частоти

Figure F.2 – Factor K used for the derivation of fundamental bending frequency

F.3 Основна форма коливань

(1) Основна згинальна форма коливань Φ₁(z) для будівель, башт і витяжних труб консольних відносно землі оцінюється за формулою (F.13), див. рисунок F.3.

F.3 Fundamental mode shape

(1) The fundamental flexural mode Φ₁(z) of buildings, towers and chimneys cantilevered from the ground can be estimated using Expression (F.13), see Figure F.3.

,

(F.13)

де:

ζ = 0,6 для гнучких рамних каркасів без діафрагм жорсткості;

ζ = 1,0 для будівель із центральним ядром і колонами по периметру або з розвинутими колонами і елементами жорсткості;

ζ = 1,5 для гнучких консольних будівель і будівель з центральним залізобетонним ядром;

ζ = 2,0 для башт і витяжних труб;

ζ = 2,5 для гратчастих сталевих башт.

where:

ζ = 0,6 for slender frame structures with non load-sharing walling or cladding;

ζ = 1,0 for buildings with a central core plus peripheral columns or larger columns plus shear bracings;

ζ = 1,5 for slender cantilever buildings and buildings supported by central reinforced concrete cores;

ζ = 2,0 for towers and chimneys;

ζ = 2,5 for lattice steel towers.