Страница 13: Раздел 1-3. Материалы. Расчет по предельному состоянию I группы (54350)

Требуется определить предельный изгибающий момент в вертикальной плоскости.

Расчет ведем без учета стержня, расположенного в наименее сжатом свесе. Из черт. 9 имеем:

h0 = h - а = 300 - 30 = 270 мм; b0 = 110/2 = 55 мм;

bo = bo = 55 мм; hf = 60 мм.

Черт. 9. К примеру расчета 9

1-1 - плоскость действия изгибающего момента

Определяем площадь сжатой зоны бетона по формуле (49), учитывая один стержень арматуры S', т.е. A??s = 113 мм2 (1  12), и принимая s6 = 1:

Площадь сечения наиболее сжатого свеса и ее статические моменты относительно осей x и y соответственно равны:

Aо?? = b'oh'f = 55??60 = 3300 мм2;

So,y = Aо(b0 + 0,5b'o) = 3300(55 + 0,555) = 272000 мм3;

So,x = Aо(h0 - 0,5h'f) = 3300(270 - 0,560) = 792000 мм3

Так как Ab > Ao, далее расчет производим как для таврового сечения:

Aweb = Ab - Ao = 9154 - 3300 = 5854 мм2.

Определяем размер сжатой зоны x1 по формуле (50), принимая ctgb = 4:

Проверим условие (52):

следовательно, расчет продолжаем по формулам косого изгиба.

Определим значение 1 по формуле (53), вычислив:

Поскольку натяжение арматуры электротермическое неавтоматизированное, принимаем, согласно п. 3.6, sp = 0.

Из табл. 26 и 31 при b2 = 0,9, классе арматуры А-IV, классе бетона В25 и при (sp + Dsp)/Rs = 306/510 = 0,6 находим R = 0,54 и el = 0,7.

Поскольку выполняется условие (55):

1 = 0,614 > R = 0,54,

расчет повторяем, заменяя в формуле (49) значение Rs на напряжение s, определенное по формуле (56).

Согласно п. 3.18,  = 0,8;

Aweb = 8574 - 3300 = 5274 мм2;

Определяем предельный изгибающий момент в плоскости оси x из условия (47):

Мх,u = Rb[So,x + Aweb(h0 - х1/3)] + RscSsx = 13[792000 + 5274(270 - 197/3)] + 365??113(270 - 20) = 34,6106 Н??мм = 34,6 кН??м.

Предельный изгибающий момент в вертикальной плоскости равен:

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАСЧЕТА НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ ИЗГИБАЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (ПРИ ЛЮБЫХ ФОРМАХ СЕЧЕНИЯ, НАПРАВЛЕНИЯХ ДЕЙСТВИЯ ВНЕШНЕГО МОМЕНТА И ЛЮБОМ АРМИРОВАНИИ)

3.18 (3.28). Расчет нормальных сечений изгибаемого элемента в общем случае (черт. 10) выполняется из условия

M ?? RbSb - SsiSsi,                                                           (60)

где M  - проекция момента внешних сил на плоскость, перпендикулярную прямой, ограничивающей сжатую зону сечения;

Sb        - статический момент площади сжатой зоны бетона относительно оси, параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону и проходящей через центр тяжести сечения наиболее растянутого стержня;

Ssi        - статический момент площади сечения i-го стержня продольной арматуры относительно указанной оси;

??si       - напряжение в i-м стержне продольной арматуры.

Черт. 10. Схема усилий и эпюра напряжений в сечении, нормальном к продольной оси железобетонного элемента, в общем случае расчета по прочности

1-1 - плоскость, параллельная плоскости действия изгибающего момента; 1 - точка приложения равнодействующих усилий в сжатой арматуре и в бетоне сжатой зоны; 2 - точка приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре

Высота сжатой зоны x и напряжения si определяются из совместного решения уравнений:

RbAb = siAsi,                                                          (61)

при i  Ri

                                       (62)

где ?? - см. п. 3.7;

при el,i  i  Ri

                                          (63)

при i  el,i

                                                (64)

Для продольной арматуры с физическим пределом текучести (см. п. 2.16) при i ?? Ri используется только уравнение (64).

В формулах (61) - (64):

Ab  - площадь сжатой зоны бетона;

Asi  - площадь сечения i-го стержня продольной арматуры;

??i - относительная высота сжатой зоны, равная:

где   h0i  - расстояние от оси, проходящей через центр тяжести сечения рассматриваемого i-го стержня арматуры и параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону, до наиболее удаленной точки сжатой зоны сечения (см. черт. 10);

Ri, el,I  - относительная высота сжатой зоны, отвечающая достижению в рассматриваемом стержне напряжений, соответственно равных Rsi и Rsi, значение xRi определяют по формуле (21) п. 3.6, значение el,i - также по формуле (21), принимая

sR = Rsi - spi,                                                      (65)

здесь   - коэффициент, принимаемый равным:

при механическом, а также автоматизированных электротермическом и электротермомеханическом способах натяжения арматуры классов А-IV, А-V, А-VI

                                                 (66)

где ssp1i - определяется при sp < 1,0 (см. п. 1.18) с учетом потерь по поз. 3 - 5 табл. 4;

ssc,u,                - см. п. 3.6;

при иных, кроме указанных выше, способах натяжения арматуры классов А-IV, А-V и А-VI, а также для арматуры классов В-II, Вр-II, К-7 и К-19 при любых способах натяжения  = 0,8.

Напряжения ssi, определенные по формуле (64), вводятся в расчет со своими знаками; при этом напряжения со знаком «плюс» означают растягивающие напряжения, а напряжения со знаком «минус» - сжимающие. Напряжения si принимаются не менее - Rsc (максимальное сжимающее напряжение) и не менее sp - sc,u.

Напряжение sspi в формуле (64) определяется при коэффициенте sp < 1,0, если рассматриваемый стержень расположен в растянутой зоне, и sp > 1,0, если стержень расположен в сжатой зоне.

Для определения положения границы сжатой зоны при косом изгибе (т.е. когда плоскость действия момента не перпендикулярна прямой, ограничивающей сжатую зону) кроме использования формул (61) - (64) требуется соблюдение условия параллельности плоскости действия моментов внешних и внутренних сил.

Если в сечении можно выявить характерную ось (например, ось симметрии или ось ребра Г-образного сечения), то при косом изгибе расчет рекомендуется производить в следующем порядке.

1. Провести две оси x и y соответственно параллельно и перпендикулярно указанной характерной оси через центр тяжести сечения наиболее растянутого стержня.

2. Подобрать последовательными приближениями положение прямой, ограничивающей сжатую зону, при постоянном угле ее наклона  так, чтобы удовлетворялось равенство (61) после подстановки в него значений ??si, определенных по формулам (62) - (64); при этом угол ?? в первом приближении принять равным углу наклона нулевой линии, определенному как для упругого материала.

3. Определить моменты внутренних сил в плоскости осей х и у соответственно Mx,u и My,u.

4. Если оба момента оказываются больше или меньше соответствующих составляющих внешнего момента (Mx и My), то прочность сечения считается соответственно обеспеченной или необеспеченной.

5. Если один из этих моментов (например, My,u) меньше соответствующей составляющей внешнего момента (My), а другой момент больше составляющей внешнего момента (т.е. Mx,u > Ms), то следует задаться другим углом q (большим, чем ранее принятый) и снова выполнить аналогичный расчет.

Примеры расчета

Пример 10. Дано: железобетонная шпала с размерами расчетного поперечного сечения по оси рельса - по черт. 11; бетон тяжелый класса В40 (Rb = 24 МПа при b2 = 1,1); арматура из проволоки класса Вр-II, диаметром 3 мм (Rs = 1215 МПа); предварительное напряжение арматуры при sp < 1 sp = 975 МПа; изгибающий момент в расчетном сечении M = 26 кНм.

Требуется проверить шпалу на прочность.

Черт. 11. К примеру расчета 10

Расчет. В связи с распределенным характером расположения арматуры по сечению расчет производим по общему случаю согласно п. 3.18.

По формуле (21) п. 3.6 определяем значения R и el. Для этого вычислим  = 0,85 - 0,008Rb = 0,85 - 0,008??24 = 0,658. Поскольку арматура проволочная, принимаем sp = 0 и  = 0,8, ??sc,u = 400 МПа (так как gb2 = 1,1).

Значение ??sR равно:

при вычислении xR

sR = Rs + 400 - sp = 1215 + 400 - 975 = 640 МПа;

при вычислении el

sR = bRs - sp = 0,8??1215 - 975 = -3 МПа.

Отсюда имеем:

Задавшись высотой сжатой зоны x, определим напряжение ??si каждого горизонтального ряда спаренных проволок по формулам (62) - (64):

при i  R

при el  i  R

при i  el

Затем определим сумму усилий во всех рядах проволок siAsi, где Asi принимается равной площади сечения арматуры в одном i-м ряду, параллельном нейтральной оси.

В первом приближении значение x определим из уравнения (61), принимая среднее напряжение в арматуре равным 0,9Rs = 0,91215 = 1093 МПа;

Asi = 367 мм2 (52 Æ 3),

отсюда

Поскольку сжатая зона имеет трапециевидную форму, высоту сжатой зоны x определим из уравнения (см. черт. 11)

откуда

Вычисления приводим в табличной форме (табл. 28а).

Таблица 28а

Исходя из вычисленного значения siAsi (с учетом x = 87,5 мм), вновь определяем:

т.е. значение х в первом приближении принято завышенным.

Во втором приближении значением принимаем равным 76 мм и производим аналогичный расчет (см. табл. 28а):

т.е. значение x = 76 мм принято правильно.

Определим статический момент сжатой зоны бетона в виде трапеции относительно нижнего ряда проволок Sb. Ширина сечения по границе сжатой зоны равна:

b2 = 167 + 2??0,267??76 = 208 мм; b1 = 167 мм.

Тогда

Момент усилия в арматуре относительно центра тяжести нижнего ряда проволок определим по формуле

siSsi = siAsi(h01 - hoi).

Вычисление SsiSsi приведено в табл. 28а.

Проверяем условие (60):

RbSb - ??siSsi = 241,65106 - 11,9106 = 27,7106 Н??мм = 27,7 кН??м > M = 26 кН??м,

т.е. прочность шпалы обеспечена.

РАСЧЕТ СЕЧЕНИЙ, НАКЛОННЫХ К ПРОДОЛЬНОЙ ОСИ ЭЛЕМЕНТА

3.19 (3.29). Расчет элементов по наклонным сечениям должен производиться для обеспечения прочности:

на действие поперечной силы по наклонной полосе между наклонными трещинами - согласно п. 3.21;

на действие поперечной силы по наклонной трещине для элементов с поперечной арматурой - согласно пп. 3.22 - 3.29, для элементов без поперечной арматуры - согласно п. 3.30;

на действие изгибающего момента по наклонной трещине - согласно пп. 3.31 - 3.34.

Расчет элементов с поперечной арматурой на действие поперечной силы, согласно пп. 3.22 - 3.29, не производится, если выполняются условия прочности п. 3.30. При соблюдении этих условий поперечная арматура определяется конструктивными требованиями (см. пп. 5.41 и 5.42).

Примечание. В настоящем Пособии под поперечной арматурой имеются в виду хомуты и отогнутые стержни (отгибы). Термин «хомуты» включает в себя поперечные стержни сварных каркасов и хомуты вязаных каркасов.

3.20. Расстояния между хомутами s, между опорой и концом отгиба, ближайшего к опоре, s1, а также между концом предыдущего и началом последующего отгиба s2 (черт. 12) должны быть не более величины

                                               (67)

где ??n - см. п. 3.22;

b4 - см. табл. 29.

Кроме того, эти расстояния должны удовлетворять конструктивным требованиям пп. 5.42 и 5.44.

Черт. 12. Расстояния между хомутами и отгибами

РАСЧЕТ НА ДЕЙСТВИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ ПО НАКЛОННОЙ СЖАТОЙ ПОЛОСЕ

3.21 (3.30). Расчет элементов на действие поперечной силы для обеспечения прочности по наклонной полосе между наклонными трещинами должен производиться из условия

Q  0,3w1jb1Rbbh0,                                                        (68)

где Q   - поперечная сила, принимаемая на расстоянии от опоры не менее h0;

w1 - коэффициент, учитывающий влияние хомутов, нормальных к продольной оси элемента, и определяемый по формуле

w1 = 1 + 5??w,                                                           (69)

но не более 1,3;

b1 - коэффициент, определяемый по формуле

b1 = 1 - Rb,                                                       (70)

  - коэффициент, принимаемый равным для бетона:

тяжелого и мелкозернистого           0,01

легкого                                               0,02

Rb  -             в МПа.

При линейном изменении ширины b по высоте в расчет [в формулы (67), (68) и последующие] вводится ширина сечения на уровне середины высоты сечения без учета полок.

РАСЧЕТ НА ДЕЙСТВИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ ПО НАКЛОННОЙ ТРЕЩИНЕ