Пособие по проектированию стальных конструкций

Полная энергия упругого стержня: Э = (61)

Если принять перемещение оси стержня по квадратной параболе, то у_х = f₂ × = f₂ × (ℓ-x)² , M_x = -F × f₂ [H² – (ℓ-x)²], то (61) запишется в таком виде:

Э = =

= -

- 2 F .

Приравняв первую производную = 0, получим:

F_cr =

= = , (62)

где

n ² = 4

(63)

Коэффициент расчетной длины консольного стержня:

m = (64)

В таблице 23 приведены значения коэффициентов расчетной длины m консольного стержня двутаврового сечения с поперечно-гофрированной стенкой в зависимости от коэффициента К₁.

Таблица 23

К₁

m

1,01000

3,95247

1,10000

3,34413

1,20000

3,05538

1,30000

2,87967

1,40000

2,75775

1,50000

2,66700

1,60000

2,59635

1,70000

2,53955

1,80000

2,49277

2,00000

2,42005

2,50000

2,30647

3,50000

2,19723

5,00000

2,12618

10,00000

2,05252

100,00000

1,99315

Консольный стержень квадратного трубчатого сечения со стенкой постоянной толщины.

Параметры стержня:

- площадь поперечного сечения А = 4 h_xt;

- ширина стенки h_x = х , где h_н - ширина стенки в нижнем сечении;

- ℓ = Н = К Н , где К = , h_в - ширина стенки в верхнем сечении; с = Н (К-1);

- момент инерции сечения J_x = 2 ,

где J_н = - момент инерции нижнего сечения стержня.

у_x =f₂ (ℓ - x)² , M_x = Ff₂ [H² – (ℓ - x)²].

Э = =

= =

= =

= =

=

- 2 . (65)

Приравняв первую производную нулю и заменив ℓ = К×Н, а с = (К-1) Н, получим критическую силу:

F_cr = (66)

и соответственно коэффициент m:

m = p . (67)

Значение коэффициента m в зависимости от К приведены в таблице 24.

Таблица 24

К

m

1,01000

8,49702

1,10000

5,06095

1,20000

4,15555

1,30000

3,69630

1,40000

3,40815

1,50000

3,20753

1,60000

3,05868

1,70000

2,94336

1,80000

2,85113

2,00000

2,71239

2,50000

2,50628

3,50000

2,31926

5,00000

2,20309

10,00000

2,08691

20,00000

2,03513

6.2.2 Коэффициенты m для установления расчетной длины элементов постоянного сечения с упругими закреплениями концов следует определять по формулам таблицы 25.

Таблица 25

Обобщенная

расчетная схема

Формулы для определения коэффициента m

Частные случаи

Расчетные схемы

Формулы для определения коэффициента m

0,5 £ m £ 2,0

0£ n₁ £ ¥

n = 0

; (I)

2,0 ³ m ³ 0,7

n = ¥

; (II)

1,0 ³ m ³ 0,5

0£ n £ ¥

n₁ = 0

; (III)

2,0 ³ m ³ 1,0

n₁ = ¥

0,5 ; (IV)

0,5 £ m £ 0,7

0,5 ;

0,5 £ m £ 1,0

n₁ = ¥ ; 0 £ n £ ¥

y = ¥

y = 1

; (V)

1,0 ³ m ³ 0,5

y = 0

; (VI)

1,0 ³ m ³ 0,7

;

m ³ 1,0

0£ n £ ¥

n₁ = ¥

0 < n₁ £ p²

n = ¥

p ; (VII)

2,0 > m ³ 1,0

n = 0

(VIII)

1,0

n₁> p²

В табл. 26 приведены примеры определения коэффициентов С_m и С_n.

Таблица 26

№

п.п.

Расчетная схема

системы

Определение

m = l_ef / l по

формуле

табл. 25

№

п.п.

Расчетная схема

системы

Определение

m = l_ef / l по

формуле

табл. 25

1

(VI)

при

С_m =

5.

(IV)

при

С_m =

2

(VI)

при

С_m =

6.

(IV)

при

С_m =

3

(V)

при

С_m =

7.

(IV)

при

С_m = =

4

(I)

при

С_n =

8.

(III)

при

С_m = =

6.2.3 (6.3) Коэффициенты m и m_z для установле ния расчетной длины l_ef = ml (l_ef,z ⁼ m_z l_z) пересека ющихся элементов постоянного сечения в зависи мости от конструктивной схемы узла пересечения следует определять по формулам табл. 27.

Приведенные в табл. 27 расчетные схемы соот ветствуют следующим случаям загружения и кон струкции пересечения элементов в узле:

1) оба элемента не прерываются, поддерживаю щий элемент сжат;

2) оба элемента не прерываются, поддерживаю щий элемент растянут;

3) рассматриваемый элемент не прерывается, поддерживающий элемент сжат, прерывается и пере крывается фасонкой;

4) рассматриваемый элемент не прерывается, поддерживающий элемент растянут, пре рывается и перекрывается фасонкой;

5) рассматриваемый элемент прерывается и пере крывается фасонкой, поддерживающий элемент рас тянут и не прерывается.

Обозначения, принятые в табл. 25: ; ;

С_m - коэффициент жесткости упругого защемления, равный значению реактивного момента, возникающего в опорном сечении при повороте его на угол, равный 1,0;

С_n - коэффициент жесткости упругой опоры, равный значению реактивной силы, возникающей в опорном сечении при смещении его на 1,0.

На рис. 17 приведено сопоставление значений коэффициентов m и m_z пересекающихся стержней, определенных по формулам табл. 27 и по табл. 12 СНиП РК 5.04-23-2002. Как следует из рис. 17, коэффици енты, согласно СНиП РК 5.04-23-2002, не зависят от соот ношения усилий в стержнях и совпадают с точными значениями только при неработающем поддержива ющем стержне.

6.2.4 Расчетные длины l_ef (lef,₁) неразрезных стержней постоянного сечения с различными сжи мающими или растягивающими усилиями в пролетах, как в плоскости, так и из плоскости конструк ции можно определять по формулам табл. 28. Граничные условия, приведенные в поз. 1 и 2 табл. 28 соответствуют расчетной схеме верхнего пояса фермы, а в поз. 3 и 4 - подкрановой ветви решет чатой колонны. При вычислении параметра b по поз. 2 и 4 табл. 28 растягивающие усилия в стержнях необходимо принимать со знаком „минус".

6.2.5 (6.10) Коэффициенты расчетной длины m колонн постоянного сечения свободных рам в плос кости рамы при жестком креплении ригелей к ко лоннам и при одинаковом нагружении верхних уз лов следует определять по формулам табл. 17, а СНиП РК 5.04-23-2002. При этом вместо формул (74, а) и (74,б) при предельных значениях параметров р и п допускается пользоваться формулами табл. 29.

Условные обозначения:

- по СНиП РК 5.04-23-2002

- по схемам 1 и 2 табл.27

- по схемам 3 и 4 табл.27

Рисунок 17 - График для определения значений коэффициентов расчетных длин

пересекающихся стержней (при равных длинах и жесткостях) при различных усилиях в них

Таблица 27

№

п.п.

Расчетная схема конструкции узла

m и m_z

при m = ; n₂ = ; a_{z =} N_z/N

1

m = ³ 0,5

m_z = ³ 0,5

2

m = ³ 0,5

a_z > 0

3

m = ³ 0,5

m_z = > 0,5;

m_z = 0,5 при

EI ³

4

m = ³ 0,5;

a_z > 0

5

m = 0,5 при

EI_z ³ ;

1 ³ > 0

6.2.6 Коэффициенты расчетной длины m колонн постоянного сечения несвободных рам (рис. 18) в плоскости рамы при жестком креплении ригелей к колоннам и при одинаковом нагружении верхних узлов следует определять по формуле 74,в СНиП РК 5.04-23-2002. При этом в частных случаях эта формула может быть упрощена:

при р = 0 m = ; при р = ¥ m = . (68)

Таблица 28

№

п.п.

Расчетная схема элементов

конструкций

Отношение усилий

Расчетная длина l_ef (l_ef,₁)

1

2

3

4

1

В плоскости

a =

1 ³ a ³ -0,55

l (0,17a³ + 0,8) ³ 0,8l

2

Из плоскости

(q-1) ³ b ³ -0,5

l₁ ³ 0,5 l₁

3

В плоскости

a = ;

1 ³ a ³ 0

³ 0,6 l

4

Из плоскости

(q-1) ³ b ³ 0

l₁ ³ 0,5 l₁

Таблица 29

р

n

Формулы для определения коэффициента m

¥

От 0,03 до 0,2

1,21

Св. 0,2

0

От 0,03 до 0,2

2,15

Св. 0,2

2,0

0,03 £ р £ 50

¥

а - одноэтажных; б - многоэтажных; в - многопро летных

Рисунок 18 - Схемы деформаций несвободных рам

6.2.7 При наличии жесткого диска покрытия или продольных связей по верху колонн в расчетный блок допускается включать по две рамы с каждой стороны, перпендикулярной плоскости рассматрива емой рамы. При этом коэффициент m_max расчетной длины наиболее нагруженной колонны постоянного сечения в производственном здании с кранами (мос товыми или подвесными) при неравномерном рас пределении нагрузок от крана следует определять по формуле

m_max = m ; (69)

(но не менее 0,7 m),

где m - коэффициент расчетной длины рассматриваемой колонны одно- и многопроленого здания при равномерном нагружении узлов, определенный согласно пп. 6.2.5 и 6.2.6;

a_ij = ;

здесь N_тах - усилие в наиболее нагруженной колонне рассматриваемой плос кой рамы;

N_y - усилия во всех колоннах (в том числе в рассматриваемой) рас четного блока;

X_ij = ;

I_c,max - момент инерции наиболее нагру женной колонны рассматривае мой плоской рамы;

I_cij - моменты инерции всех колонн расчетного блока;

i = 1, 2,..., k_l +1 - номер колонны в плоскости ра мы (k_l - число пролетов) ;

j = 1, 2, 3,4, 5 - номер рамы.

6.2.8 (6.11) Коэффициенты m₁ расчетной длины нижнего участка одноступенчатых колонн при раз личном креплении их верхних концов следует опре делять в зависимости от соотношения нагрузок, длины и жесткостей верхнего и нижнего участков по формулам табл. 30, в которой приведены конструк тивные схемы производственных зданий, соответ ствующие различным расчетным схемам колонн, и табл. 31.

6.2.9 Примеры определения расчетных длин стоек рам

Пример 1. Рассмотрим случаи определения коэф фициентов m расчетной длины стоек при предельных значениях n и p.

При n и p, стремящихся к бесконечности, по фор мулам табл. 29 находим:

а) при p = ¥ и n = 0,2 m = 1,21 = 1,48;

б) при р = ¥ и n = 5,0 m = = 1,03.

При p = 50 и n = 0,2 и n = 5,0 согласно п. 6.10 СНиП РК 5.04-23-2002 получим соответственно m =1,49 и m = 1,03.

В случае шарнирного закрепления в фундаменте стойки одного яруса рамы рекомендуется пользо ваться формулами табл. 29 при p = 0 и n > 0,2. Откуда находим:

а) при p = 0 и n = 1,0 m = 2 = 2,26;

б) при p = 0 и n = ¥ m = 2 = 2 = 2.

Пример 2. Требуется определить значения коэф фициентов расчетной длины m средних колонн мно гопролетных и многоэтажных зданий.

1. Исходные данные. Двухпролетная одноэтажная рама с жестким закреплением колонн в фундамен тах и жестким креплением ригелей к колоннам по стоянного сечения. Здесь и далее в примерах прини маем l_r1 = l_r2 = l_r; I_r2 = I_r1 = I_r (одинаковые пролеты и сечения ригелей); I_r / I_c = 3; l_c/ l_r = 0,2;

а) здание, нагруженное силами N во всех узлах по верху колонн.

При k = 2 и n₁ = n₂ = = 0,6

вычислим n = = = 0,8;

по таблице 17,а СНиП РК 5.04-23-2002 m = = 1,2;

б) здание при неравномерном нагружении узлов в плоскости рамы (одной колонны силой N, а двух других - силами 0,5 N).

По формуле (69) при Sa_I = 1 + 0,5 + 0,5 = 2 и SX_i = 3

m = 1,2 = 0,98;

в) здание при наличии продольных связей в кон струкции и нагружении в расчетном блоке (из пяти рам) одной колонны в средней раме силой N и двух других колонн в средней раме силами 0,5 N, а ос тальных колонн в четырех рамах - силами 0,3 N.

Тогда Sa_i = 12 × 0,3 + 2 × 0,5 + l = 5,6, и SX_i = 15.

По формуле (69) m = 1,2 = 0,73;

г) здание при нагружении одной колонны в сред ней раме силой N, двух других колонн силами 0,3 N и всех колонн в оставшихся четырех рамах расчет ного блока силами 0,1 N.

При Sa_i, = 12 × 0,1 + 2 × 0,3 + 1 = 2,8 и SX_i = 15; по формуле (69) m = 1,2 = 0,52.

Так как вычисленное m < 0,7, следует принять m = 0,7 (см. поз. 2 табл. 21);

д) конструкция обеспечена от возможности бо ковой потери устойчивости системы в целом и ее можно отнести к категории несвободной рамы.

При n = 0,8 по формуле (68) m = = 0,64.

2. Исходные данные. Десятипролетная одноэтаж ная рама с жестким закреплением колонн в фунда ментах и жестким креплением ригелей равных про летов и сечений к колоннам постоянного сечения нагружена силой N во всех узлах:

а) I_r/I_c = 3; l_c/l_r = 0,2.

При k = 10 и n₁ = = 0,6; n = = 1,09;

по табл. 17,а СНиП РК 5.04-23-2002 m = = 1,16;

б) I_r/I_c = 3; l_c/l_r = 2.

При k =10 и n₁ = n₂ = = 3 × 2 = 6 n = = 10,9;

по табл. 17,а СНиП РК 5.04-23-2002 m = = 1,02.

Пример 3. Требуется определить значения коэф фициентов m₁ расчетной длины нижнего участка одноступенчатых колонн при различных значениях параметров, приведенных в табл. 30 и 31:

1) для схемы 1 при р = 0,2 и m = 2,0; I₂/I₁ = 0,5; n = 0,25 вычислим = 1,6;

при 1,35 - 0,35a₁ = 0,91 > n по формуле поз. 1 табл. 30 m₁ = 3,28;

2) для схемы 1 при F₁ = 0 и m = 2,0; I₂/I₁ = 0,5; n = 0,25 вычислим = 8,0;

при 1,35 - 0,35a₁= 036 > n по формуле поз. 1 табл. 30 m₁ = 7,15;

3) для схемы 2 при p = 0,2 и m = 2,0; I₂/I₁ = 0,5; n = 0,25 вычислим = 1,6;

при 1,35-0,35a₁ = 0,91 > n по формуле поз. 2 табл. 30 m₁ = 2,12;

4) для схемы 2 при p = 0,8 и m = 2,0; I₂/I₁ =1,2 >1, n=0,6 вычислим = 2,7;

при 1,35 - 0,35a₁ = 0,78 > n по формуле поз. 2 табл. 30 m₁ = 2,59;

5) для схемы 3 при F₂ = 0 и p = 0, m = 2,0; I₂/I₁ = 0,04; n = 0,02 по формуле поз. 5 табл. 31 m₁= 1,86;

6) для схемы 3 при F₁ = 0 и p = 1,0; т = 0,1; I₂/I₁ =1,0; n = 10,0 по формуле поз. 6 табл.31 m = 0,77;

7) для схемы 4 при F₂=0 и р = 0, m = 2,0; I₂/I₁ = 0,04; n = 0,02 по формуле поз. 7 табл. 31 m₁ = 1,83;

8) для схемы 4 при F₁= 0 и p= 1,0; m = 0,1; I₂/I₁ =1,0 и n = 10,0 по формуле поз. 8 табл. 31 m₁= 0,55.

6.2.10 (6.14) Ограничения гибкостей сжатых стержней вводятся с целью повышения экономич ности и надежности стальных конструкций. В опре деленной мере это реа лизуется за счет более полно го использования прочностных свойств стали как материала, поскольку с увеличением гибкости стержней уровень использования проч ности стали уменьшается. Отсюда следует, что применять вы сокопрочные стали при больших гибкостях эконо мически нецелесообразно. Ограничения гибкостей способствуют также уменьшению искривлений стержней при изготовлении, транспортировании и монтаже. Для стержней, сечения которых назнача ются по предельным гибкостям, допускается увели чить предельную гибкость в соответствии со СНиП РК 5.04-23-2002.