4) При выборочном приемочном контроле, например при контроле по альтернативному признаку, в качестве целевого значения можно использовать долю несоответствующих единиц продукции в выборке или приемлемый уровень качества AQL. Значения AQL устанавливают в нормативных документах или в контракте (ГОСТ Р 50779.70; ГОСТ Р 50779.71). Целевое или опорное значение в этом случае - AQL.
5.3 Меры вариации
Основная статистическая мера вариации - выборочное стандартное отклонение s (оценка s). Для масштабирования карты и создания базы для критериев значимости необходима мера собственной кратковременной вариации в серии. Оценка и расчет выборочного стандартного отклонения s приведены в ГОСТ Р 50779.21.
Если такая мера вариации, как оценка выборочного стандартного отклонения не подходит из-за характера производственного процесса или выборочной процедуры, то вариацию можно оценить с помощью такой статистики, как размах выборки (ГОСТ Р 5077.42, ГОСТ Р 51814.3).
5.4 Предварительные шаги при построении КУСУМ-карты
При построении КУСУМ-карты необходимо сделать следующие предварительные шаги:
1) В зависимости от задачи выбрать надлежащее опорное или целевое значение из приведенных ниже:
а) центр поля допуска;
б) удовлетворительный уровень работоспособности процесса, который с разумной вероятностью может быть достигнут;
в) средний уровень процесса за предыдущий или типичный период времени или интервал;
г) средний уровень всей серии результатов измерений переменной, когда предусмотрен анализ предыдущих данных.
Обоснование выбора опорного или целевого значения приведено в [3].
2) Выбрать подходящую меру вариации.
3) Выбрать масштаб шкалы (приложение А).
4) Обучить персонал работе с КУСУМ-картой.
5.5 Необходимая информация
КУСУМ-карта должна содержать следующую необходимую информацию:
а) целевое значение (которое может сопровождаться кратким указанием причин его выбора, например установленное среднее арифметическое значение);
б) стандартное отклонение значений переменной (которое может сопровождаться комментариями по методу его оценки);
в) характер наблюдений (исходные значения, выборочные средние, число несоответствий и т.п.);
г) наименование, указывающее назначение карты (например «КУСУМ-карта для управления...» или «КУСУМ-карта для анализа предыдущих данных...»);
д) обозначение осей;
е) возникающие или вносимые изменения при работе процесса. Они могут быть помечены в соответствующих точках шкалы выборочных интервалов i для анализа кривой КУСУМ. Например, новая партия материала для производственного процесса, смена персонала или изменение методов работы.
5.6 Выбор начальной точки для построения КУСУМ-карты
В большинстве случаев для построения карты за начальную точку рекомендуется брать нуль с возможностью нанесения положительных и отрицательных значений КУСУМ. Выбор начальной точки не влияет на последующий анализ данных. Если предпочтительны неотрицательные значения, кривую можно начать строить с подходящего положительного значения. Например, когда контрольная карта продолжает предыдущую или кривая КУСУМ выходит за верхнюю или нижнюю границы карты, рекомендуют начать новую карту (или интервал) со значения, соответствующего общему уровню процесса перед окончанием ведения предыдущей карты (или интервала).
5.7 Вычисление локальных средних проводят в соответствии с приложением Б.
6.1 При мониторинге и управлении процессом процедура КУСУМ помогает решать две задачи:
- обнаружение значимых сдвигов (изменений) процесса от целевого уровня;
- определение точек их возникновения.
6.2 Правила принятия решений
Основное правило принятия решений заключается в построении на КУСУМ-карте V-маски и определении значимых изменений при выходе точек кривой КУСУМ за линии V-маски. Существуют три различных формы масок, они идентичны по принципу построения и действию: полная V-маска, усеченная V-маска и параллельная маска. Наиболее распространенная из них - усеченная V-маска.
Схематическое изображение усеченной V-маски или шаблона V-маски приведено на рисунке 1. Отрезки АВ и АС называют интервалами решений и обозначают Н, а линии BD, СЕ - разрешающими линиями.
Обозначения:
Н = АВ = АС = 5 - интервалы решений;
2H = DF = FE = 10;
d = 10 - число выборочных интервалов;
СЕ и BD - разрешающие линии
Рисунок 1 - Шаблон усеченной V-маски
Для удобства работы на местах с КУСУМ-картой применяют шаблон V-маски, который можно сделать из прозрачного пластика, плотной бумаги или пленки. На практике для построения шаблона от оси AF, проходящей параллельно горизонтальной оси КУСУМ-карты, откладывают отрезки Н = АБ = АС = 5, перпендикулярно AF. На расстоянии d = 10 выборочных интервалов влево от точки А перпендикулярно оси AF откладывают отрезки FD = FE = 10. Значения 5 и 10 могут быть вычислены на основе значений и масштабного множителя. Пояснения по выбору масштаба приведены в приложении А. Шаблон применяют, помещая опорную точку А на любую нанесенную точку на контрольной карте. Рекомендуется выбирать последнюю нанесенную на карту точку, но это может быть и точка в любом предыдущем интервале. Если какая-либо из предшествовавших точек окажется вне наклонных разрешающих линий BD и СЕ (или их продолжений), то это сигнал о значимом отклонении процесса от целевого значения. Если вся кривая КУСУМ находится между лучами, то существенного сдвига нет.
Пример работы с усеченной V-маской приведен в приложении В.
Расчет и построение локальных разрешающих линий изложены в приложении Б.
6.3 Чтобы определить эффективность процедур принятия решений на основе V-масок, необходимо рассмотреть такую характеристику, как среднее число серии выборок (ARL). ARL - является случайной величиной и характеризует среднее число выборок, на основе которого принимается решение о корректировке процесса при одном и том же среднем значении контролируемого параметра процесса (ГОСТ Р 50779.41). Если не возникает реального изменения процесса, ARL должна быть большой и характеризовать среднее число сотен выборок, так как любые сигналы о выходе процесса из статистически управляемого состояния будут тогда ложными тревогами. Если возникает большой сдвиг от цели, рекомендуют назначать величину ARL малой для быстрого обнаружения изменения состояния процесса. Взаимосвязь правил принятия решений и величины отклонения контролируемого параметра от цели можно представить кривой средней длины серии выборок, дающей возможность сравнения правил принятия решений аналогично оперативной характеристике для процедур выборочного контроля (ГОСТ Р 50779.70; ГОСТ Р 50779.71).
Примечание - Иногда вместо ARL применяют другие характеристики, например такие, как мода или медиана длины серии выборок.
Когда действительное состояние процесса неудовлетворительно, правило принятия решения должно давать как можно более ранний сигнал об изменении процесса, то есть ARL должно быть малое, и наоборот.
Например:
Действительное состояние процесса Сигнал КУСУМ-карты
На цели или около нее Большое ARL (мало ложных тревог)
Существенное отклонение от цели Малое ARL (быстрое обнаружение)
При сравнении поведения ARL КУСУМ-карт и контрольных карт Шухарта ARL КУСУМ-карт более эффективны, а именно: ARL имеют большие значения для процесса, находящегося на цели, и малые значения при значительном сдвиге процесса от цели - при значении 1,0. Сравнительный анализ КУСУМ-карт и контрольных карт Шухарта приведен в [4].
7.1 При анализе данных, полученных при проведении длинных серий наблюдений, могут быть применены несколько критериев по оценке различия данных между последовательными интервалами. Одни из них - критерий «перекрытия».
При рассмотрении КУСУМ-карты и анализе возможных точек изменения среднего уровня контролируемой переменной основой разбиения на интервалы являются локальные максимумы и минимумы кривой. Критерий оценки значимости такого изменения - максимальная степень отклонения кривой КУСУМ от прямой, соединяющей крайние точки графика на интервале выборок, в котором подозревается изменение.
Для КУСУМ-карты максимальную высоту Vmax, нормированную делением на стандартное отклонение, определяют с помощью построения хорды АВ (см. рисунок 2), соединяющей точки графика в концах последовательности значений КУСУМ, и измерением максимального вертикального расстояния CD от подозреваемой точки на графике до хорды. Этот максимум возникнет в видимой точке перегиба кривой (в максимуме или минимуме) или в точке, где наклон становится круче или сглаживается. Такие точки на графике называют «углами».
Обозначение:
CD = Vmax
m - интервал выборок
Рисунок 2 - Применение критерия «перекрытий» к КУСУМ-карте (данные из таблицы В.1 приложения В)
Если доступны исходные данные при вычислении КУСУМ, максимальную высоту Vmax можно вычислить по формуле
Vmax = Сr - Ci - (Cj - Ci), m = j - i, (6)
где r - номер выборки, соответствующей точке возможного изменения в последовательности от i + 1 до j (то есть i, r и j - последовательные «углы» КУСУМ-карты);
Сr, Сi, Сj- значения кумулятивных сумм в соответствующих точках r, i, j возможного перегиба кривой КУСУМ;
m - интервал выборки; m = j - i.
Анализ превышения значения Vmax над перекрытием можно проводить непосредственным измерением по карте, с помощью номограммы и подсчета вероятности превышения Vmax над перекрытием в соответствии с [1].
В случае, если целью процедуры КУСУМ является обнаружение нестандартных состояний без представления графической зависимости последовательных данных, то значения каждой точки последовательности (во времени) можно представить в табличной форме. В этом случае численное правило принятия решений заменяет правило принятия решений на основе усеченной V-маски, как указано в [1].
А.1 Соотношение между шкалами КУСУМ-карты, то есть значениями КУСУМ и номерами выборок определяет вид контрольной карты. Слишком широкое деление шкалы КУСУМ даст кривую в виде пилы, на которой будет трудно обнаружить мелкие изменения, а большие сдвиги среднего быстро выведут кривую за пределы графика. Слишком узкое деление шкалы подавит малые вариации, но может также подавить реальные изменения среднего арифметического измеряемых данных.
Широко применяют соотношение размера единицы шкалы КУСУМ примерно в 2 на один интервал выборки, то есть масштаб А = 2. Это соотношение можно применять в следующих трех случаях, приведенных в А.2, А.3, А.4.
А.2 Выбирают удобный интервал шкалы для номеров выборок. Например, расстояние между выборками с номерами i и i + 1; i + 1 и i + 2 и так далее 5 мм для настольной контрольной карты (1-2 см - для настенной).
Интервал по шкале КУСУМ выбирают примерно 2 единиц измеряемой переменной. При десятичной сетке предпочтительно округлить 2 до одного из целых чисел 1,0, 2,0, 4,0, 5,0 или другого кратного им. Если 2 оказалось посредине между принятыми числами, предпочтительно меньшее. Если 2 соответствует 10 мм между номерами выборок по шкале i, надо взять 10 мм = 5 единиц шкалы КУСУМ (а не 10 мм = 10 единиц шкалы КУСУМ).
А.3 Выбирают удобную шкалу КУСУМ и затем принимают расстояние 2 за единицу шкалы i на один интервал выборки.
Это дает небольшое преимущество сохранения точного соотношения 2. Например, изменение от горизонтального участка кривой КУСУМ к участку под углом 45° представит сдвиг среднего на 2s единиц. При этом некоторые принимаемые решения на основе КУСУМ-карты можно интерпретировать в углах (или их тангенсах).
А.4 Если для сравнения контрольных карт кумулятивных сумм двух или нескольких переменных при той же последовательности измеряемых переменных желательны одинаковые коэффициенты шкал и равенство шкалы i, то можно применять приведенную КУСУМ-карту. В этом случае вместо формулы применяют формулу, в которой отклонения от цели делят на оценку стандартного отклонения :
. (А.1)
Эта процедура устанавливает = 1, и единица шкалы i соответствует двум единицам шкалы КУСУМ. В этом случае можно сравнивать разные контрольные карты наложением или совмещением.
Недостаток данной процедуры - потеря прямого контакта с рассматриваемой переменной. Кроме того, операция по приведению значений переменных в нужный масштаб может привести к дополнительным трудностям.
А.5 При выборе коэффициента шкалы вид округления может влиять на выбор обоих коэффициентов шкал и сетки графика. Например, измерения в часах, месяцах, дюймах удобнее строить на сетке, поделенной на 12 частей, а не на 10.
А.6 Двоичные данные или счет событий, содержащие нули
Процедура КУСУМ подходит и для счетных (альтернативных) данных, но при масштабировании могут возникнуть трудности, когда данные двоичны (0 - отказ и 1 - успех) или содержат много нулей (при контроле выборок на наличие несоответствующих единиц при хорошем качестве партий продукции). Эти трудности могут быть устранены выбором интервала между точками выборок на горизонтальной оси КУСУМ-карты.
Нужна соответствующая классификация ожидаемой доли р успехов или отказов (что из них реже) с баллом 1. В случае счета событий следует оценивать среднее число событий (успехов или отказов) на выборку. Если оно больше единицы, особого масштабирования не требуется и принимается обычное соотношение 2, где - оценка стандартного отклонения числа событий на выборку.
