|
Заданные границы интервала |
Искомая величина |
Номер таблицы |
|
|
, |
8.4 |
|
|
, |
8.5 |
|
, |
, |
8.6 |
|
|
, |
8.7 |
|
|
, |
8.8 |
|
, |
, |
8.9 |
5.6 Процедуры интервального оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале, изложенные в разделе 8 настоящего стандарта, являются простыми для применения, но не самыми эффективными. Более эффективными являются процедуры с использованием таблиц нецентрального распределения Стьюдента или таблиц толерантных множителей, которые в настоящем стандарте не приведены.
6 Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности
6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.
Таблица 6.1 - Оценка среднего значения при известной дисперсии
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
|
1 Объем выборки: |
1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня : |
|
|
|
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: |
2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня : |
|
|
|
|
3 Известное значение дисперсии: |
3 Вычисляем: |
|
|
|
|
4 Выбранная доверительная вероятность: |
4 Вычисляем: |
|
|
|
|
|
5 Вычисляем: |
|
|
|
|
Результаты |
|
|
1 Точечная оценка параметра : |
|
|
|
|
|
2 Двусторонний симметричный доверительный интервал для : |
|
|
. |
|
|
3 Односторонние доверительные интервалы для : |
|
|
или |
|
|
. |
|
|
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А. |
|
Примеры
1 Определение настроенности станка-автомата при механической обработке (например, токарного, шлифовального). Точность станка, определяемая разбросом получаемых размеров деталей без изменения настройки, считается известной, а центр настройки требуется определить. Возможны оценки в виде точечного значения или в виде интервала, который с известной степенью доверия (доверительной вероятностью) включает неизвестное значение . Интервал может быть:
- двусторонним, если необходима уверенность с заданной доверительной вероятностью, в каких пределах может лежать ;
- односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что не выше какого-то значения;
- односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что не ниже какого-то значения.
2 Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.
3 Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т.е. известным параметром ), в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую или меньшую стороны от центра настройки . Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.
6.2 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.
Таблица 6.2 - Оценка среднего значения при неизвестной дисперсии
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
|
1 Объем выборки: |
1 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы: |
|
|
|
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: |
2 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы: |
|
|
|
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: |
3 Вычисляем: |
|
|
|
|
4 Степени свободы: |
4 Вычисляем: |
|
|
|
|
5 Выбранная доверительная вероятность: |
5 Вычисляем: |
|
|
|
|
|
6 Вычисляем: |
|
|
|
|
|
7 Вычисляем: |
|
|
|
|
Результаты |
|
|
1 Точечная оценка параметра : |
|
|
|
|
|
2 Точечная оценка параметра : |
|
|
|
|
|
3 Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра : |
|
|
. |
|
|
4 Односторонние доверительные интервалы для параметра : |
|
|
(1) |
|
|
или |
|
|
. (2) |
|
|
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б. |
|
Примеры - Примеры те же, что в 6.1, но точность, определяемая разбросом контролируемых значений, заранее неизвестна.
6.3 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением при известной дисперсии приведен в таблице 6.3.
Таблица 6.3 - Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением при известной дисперсии
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
|
1 Объем выборки: |
1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня : |
|
|
|
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: |
2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня : |
|
|
|
|
3 Заданное значение: |
3 Вычисляем: |
|
|
|
|
4 Известное значение дисперсии генеральной совокупности: |
|
|
|
|
|
или стандартного отклонения: |
|
|
|
|
|
5 Выбранный уровень значимости: |
|
|
|
|
|
Результаты |
|
|
Сравнение выборочного среднего значения с заданным значением : |
|
|
1 В двустороннем случае: |
|
|
Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|
|
. |
|
|
2 В одностороннем случае: |
|
|
а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|
|
; |
|
|
б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|
|
. |
|
|
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А. |
|
Пример - Проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение. Точность технологического процесса предполагается известной или заранее оцененной, т.е. значение известно.
Возможные технологические процессы: механическая обработка, расфасовка и другие, где равновозможны отклонения контролируемого параметра в большую и меньшую сторону от центра настройки.
6.4 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.4.
Таблица 6.4 - Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением при неизвестной дисперсии
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
|
1 Объем выборки: |
1 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы: |
|
|
|
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: |
2 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы: |
|
|
|
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: |
3 Вычисляем: |
|
|
|
|
4 Заданное значение: |
4 Вычисляем: |
|
|
|
|
5 Степени свободы: |
5 Вычисляем: |
|
|
|
|
6 Выбранный уровень значимости: |
|
|
|
|
|
Результаты |
|
|
Сравнение выборочного среднего значения с заданным значением : |
|
|
1 В двустороннем случае: |
|
|
Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|
|
. |
|
|
2 В одностороннем случае: |
|
|
а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|
|
; |
|
|
б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|
|
. |
|
|
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б. |
|
Примеры
1 То же, что в примере 6.3, но точность технологического процесса заранее неизвестна.
2 Контрольные проверки в розничной торговле и сфере обслуживания.
Например, у пяти человек, купивших по 1 кг сливочного масла, проводят повторное взвешивание товара на контрольных, более точных весах. При этом должен быть получен ответ на вопрос: являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.
То же - при отпуске бензина и масел на автозаправочных станциях, то же - при продаже тканей в магазинах и т.п.
6.5 Алгоритм решения задачи сравнения двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.5.
Таблица 6.5 - Сравнение двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
||
|
|
Первая выборка |
Вторая выборка |
1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня : |
|
1 Объем выборки: |
|||
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: |
2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня : |
||
|
3 Известные значения дисперсий генеральных совокупностей: |
|||
|
4 Выбранный уровень значимости: |
3 Вычисляем: |
||
|
|
; |
||
|
|
4 Вычисляем: |
||
|
|
|
||
|
Результаты |
|||
|
Сравнение средних значений двух совокупностей: |
|||
|
1 В двустороннем случае: |
|||
|
Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|||
|
. |
|||
|
2 В одностороннем случае: |
|||
|
а) предположение о том, что первое среднее не менее второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|||
|
; |
|||
|
б) предположение о том, что первое среднее не более второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
|||
|
. |
|||
|
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А. |
|||
