4.5. Расчет управляющих программ
Расчет программных управлений, соответствующих различным условиям движения и уровням спроса на пользование автомагистралью, является одним из важнейших моментов при проектировании систем управления движением.
4.5.1. Задача расчета управляющей программы для дачного участка автомагистрали и фиксированного отрезка времени T = NΔ формулируется следующим образом: на основе принятой модели (4.1) при параметрах, соответствующих заданным условиям движения, и переменных входа, соответствующих заданному спросу, найти управление U = {UR, UV, UL}, оптимальное в смысле принятого критерия функционирования. При этом выбор критерия функционирования должен соответствовать стратегическим целям системы управления, в частности, при высоком уровне спроса на пользование магистралью отражать неизбежный компромисс между плотностью потока и временем ожидания въезда. Критерий формализуется введением целевого функционала J{X(t), V(t)}, на управление накладываются ограничения физической реализуемости (UR - неотрицательны и целочисленны; UV - соответствуют значениям указаний скорости, содержащихся в управляемых знаках; число переключений ограничено). Помимо ограничений физической реализуемости на переменные UV накладываются ограничения по величине допустимой скорости (см. п. 4.4.).
4.5.2. Расчет программных управлений сводится к решению следующей задачи дискретного оптимального управления:
(4.7)
где (4.7) - векторная запись уравнений (4.3);
Ωt - область допустимых управлений.
4.5.3. В качестве наиболее универсальных предлагаются функционалы:
(4.8)
который соответствует критерию максимального потока в наиболее «узком» из контрольных сечений (максимальный критерий пропускной способности)
(4.9)
сумма квадратичных форм от плотностей потоков и длин очередей на въездах, которая соответствует критерию обобщенной задержки [3]. В зависимости от конкретных условий становится оправданием применение одного из введенных критериев. Наличие же активных ограничений на UV делает разницу между ними несущественной ввиду малости области допустимых управлений.
Во время часа «пик», когда уровень загрузки превышает оптимальный, в нормальных условиях движения следует использовать функционал (4.8). При этом режим движения на дороге в целом будет назначаться исходя из условий наиболее полного использования пропускной способности дороги.
Во второй характерной ситуации, когда уровень загрузки ниже оптимального и условия движения благоприятны, следует использовать функционал (4.9).
В третьей характерной ситуации - при действии неблагоприятных погодно-климатических факторов и в ночное время - ограничения на область допустимых управлений по условиям безопасности движения выступают в роли активных и по этой причине вид целевого функционала не имеет определяющего значения.
Изложенная концепция о критериях управления была выдвинута канд. техн. наук А.П. Васильевым.
Таким, образом, управляющие программы вычисляются как решение оптимальной задачи с ограничениями. Компромисс «безопасность-задержки I рода-задержки II рода» разрешается при этом следующим образом: ограничения по безопасности движения, накладываемые условиями, имеют безусловный характер; в рамках этих ограничений вычисляются управления, оптимальные по критерию стоимостного (различные варианты суммирования задержек) или минимаксного типа (различные варианты учета пропускной способности участка).
4.5.5. Сформулированная задача имеет большую размерность (60 - 80 в практически интересных случаях), но весьма простую структуру, задаваемую элементарными графами. Ее численное решение осуществляется с помощью комбинации известных методов: случайного поиска и локальных вариаций, причем области постоянства целевого функционала параметризуются с помощью штрафных функций. Следует отметить, что в качестве диспетчерского решения (нулевого, приближения оптимального) используется так называемые «нейтральное управление» - въезды открыты, скорости ограничены только по значениям V*(ρ), смена полос разрешена. Отличия оптимального управления от диспетчерского характеризуют преимущества координации локальных управляющих воздействий.
4.5.6. Эффективность предлагаемого алгоритма была проверена в эксперименте на ЭВМ, проведенном по реальным данным для головного участка (7,2 км) дороги Москва-Рига. Он продемонстрировал успешную работу алгоритма как в стандартных, так и в ряде экстремальных ситуаций (закрытие одной или двух полос в пределах отдельного участка).
4.6. Алгоритм анализа входных сигналов
4.6.1. Одним из типичных случаев смены программных управлений является ситуация значительного изменения спроса на пользование автомагистралью, связанного с неравномерностью суточной интенсивности движения. Резкие перепады интенсивности в различных сечениях автомагистрали могут вызываться локальным заторами, ДТП и другими обстоятельствами, требующими оперативного вмешательства. Поэтому важной задачей управления движением является фиксация момента существенного изменения интенсивности движения на фоне ее неизбежных случайных флуктуаций. Для решения этой задачи предлагается процедура фильтрации интервальных (за такт Δ) значений интенсивности движения.
4.6.2. Процедура основана на модели Бреймана [12] для случайного процесса интервальных отсчетов J, силу которой
J(t) = Yt + Zt. (4.10)
Медленно меняющийся процесс Yt подчиняется условию:
E[|Δ2Yt|] ≤ β, (4.11)
где E - оператор математического ожидания;
Δ2 - оператор второй конечной разности;
β = const.
Zt - стационарный гауссовский процесс с параметрами
E[Zt] = 0, E[Zt, Zs] = δtsσ2,
причем δts = символ Кронекера, а отношение β/σ - мало.
По материалам наблюдений за интенсивностью движения, проведенных на дорогах Московского транспортного узла, установлен следующий диапазон для величин β/σ: 0,001 ≤ β/σ ≤ 0,01 при Δ = 1 мин.
4.6.3. Модели (4.10), (4.11) приводятся к стандартной форме линейного стохастического разностного уравнения:
(4.12)
где
В такой постановке задача фильтрации интервальных отсчетов интенсивности сводится к оценке «переменной состояния» по наблюдениям сигнала J(t) [3]. Ковариационные матрицы ω, ξ и начальной оценки равны соответственно:
где
Задача решается с помощью алгоритма фильтрации Калмана.
4.6.4. Предложенный алгоритм осуществляет разделение шкал изменений интенсивности на шкалу существенных изменений и шкалу флуктуации. На рис. 11 представлены фактическая и сглаженная траектория интервальных отсчетов для 50-минутного интервала наблюдений, произведенного на МКАД (лето 1978 г.). Сглаженные траектории соответствуют h = 0,0001 и h = 0,00001.
Рис. 11. Сглаживание случайного процесса интервальных отсчетов
4.6.5. Оптимальные значения параметров фильтра определялись на материале реальных данных на стационарном (140 мин.) и нестационарном (393 мин.) тестах. Значения параметров фильтра таковы: К = ||0,0796; 0,0795; 0,0765|| в стационарном случае и K = ||0,1415; 0,1415; 0,1322|| в нестационарном.
Ковариационные матрицы равны соответственно:
4.6.6. Другим эффективным алгоритмом сглаживания является алгоритм с запаздыванием, построенный на результатах [12]. Алгоритм основан на нахождении параметров {ak}, обеспечивающих минимум выражения
в классе последовательностей {Y}, удовлетворяющих условию (4.11).
Здесь δ - параметр запаздывания и, разумеется, Wδ < W'δ при δ > δ'. Коэффициенты вычисляются по формулам:
где
Ниже приведены значения ai при δ = 10 и типичном значении γ = 46.
a0 = 0,051523; a1 = a-1 = 0,051411;
a2 = a-2 = 0,051076; a3 = a-3 = 0,050521;
a4 = a-4 = 0,049753; a5 = a-5 = 0,048776;
a6 = a-6 = 0,047601; a7 = a-7 = 0,046239;
a8 = a-8 = 0,044701; a9 = a-9 = 0,043002;
a10 = a-10 = 0,041157.
Алгоритм реализован на ЭВМ и предлагается в качестве альтернативного (или дополнительного) варианта реализации блока 14.
4.6.7. Сглаженная траектория интервальных отчетов дает оператору и контуру автоматического управления информацию об истинном, «свободном от флуктуации» уровне интенсивности.
Алгоритм прерывания устанавливает количественную меру существенности изменения и момент прерывания периода, в котором уровень интенсивности считается постоянным. Он основан на статистике Бреймана:
(4.13)
где J(t) - определено в п. 4.6.2.;
σ2 - дисперсия одиночного отсчета. Согласно результатам Бреймана статистика B(t) распределена нормально с параметрами 0 и 1.
4.6.8. Алгоритмы прерывания
Шаг 0. Положить t = 0.
Шаг 1. Вычислить B(t).
Шаг 2. Если |B(t)| < α, то {t: = t + 1, перейти к шагу 0}.
Шаг 3. Найти ближайшее t0 < t, где |B(t)| ≤ 1; перейти к шагу 0.
Точка t0 является точкой прерывания. Рекомендуемое значение α = 3,5. При этом вероятность ошибочного прерывания (например, на интервале 100Δ) равна:
P{max |B(t)| > α} = 0,04.
0 ≤ t ≤ 100
4.6.9. Применение теста к анализу изменения интенсивности в период с 7.00 до 13.30 на одной из автомобильных дорог московского транспортного узла по реальным данным показало его высокую эффективность. По результатам теста выделены следующие промежутки со статистически значимыми изменениями интенсивности:
Первый промежуток 7.00 - 8.14................. 1577 авт/ч;
Второй -"- 8.15 - 9.47................. 1880 -"-
Третий -"- 9.48 - 13.30............... 1978 авт/ч.
4.7. Оценивание фазовых переменных транспортного потока
4.7.1. Фазовые переменные транспортного потока не поддаются непосредственным измерениям в рамках технического обеспечения, используемого в системах управления движением. По этой причине в цепи обратной связи таких систем должен присутствовать преобразователь информации, осуществляющий оценивание фазовых переменных объекта управления по текущим значениям его непосредственно измеряемых параметров. В рамках прилагаемой технологии управления оцениванию подлежат средние плотности и скорости по пространственно-временной совокупности, соответствующей данной полосе движения в пределах определенного участка магистрали и временного такта. Задача оценивания решается изолированно для отдельного участка магистрали, при этом непосредственным измерениям подлежат интенсивности и средние за такт Δ скорости движения по каждой полосе начального и конечного сечения участка.
4.7.2. Помимо значений непосредственно измеряемых параметров транспортного потока используется информация, заключенная в моделях динамики транспортного потока и связей между фазовыми переменными и сигналами на выходе. Эти модели представляют собой систему стохастических разностных уравнений:
где X - пополненный вектор фазовых переменных, его компонентами являются плотности и средние пространственные скорости ТП, а также априори неопределенные параметры модели;
W - вектор, составленный из интенсивностей и скоростей на входе в участок и скоростей на выходе из участка;
Y - вектор, интенсивностей на выходе из участка;
α и β - гауссовские шумы с известными ковариационными матрицами [2].
Уравнения (4.14) представляют собой стохастический аналог уравнений (4.1.), упрощенный путем использования известных текущих значений вектора W. Уравнения (4.15) вытекают из стандартного соотношения «скорость-плотность-интенсивность» - λ = ρV, которое для истинных (в отличие от средних значений) переменных транспортного потока является верным с точностью до случайного слагаемого с известной дисперсией.
4.7.3. Задача оценивания вектора фазовых переменных решается на основе моделей (4.14) и (4.15) с помощью расширенного фильтра Калмана-Бьюси. Оценка для X(0) делается на основе гармонической средней скорости автомобилей, проходящих в конечном сечении участка за такт Δ и соотношения «скорость-плотность-интенсивность». Рис. 12 отражает результаты применения алгоритма к экспериментальным данным, описанным в прилож. 1.
4.7.4. Первоначально алгоритм был испытан на данных, имевшихся в зарубежной литературе [16]. Испытания подтвердили высокую эффективность этого алгоритма, одновременно выяснилось значение априорной информации, заключенной в численных значениях элементов, следующих ковариационных матриц:
R(α) - ковариации ошибки модели состояния;
R(β) - -"- -"- -"- наблюдения.
Рис. 12. Результаты оценивания плотности транспортного потока на одной из полос шестиполосного участка магистрали
Наибольшее влияние на точность оценки оказывают отношения верхних шести диагональных элементов матрицы R(α) и диагональных элементов матрицы R(β).
По материалам эксперимента, совмещавшего одновременную посекундную киносъемку участка и ручное фиксирование скоростей и числа проходящих автомобилей, удалось получить ряд конкретных оценок. Так была получена последовательность рекуррентных оценок ковариационной матрицы ошибок корректированных оценок, которую можно использовать далее в качестве приближения для R(α). Основной интерес представляет значение верхней левой подматрицы, где находятся дисперсии и ковариации скоростей и плотностей транспортного потока.
Подматрица P6 такова:
и была вычислена при
.
Ниже приведены также рассчитанные по тому же материалу значения матричных элементов фильтра:
.
В Гипродорнии имеется программа, реализующая описанный алгоритм как в варианте, рассчитанном на исследовательские цели, так и для работы с реальными данными.
4.8. Синтез корректирующих управлений
4.8.1. Основанием для смены управляющих программ является значительное изменение спроса или условий движения. Однако, в рамках примерно постоянных значений этих внешних переменных происходят отклонения истинной траектории объекта управления X(t) от расчетной X0(t) для данной программы управления, связанные со стохастической природой транспортного потока. Задача синтеза корректирующих управлений заключается в нахождении алгоритма, осуществляющего соответствие δX(t)→δU(t), между отклонениями от расчетной траектории и корректирующим управлением, оптимальным в смысле заданного критерия.
