Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 5. Альтернативные методы определения прецизионности стандартного метода измерений

85,550¹⁾

85,501

85,490

85,487

85,487

Новые s^*

0,297¹⁾

0,328

0,346

0,358

0,367

¹⁾ Получено по формулам (56) и (57).

Очевидно, что, как и предполагалось, только х₁^* и х₉^* выпадают из этих пределов.

Для получения стандартного отклонения воспроизводимости используют уравнение (76) в 6.6.2, которое дает s_y = 0,390 % протеина, а затем уравнение (13) в 4.5.6, чтобы получить s_R = 0,410 % протеина.

Из этого примера следует, что робастный метод дает несколько меньшие оценки s_r и s_r, чем значения, получаемые при использовании всех представленных данных (см. в таблицу 7).

6.8 Формулы. Робастный анализ для отдельного уровня эксперимента на гетерогенном материале 6.8.1 В модели для гетерогенного материала в обычном случае, когда две пробы подготовлены для каждой из р лабораторий на каждом уровне и при этом получают по два результата испытаний на каждой пробе, робастные оценки стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости могут быть получены троекратным применением Алгоритмов А и S, как описано ниже.

a) Применяют Алгоритм S к расхождениям между результатами испытаний, чтобы получить робастное значениеw ^* из уравнения (67), и определяют

SS_r = 2 p׳ (w^*)². (77)

b) Применяют Алгоритм S к расхождениям между пробами, чтобы получить другое робастное значение w^* из уравнения (67), и определяют

SS_H = p׳ (w^*)². (78)

c) Применяют Алгоритм А к средним значениям в элементах, чтобы получить робастное значение s^* из уравнения (61), и находят

s_y = s^*. (79)

Эти расчеты могут быть удобно представлены в табличной форме, с размещением в первой графе значений расхождений или средних значений в порядке возрастания, как это показано на примерах, описанных ниже.

6.8.2 Затем для расчетов оценок стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости и стандартного отклонения s_h, которое оценивает различие между пробами, могут быть использованы формулы подраздела 5.5.

6.9 Пример 6. Робастный анализ для отдельного уровня эксперимента на гетерогенном материале 6.9.1 Данные для уровня 6 в примере 2 (см. 5.8) не содержат выбросов или квазивыбросов, и они были использованы для иллюстрации результатов, которые получают робастным анализом в таком случае.

6.9.2 Применение Алгоритма S к расхождениям между результатами измерений (из таблицы 14) иллюстрируется данными, представленными в таблице 29. Здесь число степеней свободы ν = 1, так что η = 1,645, ξ = 1,097 и число индексированных значений р = 2р΄ = 22. Из четырех итераций, представленных в таблице, видно, что робастным значением является w^* ≈ 4,5 и что значения от w₁₉^* до w₂₂^* превышают ψ. Определив Σ΄ и u_U как в 6.3.6, имеем

u_U = 4.

Σ΄(w_i^*)²/р = 137,92/22 = 6,2691,

так что уравнение (68) принимает вид

(w^*)² = 1,097² ´ 6,2691 + 4 (1,097 ´ 1,645 w^*)²/22.

Отсюда получаем w^* = 4,30 %.

Таблица 29 - Пример 6. Применение Алгоритма S к расхождениям между результатами измерений (ν = 1; ξ= 1,097; η = 1,645)

Итерация

0

1

2

3

4

ψ

-

3,9

5,1

5,9

6,4

w₁^*

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

w₂^*

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

w₃^*

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

w₄^*

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

w₅^*

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

w₆^*

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

w₇^*

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

w₈^*

1,6

1,6

1,6

1,6

1,6

w₉^*

1,8

1,8

1,8

1,8

1,8

w₁₀^*

2,1

2,1

2,1

2,1

2,1

w₁₁^*

2,2

2,2

2,2

2,2

2,2

w₁₂^*

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

w₁₃^*

2,6

2,6

2,6

2,6

2,6

w₁₄^*

3,9

3,9

3,9

3,9

3,9

w₁₅^*

4,0

3,9

4,0

4,0

4,0

w₁₆^*

4,4

3,9

4,4

4,4

4,4

w₁₇^*

4,6

3,9

4,6

4,6

4,6

w₁₈^*

5,5

3,9

5,1

5,5

5,5

w₁₉^*

7,4

3,9

5,1

5,9

6,4

w₂₀^*

7,6

3,9

5,1

5,9

6,4

w₂₁^*

8,1

3,9

5,1

5,9

6,4

w₂₂^*

8,1

3,9

5,1

5,9

6,4

Новые w

4,17

2,80

3,29

3,55

3,70

Новые w^*

2,35¹⁾

3,07

3,61

3,89

4,06

¹⁾ Получено по формуле (64).

Подтверждением правильности решения по определению w^* является то, что если w^* = 4,3 %, то ψ = 7,1 и четыре значения от w₁₉^* до w₂₂^* превышают ψ. Используя уравнение (77), получим

SS_r = 22 ´ 4,30² = 406,78 %².

6.9.3 Применяя второй раз Алгоритм S к расхождениям между пробами (из таблицы 15), получаем результаты, приведенные в таблице 30. Из четырех итераций, представленных в этой таблице, видно, что робастным значением является w^* = 40 и что w₁₀^* и w₁₁^* превышают ψ.

Определив Σ΄ и u_U, как в 6.3.6, в этом случае имеем:

u_U = 2,

Σ΄(w_i^*)²/p΄ = 66,665/11 = 6,0605,

так что уравнение (68) принимает вид

(w^*)² = 1,097² ´ 6,0605 + 2 (1,097 ´ 1,645 w^*)²/11.

Отсюда получаем w^* = 4,23 %.

Таблица 30 - Пример 6. Применение Алгоритма S к расхождениям между пробами (ν = 1; ξ= 1,097; η = 1,645)

Итерация

0

1

2

3

4

ψ

-

4,19

5,43

6,10

6,45

w₁^*

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

w₂^*

1,70

1,70

1,70

1,70

1,70

w₃^*

2,05

2,05

2,05

2,05

2,05

w₄^*

2,25

2,25

2,25

2,25

2,25

w₅^*

2,55

2,55

2,55

2,55

2,55

w₆^*

2,55

2,55

2,55

2,55

2,55

w₇^*

3,15

3,15

3,15

3,15

3,15

w₈^*

3,35

3,35

3,35

3,35

3,35

w₉^*

4,40

4,19

4,40

4,40

4,40

w₁₀^*

6,75

4,19

5,43

6,10

6,45

w₁₁^*

6,95

4,19

5,43

6,10

6,45

Новые w

3,82

3,01

3,38

3,58

3,69

Новые w^*

2,55¹⁾

3,30

3,71

3,92

4,05

¹⁾ Получено по формуле (64).

К сожалению, этому соответствует значение ψ = 1,645 ´ 4,23 = 6,96, и это - недействительное решение, так как w₁₀^* и w₁₁^* не превышают 6,96. Значит, для нахождения действительного решения нужно испытать u_U = 1 и u_U = 0.

Приняв u_U = 1, получаем

Σ΄(w_i^*)²/р΄ = 112,2275/11 = 10,2025.

Тогда уравнение (68) примет вид

(w^*)² = l,097² ´ 10,202 5 + (1,097 ´ l,645 w^*)²/11.

Отсюда получаем w^* = 4,18 %.

Теперь ψ = 1,645 ´ 4,18 = 6,88, и можно убедиться в действительности решения, так как только w₁₁^* превышает это значение.

Используя уравнение (78) в 6.8.1, получим

SS_H = 11 ´ 4,18² = 192,20 %².

6.9.4 Применяя Алгоритм А к средним значениям в элементах (из таблицы 16), получим результаты, представленные в таблице 31. Расчеты сошлись после двух итераций и дали s^* = 5,70 (при этом ни одно х_i^*, не отличается от х^* более чем на j).

Таблица 31 - Пример 6. Применение Алгоритма А к средним значениям в элементах (%)

Итерация

0

1

2

3

4