Страница 15: ДСТУ IEC/ISO 31010:2013. Керування ризиком. Методи загального оцінювання ризику (62225)

Хоча марковське аналізування можна виконувати вручну, характер методів уможливлює викорис­тання комп’ютерних програм, більшість з яких наявні на ринку.

Метод марковського аналізування можна застосовувати до систем з різноманітними структурами, що передбачають або не передбачають ремонтування, зокрема:

• незалежних складників, сполучених паралельно;

• незалежних складників, сполучених послідовно;

• систем з розподіленням навантаги;

• резервних систем, охоплюючи випадки, коли може виникати відмова функції перемикання;

• систем, що зазнали погіршення.

Основні вхідні дані марковського аналізування такі:

• перелік різноманітних станів, у яких може перебувати система, підсистема чи складник (наприк­лад, стан повної працездатності, стан часткової працездатності (тобто погіршений стан), стан відмо­ви тощо);

• чітке розуміння можливих переходів, які необхідно змоделювати. Наприклад, погіршення стану авто­мобільної шини потребує враховування стану запасного колеса і, відповідно, періодичності перевіряння;

• швидкість переходу з одного стану до іншого, зазвичай подано або ймовірністю зміни станів для дискретних подій, або інтенсивністю відмов (X) і/або частотою ремонтування (ц) для безперерв­них подій.

Основа методу марковського аналізування — концепція «станів» (наприклад, «готовність» і «відмо­ва») і/та переходу між цими двома станами у часі за припущення постійної ймовірності змінювання ста­ну. Використання стохастичної матриці ймовірності переходу дає змогу описувати перехід між всіма станами, уможливлюючи обчислювання різних результатів.

Щоб показати застосування методу марковського аналізування, можна розглянути складну систему, яка може перебувати тільки у трьох станах: працездатному, погіршеному та в стані відмови, означених як стани S1, S2, S3 відповідно. Кожного дня система перебуває в одному з цих трьох станів. У таблиці В.2 наведено ймовірність того, що наступного дня система перебуватиме в стані Si, де і може бути 1,2 чи 3.

Таблиця В.2 — Матриця Маркова

Цей масив імовірностей називають матрицею Маркова чи матрицею переходу. Сума в кожному стовпці дорівнює 1, оскільки йдеться про суму всіх можливих результатів у кожному випадку. Систе­му можна також зобразити діаграмою Маркова, у якій кружечками є стани, а стрілками — переходи з відповідною ймовірністю (див. рисунок В.9).

ІЕС 2070/09

Рисунок В.9 — Приклад діаграми Маркова для стану системи

Стрілки, замкнені на одному стані, зазвичай не показують, але у цих прикладах їх наведено для повноти зображення.

Нехай Р_; — імовірність перебування системи в стані / для /=1,2,3, тоді система лінійних рівнянь, яку треба розв’язати, має такий вигляд:

Р, = 0,95Рі + 0,30Р₂ + 0,20Р₃, (В.1)

Р₂ = 0,04Р₁ + 0,65Р₂ + 0,60Р₃, (В.2)

Р₃ = O.OIP-j + 0,05Р₂ + 0,20Р₃. (В.З)

Ці три рівняння не є незалежними і не уможливлюватимуть обчислення трьох невідомих. Треба використати наведене нижче рівняння, а одне з наведених вище — вилучити.

1 = _Рі + Р₂ + р₃. (В.4)

Одержані значення становлять 0,85, 0,13 і 0,02 для станів 1,2, 3 відповідно. Система повністю функціює 85 % часу, перебуває в погіршеному стані протягом 13 % часу і у стані відмови — протягом 2 % часу.

Розглянемо два елементи, які функціюють паралельно, за умови, що будь-який з них має бути пра­цездатним, щоб функціювала система. Елементи можуть перебувати або в стані працездатності, або в стані відмови, а готовність системи залежить від стану елементів.

Стани можуть бути такі:

Стан 1 — обидва елементи функціюють правильно;

Стан 2 — один елемент вийшов з ладу та його ремонтують, другий елемент функціює;

Стан 3 — обидва елементи вийшли з ладу, один з них ремонтують.

Якщо припустити, що неперервна інтенсивність відмов кожного елемента дорівнює X, а частота ремонтування дорівнює ц, то діаграма переходу між станами така:

ІЕС 2071/09

Рисунок В. 10 —• Приклад діаграми переходу між станами

Неперервна інтенсивність відмов за умови переходу зі стану 1 до стану 2 становить 2Х, оскільки відмова будь-якого з двох елементів змусить систему перейти до стану 2.

Нехай P/(f) —• імовірність перебування у початковому стані та в момент часу t і P,(f + 5f) — імовірність перебування в кінцевому стані у момент часу t + 8f.

Тоді матриця ймовірностей переходу така:

Таблица В.З — Кінцева матриця Маркова

Нульові значення виникають через неможливість переходу зі стану 1 до стану 3 або зі стану З до стану 1. Крім того, якщо визначають інтенсивність, то сума у стовпцях дорівнює нулю.

Система рівнянь набуває такого вигляду:

dP₁/dt = -2AP₁(t) + pP₂(t), (В.5)

dP₂/dt = 2A.Pi(f) + (- (А. + ц)) P₂(f) + P₃(f), (В.6)

dP₃/dt = Щ(0 + (- ц) P₂(f). (В.7)

Щоб спростити обчислення, припускають, що необхідна готовність — це готовність у стабільно­му стані.

Якщо 5f прямує до нескінченності, тоді dP/df прямує до нуля і рівняння стають легшими для роз­в'язання. Також треба використовувати додаткове рівняння (В.4).

Тепер рівняння A(f) = Р-Щ) + P₂(t) можна записати так:

А = Р-і + Р₂.

Відповідно А = (ц² + 2Хц)/(ц² + 2X.pi + X²).

Вихідні дані марковського аналізування — різні ймовірності перебування в різних станах, і, таким чином, кількісна оцінка ймовірностей відмови та/чи готовності одного з основних складників системи.

Переваги марковського аналізування:

• можливість обчислювати ймовірності стосовно ремонтопридатних систем з кількома погірше­ними станами.

Обмеження марковського аналізування:

• припущення щодо постійних імовірностей змінення стану, а також припущення щодо відмови чи ремонтування;

• усі події статистично незалежні, оскільки майбутні стани незалежні від усіх минулих станів, за винятком стану, який передує безпосередньо;

• потребує знання всіх імовірностей змінення стану;

• потребує знання операцій над матрицями;

• утруднене обмінювання інформацією про результати з нетехнічним персоналом.

Марковське аналізування нагадує аналізування мереж Петрі, оскільки уможливлює моніторинг і спостерігання за станами системи, за тієї відмінності, що мережі Петрі можуть водночас перебувати в кількох станах.

ІЕС 61078 Analysis techniques for dependability — Reliability ЬГоск diagram and boolean methods (Ме­тоди аналізування надійності. Блок-схема надійності та булеві методи).

ІЕС 61165 Application of Markov techniques (Застосування методів Маркова).

Багато систем є надто складними, щоб можна було аналітичними методами змоделювати впливи невизначеності на них. Однак їх можна оцінювати, розглядаючи вхідні дані як випадкові змінні та вико­нуючи певну кількість N обчислень (так званих імітаційних моделювань) формуванням вибірок вхідних даних для одержання N можливих наслідків бажаного результату.

Цей метод можна застосовувати до складних ситуацій, які може бути важко зрозуміти, застосо­вуючи аналітичні методи, та щодо яких важко застосовувати аналітичні методи. Системи можна роз­робляти, використовуючи електронні таблиці та інші традиційні засоби, але вже є новітніші засоби, які задовольняють більш складні вимоги і багато з яких сьогодні відносно недорогі. Коли метод було вперше розроблено, кількість ітерацій, необхідних для імітаційних моделювань методом Монте-Карло, робило процес уповільненим та клопітким, але досягнення у сфері обчислювальної техніки і теоретичні роз­робки (наприклад, формування вибірок методом «латинського гіперкуба») значно скоротили тривалість опрацювання в багатьох застосованнях.

Імітаційне моделювання методом Монте-Карло — засіб оцінювання впливу невизначеності на сис­теми в широкому спектрі ситуацій. Зазвичай його застосовують, щоб оцінити діапазон можливих ре­зультатів і відносну частоту значень у цьому діапазоні для кількісних показників системи (наприклад, вартості, тривалості, продуктивності, попиту та інших подібних показників). Імітаційне моделювання методом Монте-Карло можна застосовувати з двома різними цілями:

• поширення невизначеності на звичні аналітичні моделі;

• проведення ймовірнісних обчислень у разі незастосовності аналітичних методів.

Вхідні дані імітаційного моделювання методом Монте-Карло — детально пророблена модель сис­теми та інформація про типи вхідних даних, джерела невизначеності, які має бути відображено, та про необхідні вихідні дані. Вхідні дані, пов’язані з невизначеністю, зображають як випадкові змінні з більшим або меншим розкидом їхніх розподілів відповідно до рівня невизначеностей. Задля цього часто вико­ристовують рівномірний, трикутний, нормальний і логарифмічно нормальний розподіли.

Процес такий:

1. визначають модель або алгоритм, які якомога точніше відображають поводження досліджува­ної системи;

2. модель тестують кілька разів, використовуючи випадкові числа, щоб отримати вихідні дані мо­делі (імітування системи). Коли застосування полягає в моделюванні впливів невизначеності, то мо­дель подають у формі рівняння, яке відображає взаємозв’язок між вхідними параметрами та вихідни­ми даними. Значення, які вибирають для вхідних даних, базуються на відповідних розподілах імовір­ності, які відображають характер невизначеності для цих параметрів;

3. в усіх випадках за допомогою комп'ютера модель застосовують багато разів (найчастіше до 10 000 разів) з різними вхідними даними та одержують численні вихідні дані. Використовуючи звичайні статистичні методи, ці результати може бути опрацьовано, щоб одержати таку інформацію, як, наприк­лад, середні значення, стандартний відхил, довірчі інтервали.

Нижче наведено приклад імітаційного моделювання.

Розглянемо випадок двох елементів, призначених функціювати паралельно, але для функціюван- ня системи обов'язковим є функціювання хоча б одного з них. Перший елемент має надійність 0,9, а другий — 0,8.

Можна побудувати таблицю для обчислень з показаними нижче стовпцями.

Таблица В.4 — Приклад імітаційного моделювання методом Монте-Карло

Кінець таблиці В.4

За допомогою генератора випадкових чисел можна отримати число від 0 до 1, використовуване для порівнювання з імовірністю кожного елемента, щоб визначити, чи функціює система. Маючи лише 10 обчислень, не треба очікувати, що результат 0,9 буде точним. Звичайний підхід передбачає долу­чений обчислювального пристрою, щоб відстежити, як загальний результат імітаційного моделюван­ня досягає потрібного рівня точності. У цьому прикладі результат 0,979 9 було досягнено після 20 000 ітерацій.