---

• full probabilistic methods (Level III), and

• first order reliability methods (FORM) (Level II).

NOTE 1 Full probabilistic methods (Level III) give in principle correct answers to the reliability problem as stated. Level III methods are seldom used in the calibration of design codes because of the frequent lack of statistical data.

NOTE 2 The level II methods make use of certain well defined approximations and lead to results which for most structural applications can be considered sufficiently accurate.

(3) In both the Level II and Level III methods the measure of reliability should be identified with the survival probability P_s = (1 - P_f), where P_f is the failure probability for the considered failure mode and within an appropriate reference period. If the calculated failure probability is larger than a pre-set target value P₀, then the structure should be considered to be unsafe.

NOTE The 'probability of failure' and its corresponding reliability index (see C5) are only notional values that do not necessarily represent the actual failure rates but are used as operational values for code calibration purposes and comparison of reliability levels of structures.

(4) The Eurocodes have been primarily based on method α (see Figured). Method с or equivalent methods have been used for further development of the Eurocodes.

NOTE An example of an equivalent method is design assisted by testing (see annex D).

Рисунок С1 - Загальне зображення методів надійності

Figure C1 - Overview of reliability methods

C5 Індекс надійності β

(1) У процедурах рівня II альтернативна міра надійності умовно визначається за допомогою індексу надійності β, який пов'язаний з P_f:

С5 Reliability index β

(1) In the Level II procedures, an alternative measure of reliability is conventionally defined by the reliability index β which is related to P_f by:

де Φ - кумулятивна функція стандартного нормального розподілення.

Зв'язок між Ф та β наведений у таблиці С1.

Таблиця С1 - Зв'язок між β та P_f

where Ф іs the cumulative distribution function of

the standardised Normal distribution.

The relation between Ф аnd β is given in Table C1.

Table C1 - Relation between β and P_f

(2) Імовірність руйнування P_f може виражатись через функцію ефективності g так, що вважається, що конструкція витримає навантаження без руйнування, якщо g > 0 і буде зруйнована, якщо g < 0:

(2) The probability of failure P_f can be expressed through a performance function g such that a structure is considered to survive if g > 0 and to fail if g < 0:

Якщо R - опір, a E - результат дій, функція ефективності g становить:

If R is the resistance and E the effect of actions, the performance function g is:

з випадковими величинами R, Е та g.

(3) Якщо g має нормальне розподілення, β приймається, як:

with R, E and g random variables.

(3) If g is Normally distributed, β is taken as:

де:

μ_g - середнє значення g та

σ_g - стандартне відхилення,

так що:

where:

μ_g is the mean value of g, and

σ_g is its standard deviation,

so that:

та

and

Для інших розподілів g індекс β є тільки умовною мірою надійності

For other distributions of g, β is only a conventional measure of the reliability

C6 Задані величини індексу надійності β

(1) Задані величини для індексу надійності β для різних розрахункових ситуацій, а також для базових періодів від 1 року до 50 років наведені в таблиці С2. Величини β в таблиці С2 відповідають рівням безпеки для конструктивних елементів класів надійності RC2 (див. додаток В).

ПРИМІТКА 1. Для цих обчислень β:

• для параметрів міцності матеріалів і конструкцій, а також невизначеностей моделей, як правило, використовується логнормальний розподіл або розподіл Вейнбулла;

• для власної ваги конструкції, як правило, використовується нормальний розподіл;

С6 Target values of reliability index β

(1) Target values for the reliability index β for various design situations, and for reference periods of 1 year and 50 years, are indicated in Table C2. The values of β in Table C2 correspond to levels of safety for reliability class RC2 (see Annex B) structural members.

NOTE 1 For these evaluations of β

• Lognormal or Weibull distributions have usually been used for material and structural resistance parameters and model uncertainties;

• Normal distributions have usually been used for self-weight;

• при розгляді перевірок, які не пов'язані зі втомою, для перемінних дій для спрощення використовується нормальний розподіл. Розподіл екстремальних значень був би більш прийнятним.

ПРИМІТКА 2. Коли головні невизначеності викликані діями, що мають статистично незалежні щорічні максимальні значення, то для іншого базового періоду величина β може підраховуватись з використанням наступної формули

• For simplicity, when considering non-fatigue verifications, Normal distributions have been used for variable actions. Extreme value distributions would be more appropriate.

NOTE 2 When the main uncertainty comes from actions that have statistically independent maxima in each year, the values of β for a different reference period can be calculated using the following expression:

де:

β_n - індекс надійності за базовий період за n років,

β₁ - індекс надійності за один рік.

wnere:

β_n is the reliability index for a reference period of n

years,

β₁ is the reliability index for one year.

Таблиця С2 - Заданий індекс надійності β для елементів конструкції класу RC2

Table C2 - Target reliability index β for Class RC2 structural members '

(2) Дійсна частота випадків руйнування значним чином залежить від людських помилок (людський фактор), котрі не розглядаються у розрахунку часткового коефіцієнта (див. додаток В). Таким чином, β не обов'язково забезпечує індикацію дійсної частоти руйнування конструкції.

C7 Підхід до калібрування розрахункових величин

(1) У методі перевірки надійності проектної величини (див. рисунок С1) розрахункові величини повинні бути визначеними для всіх базових перемінних. Розрахунок розглядається як достатній, якщо не досягаються граничні стани при розрахункових величинах, які запроваджуються у розрахункових моделях. Використовуючи умовні позначки це можливо виразити, як:

(2) The actual frequency of failure is significantly dependent upon human error, which are not considered in partial factor design (See Annex B). Thus β does not necessarily provide an indication of the actual frequency of structural failure.

С7 Approach for calibration of design values

(1) In the design value method of reliability verification (see Figure C1), design values need to be defined for all the basic variables. A design is considered to be sufficient If the limit states are not reached when the design values are introduced into the analysis models. In symbolic notation this is expressed as:

де підрядковий індекс 'd' відноситься до розрахункових величин. Це практичний шлях для гарантування, що індекс надійності β дорівнює або більший за задану величину.

E_d та R_d можуть бути відображені у частково символьній формі, як:

where the subscript 'd' refers to design values. This is the practical way to ensure that the reliability index β is equal to or larger than the target value.

E_d and R_d can be expressed in partly symbolic form as:

де:

Е - результат дії;

R - oпip;

F - дія;

X - властивість матеріалу;

α - геометрична властивість;

θ - невизначеність моделі.

Для особливих граничних станів (наприклад, втома) може бути необхідною більш загальна формула, щоб виразити граничний стан.

where:

Е is the action effect;

R is the resistance;

F is an action;

X is a material property;

α is a geometrical property;

θ is a model uncertainty.

For particular limit states (e.g. fatigue) a more general formulation may be necessary to express a limit state.

(S) - межа руйнування 0

P - розрахункова точка

Рисунок С2 - Розрахункова точка та індекс надійності β відповідно до методу надійності першого порядку (FORM) для нормально розподілених неко-рельованих перемінних

(2) Розрахункові величини базуватимуться на величинах базових перемінних в розрахунковій точці FORM, котра може бути визначеною як точка руйнування поверхні (g = 0), найближча до центра росподілу у просторі нормалізованих перемінних (як схематично визначено на рисунку С2).

(3) Розрахункові величини впливів дії E_d та опору R_d потрібно визначати так, щоб вірогідність мати більш несприятливу величину була такою:

(S) failure boundary g = R - E = 0

P design point

Figure C2 - Design point and reliability index β according to the first order reliability method (FORM) for Normally distributed uncorrelated variables

(2) Design values should be based on the values of the basic variables at the FORM design point, which can be defined as the point on the failure surface (g = 0) closest to the average point in the space of normalised variables (as diagrammatically indicated in Figure C2).

(3) The design values of action effects E_d and resistances R_d should be defined such that the probability of having a more unfavourable value is as follows :

де:

β - індекс заданого рівня надійності (див. С6).

α_Е та α_R, з | α | ≤ 1 - величини коефіцієнтів чутливості FORM. Величина α є негативною для несприятливих дій та впливів дій, та позитивною для опору.

α_Е і α_R можуть бути прийнятими, відповідно, 0,7 і 0,8 за умови

where:

β is the target reliability index (see C6).

α_Е and α_R, with | α | ≤ 1, are the values of the FORM sensitivity factors. The value of α is negative for unfavourable actions and action effects, and positive for resistances.

α_Е and α_R may be taken as - 0,7 and 0,8, respectively, provided

де σ_E та σ_R - стандартне відхилення результату дій та опору відповідно в формулах (С.6а) та(С.6b). Це дає:

where σ_E and σ_R are the standard deviations of the action effect and resistance, respectively, in expressions (С.6а) and (C.6b). This gives:

(4) Якщо умова (С.7) не виконується, слід використати α = ±1,0 для перемінної з більш широким стандартним відхиленням та α = ±0,4 для перемінної з меншим стандартним відхиленням.

(5) Коли модель дії містить декілька базових перемінних, формулу (С.8а) слід використовувати тільки для провідної перемінної. Для супутніх дій розрахункові величини можуть визначатись за допомогою:

(4) Where condition (С.7) is not satisfied α = ±1,0 should be used for the variable with the larger standard deviation, and α = ±0,4 for the variable with the smaller standard deviation.

(5) When the action model contains several basic variables, expression (C.8a) should be used for the leading variable only. For the accompanying actions the design values may be defined by:

ПРИМІТКА. Для β = 3,8 величини, що визначені формулою (С.9), відповідають приблизно 0,90 квантилю.

(6) Формули, що надані в таблиці С3, слід використовувати для того, щоб отримати розрахункові величини перемінних із заданим розподіленням вірогідності.

NOTE For β = 3,8 the values defined by expression (С.9) correspond approximately to the 0,90 tractile.

(6) The expressions provided in Table C3 should be used for deriving the design values of variables with the given probability distribution.

Таблиця С3 - Розрахункові величини для різних функцій розподілення

Table С3 - Design values for various distribution functions

ПРИМІТКА. У цих формулах μ, σ та V є відповідно середнім значенням, стандартним відхиленням та коефіцієнтом мінливості даної перемінної. Для перемінних дій вони базуватимуться на такому ж базовому періоді, як і для β.

(7) Один з методів отримання відповідного часткового коефіцієнта - розділити розрахункову величину перемінної дії на її репрезентативне або характеристичне значення.

NOTE In these expressions μ, σ and V are, respectively, the mean value, the standard deviation and the coefficient of variation of a given variable. For variable actions, these should be based on the same reference period as for β.

(7) One method of obtaining the relevant partial factor is to divide the design value of a variable action by its representative or characteristic value.

С8 Надійність верифікаційних форматів у Єврокодах

(1) В EN 1990 - EN 1999 розрахункові величини базових перемінних X_d та F_d, як правило, безпосередньо не представлені у розрахункових формулах часткового коефіцієнта. Вони представлені на основі своїх характеристичних величин Х_rер та F_rep, які можуть бути:

• характеристичними величинами, тобто величинами з заданою або припущеною вірогідністю перевищення, наприклад, для дій, властивостей матеріалів та геометричних властивостей (див. 1.5.3.14, 1.5.4.1 та 1.5.5.1 відповідно);

• номінальними величинами, котрі розглядаються як характеристичні величини для властивостей матеріалів (див. 1.5.4.3) та як розрахункові величини для геометричних властивостей (див. 1.5.5.2).

(2) Характеристичні величини Х_rер та F_rep слід розділити та/або перемножити відповідно на відповідні часткові коефіцієнти, щоб отримати розрахункові величини X_d та F_d.