Раздел 4-5. Расчет по предельному состоянию II группы. Конструктивные требования

Отсюда

т.е. продолжительное раскрытие трещин меньше предельно допустимого - а_crc,₂ = 0,3 мм (см. табл. 1б).

Непродолжительное раскрытие трещин определяем по формуле (213), принимая а_crc,l = 0,136 мм, s_sl = 191 МПа и j_l = 1,3.

Для определения величины s_s находим значение z согласно указаниям п. 4.31:

e_s = y₀ - а - e₀= 140 - 40 - 52,9 = 47,1 мм;

M_s = P₂e_sp - Ne_s = 650 × 10³× 100 - 850 × 10³× 47,1 мм =

= 25 × 10⁶ Н · мм;

;

мм;

; ;

ma = 0,021 × 6,5 = 0,137; v = 0,45;

;

Так как x = 0,155 < , значение x рассчитываем, принимая A¢_sp = 0, j_f = 0, l = 0:

Так как j_f = 0, формула (238) принимает вид

z = h₀(1 - 0,5x) = 240 (1 - 0,5 × 0,224) = 213 мм.

Приращение напряжений в арматуре определяем по формуле (206):

МПа.

Поскольку s_sp₂ + s_s = 264 + 257 = 521 МПа < R_s,ser = 590 МПа, отсутствие неупругих деформаций в арматуре обеспечено.

мм,

что меньше предельного допустимого значения a_crc,₁ = 0,4 мм.

Пример 34. Дано: многопустотная плита перекрытия - по черт. 43; бетон легкий класса В15, марки по средней плотности D1600 (E_b = 13900 МПа); продольная арматура класса А-IV, площадью сечения A_sp = 1539 мм² (10 Æ 14); усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь и g_sp = 1,0) P = 636 кН; момент от всех нагрузок M_tot = 133,7 кН · м; момент от постоянных и длительных нагрузок M_l = 106,4 кН · м; требования к трещиностойкости 3-й категории; остальные данные из примера 30.

Требуется рассчитать плиту по раскрытию нормальных трещин.

Расчет. h₀ = h - a = 220 - 30 = 190 мм (см. черт. 43).

Из примера 30 имеем M_rp = 84,9 кН · м. Так как согласно п. 4.14, проверяем только непродолжительное раскрытие трещин по формуле (213). Сначала по формуле (194) определим продолжительное раскрытие трещин при действии момента M_l = 106,4 кН · м.

Поскольку M_r = M_l = 106,4 кН · м < M_crc = 128,7 кН · м, приращение напряжений s_s определяем по формуле (208). Для этого определим значение s_s,crc от действия момента M_crc = 128,7 кН · м. Поскольку 350A_sp = 350 × 1539 = 538650 Н < P₂ = 636 кН, воспользуемся упрощенной формулой (209). Из примера 30 имеем b¢_f = b_f = 3580 мм, b = 984 мм и h = h¢_f = 41 мм. Тогда

Поскольку A_s = 0, A¢_s = 0 и A¢_sp = 0, M_s = M = 128,7 кН · м;

;

Находим коэффициент j_crc. Для этого по табл. 40 принимаем ближайшие табличные значения j_f = 0,5 и ma = 0,1 и интерполируем только по e_s,tot/h₀: при = 1,0 j_crc = 0,2; при = 1,1 j_crc = 0,27; тогда при = 1,065 j_crc = 0,2 + 0,65 (0,27 - 0,2) = 0,246.

МПа.

Из формулы (208) имеем

МПа.

Ширину продолжительного раскрытия трещин определяем по формуле (194) п. 4.15. Из этого пункта имеем:

j_l = 1,5; d = 1,0; h = 1,0; d = 14 мм;

;

Определим ширину непродолжительного раскрытия трещин по формуле (213), принимая a_crc,l = 0,056 мм и s_sl = 52,9 МПа. Напряжение s_s определим по формуле (209), приняв M_s = M_tot = 133,7 кН · м:

Из табл. 40 при j_f = 0,5, ma = 0,1 и находим j_crc = 0,274.

Тогда

МПа;

мм,

что меньше предельно допустимого значения a_crc₁ = 0,4 мм.

Пример 35. Дано: плита перекрытия по черт. 44; класс тяжелого бетона В25 (E_b = 2,7 × 10⁴ МПа); передаточная прочность R_bp = 20 МПа ; арматура в верхней зоне плиты класса А-III (E_s = 2 × 10⁵ МПа), площадью сечения A_s = 50,3 мм² (1 Æ 8); в нижней зоне плиты арматура площадью A¢_sp + A¢_s = 569 мм² (1 Æ 25 + 1 Æ 10); усилие предварительного обжатия с учетом первых потерь Р₁ = 230 кН; его эксцентриситет относительно центра тяжести приведенного сечения e₀_p = 167 мм; нагрузка от собственного веса плиты q_w = 1,3 кН/м (для половины плиты).

Требуется определить ширину раскрытия и глубину нормальных трещин в стадии изготовления.

Расчет. Из примера 31 известно, что в рассматриваемой стадии образуются верхние (начальные) трещины. Рассмотрим сечение в месте закрепления монтажных петель на расстояние l₁ = 1 м от торца плиты. Момент в этом сечении от собственного веса плиты найдем как для консоли с учетом коэффициента динамичности, равного при подъеме 1,4 (см. п. 1.9):

кН · м.

Находим напряжение в арматуре s_s, необходимое для вычисления ширины раскрытия трещин по формуле (211). Для этой цели вычисляем плечо z согласно указаниям п. 4.31; в связи с этим определяем следующие величины:

h₀ = 350 - 25 = 325 мм;

;

e_sp = e₀_p + (h - y₀ - а) = 167 + (350 - 220 - 25) = 272 мм;

M_s = P₁e_sp + M_w = 230 × 10³× 272 + 0,9 × 10⁶ = 63,5 × 10⁶ Н · мм;

мм;

;

мм.

Так как z < 0,97e_s,tot = 0,97 × 276,4 = 268 мм, оставляем z = 267 мм.

Напряжение в растянутой арматуре s_s определяем по формуле (211):

МПа.

Для определения величины a_crc находим коэффициент по формуле (195):

;

что меньше предельно допустимого значения a_crc = 0,4 мм.

В этом же сечении определим глубину верхних трещин согласно п. 4.18:

здесь - см. пример 31;

h_crc = h - (1,2 + j_m) x h₀ = 350 - (1,2 + 0,50) 0,375 × 325 = 143 мм,

т.е. меньше 0,5h = 0,5 × 350 = 175 мм.

Пример 36. Дано: плита перекрытия по черт. 44; класс тяжелого бетона В25 (E_b = 2,7 × 10⁴ МПа, R_b,ser = 18,5 МПа); напрягаемая арматура класса A-IV (E_s = 1,9 × 10⁵ МПа), площадью сечения A_sp = 491 мм² (1 Æ 25); ненапрягаемая арматура растянутая и сжатая класса А-III, площадью сечения соответственно A_s = 78,5 мм² (1 Æ 10) и A¢_s = 50,3 мм² (1 Æ 8); усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь и g_sp = 1,0) Р₂ = 150 кН; его эксцентриситет e₀_p = 165 мм; предварительное напряжение s_sp₂ = 332 МПа; максимальный момент от всех нагрузок при g_f = 1,0 M_tot = 66 кН · м, в том числе момент от постоянных и длительных нагрузок M_l = 60 кН · м; требование к трещиностойкости 3-й категории.

Требуется рассчитать плиту по раскрытию нормальных трещин в стадии эксплуатации.

Расчет. Из примера 31 известно, что в стадии изготовления в верхней зоне плиты образуются начальные трещины; с учетом этих трещин M_crc = 31 кН · м < M_tot = 66 кН · м. Следовательно, расчет по раскрытию нормальных трещин в нижней зоне плиты необходим.

В связи с наличием начальных трещин уточняем значение Р₂. Согласно п. 4.17, усилие Р₂ снижается путем умножения на коэффициент q = 0,724 (см. пример 31):

Р₂ = 150 × 0,724 = 108,6 кН.

Тогда M_rp = P₂(e₀_p + r_sup) = 108,6 × 10³(165 + 58,7) = 24,3 × 10⁶ Н · мм = 24,3 кН · м (r_sup принято по примеру 31).

Так как согласно п. 4.14, проверяем только продолжительное раскрытие трещин.

Расчет производим согласно указаниям пп. 4.15 и 4.17. Для определения ширины раскрытия трещин находим значение z согласно указаниям п. 4.31:

M_s = M + P₂e_sp = 60 × 10⁶ + 108,6 × 10³× 5 = 60,5 × 10⁶ Н · мм,

где e_sp = y - e₀_p - a = 220 - 165 - 50 = 5 мм;

;

мм;

; ;

;

мм.

Напряжение в растянутой арматуре s_s определяем по формуле (203):

= МПа.

Определяем коэффициент d_п для нижнего ряда арматуры (ненапрягаемой) по формуле (210), принимая х = 0,292h₀ = 0,292 × 300 = 87,6 мм:

Тогда s_s = 182 × 1,12 = 204 МПа.

Ширину раскрытия трещин определяем по формуле (194). Для этого вычисляем значения и d:

= m = 0,02;

мм.

Коэффициент j_l равен:

j_l = 1,6 - 15 = 1,6 - 15 × 0,02 = 1,3; d = 1,0; h = 1,0 (для арматуры классов A-III и A-IV):

что меньше предельно допустимого значения a_crc = 0,3 мм.

В соответствии с примечанием к п. 4.17 напряжения s_s + s_sp и s_s - s_sb от действия всех нагрузок не проверяем.

Пример 37. Дано: балка покрытия - по черт. 48; бетон тяжелый класса В30 (R_bt,ser = 1,8 МПа, E_b = 2,9 × 10⁴ МПа, R_b,ser = 22 МПа); продольная арматура из канатов класса К-7 (E_s = 1,8 × 10⁵ МПа), площадью сечения A_sp = 725 мм² (8 Æ 12) и A¢_sp = 182 мм² (2 Æ 12); усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь и g_sp = 1,0) P₂ = 580 кН; его эксцентриситет относительно центра тяжести приведенного сечения e₀_p = 420 мм; момент усилия обжатия M_rp = 434 кН · м; момент трещинообразования M_crc = 620 кН · м; момент от всех нагрузок M_tot = 725 кН · м; требования к трещиностойкости 2-й категории.

Требуется рассчитать балку по раскрытию нормальных трещин.

Расчет. Ширину непродолжительного раскрытия нормальных трещин от действия момента M = M_tot определяем по формуле (194). Для этого находим приращение напряжения в арматуре s_s.

Черт. 48. Поперечное сечение балки покрытия

Значение z вычисляем согласно указаниям п. 4.31:

h₀ = h - a = 1500 - 120 = 1380 мм;

;

M_s = M + P₂e_sp = 725 × 10⁶ + 580 × 10³× 340 = 922 × 10⁶ Н · мм

(e_sp = y - a - e₀_p = 880 - 120 - 420 = 340 мм);

;

; N_tot = P₂ = 580 × 10³ Н;

мм;

;

мм;

= МПа.

Поскольку арматура расположена в несколько рядов, определяем s_s для нижнего ряда; по формуле (210) находим коэффициент

Отсюда s_s = 239 × 1,075 = 257 МПа.

Для определения значения a_crc находим коэффициент армирования :

;

j_l = 1,0; d = 1,0, для арматуры класса К-7 - h = 1,2.

Отсюда

т.е. ширина раскрытия трещин больше предельно допустимой a_crc₁ = 0,2 мм (см. табл. 1б).

Поскольку = 0,0061 < 0,008, уточняем расчетное значение a_crc путем учета работы растянутого бетона над трещинами согласно п. 4.16б:

M_r = M = 725 кН · м.

Определим момент, при котором растянутый бетон выключается из работы, по формуле (201). Для этого вычислим

Тогда

M₀ = M_crc + y b h²R_bt,ser =

= 620 × 10⁶ + 0,473 × 80 × 1500²× 1,8 = 773 × 10⁶ Н · мм > M_r = 725 кН · м.

Поскольку расчет ведется на непродолжительное действие нагрузок, j_l₁ = 1,0, и тогда

Уточненное значение a_crc = 0,227 × 0,799 = 0,181 мм, что не превышает предельно допустимого значения a_crc₁ = 0,2 мм.

Пример 38. Дано: плита покрытия пролетом l = 5,85 м, сечением - по черт. 49; бетон легкий класса В20 (R_bt,ser = 1,4 МПа), марки по средней плотности D1800 (E_b = 17,3 × 10³ МПа); поперечная арматура на опоре в виде U-образной сетки из проволоки класса Вр-I (E_s = 17 × 10⁴ МПа), диаметром 4 мм (A_sw = 25,1 мм²), с шагом поперечных стержней s = 100 мм; геометрические характеристики приведенного сечения (для половины сечения): площадь A_red = 60400 мм², момент инерции I_red = 556,5 × 10⁶ мм⁴, расстояние от центра тяжести до нижней грани y₀ = 274 мм; момент образования трещин при g_sp = 1,0 M_crc = 17 кН · м; усилие обжатия Р = 50 кН; нагрузка, приходящаяся на одно ребро, q = 8,4 кН/м, в том числе постоянная и длительная q_l = 7,2 кН/м; снеговая нагрузка: полная s = 3 кН/м, длительная s_l = 1,8 кН/м.

Требуется рассчитать плиту по раскрытию наклонных трещин.

Расчет.

h₀ = 300 - 35 = 265 мм (см. черт. 49).

Поперечная сила на опоре равна:

кН.

Черт. 49. К примеру расчета 38

1 - напрягаемый стержень; 2 - U-образная сетка

Согласно п. 3.30б, определим значения Q_b₁ и Q. По формуле (96) вычисляем значение Q_crc, принимая R_bt= R_bt,ser= 1,4 МПа, b = 96,7 мм (см. черт. 49) и

мм³.

По графику на черт. 18 при s = находим t = 1,26, т.е. t_xy,crc = t R_bt = 1,26 × 1,4 = 1,766 МПа.

Тогда

Н.

Поскольку Q_crc = 37,8 кН > Q_max, за невыгоднейшее значение с принимаем длину приопорного участка l₁, где не образуются нормальные трещины. При равномерно распределенной нагрузке значение l₁ определяем из уравнения

откуда

м.

Так как 2,5h₀ = 2,5 × 265 = 662 мм < l₁, значение Q_b₁ принимаем равным значению Q_b,min, определяемому по формуле (95) при R_bt = 1,4 МПа, b = 87 мм (см. черт. 49), j_b₄ = 0,4 (см. табл. 29) и

;

Q_b,min = Q_b₁ = j_b₄(1 + j_n) R_btbh₀ = 0,4 (1 + 0,155) 1,4 × 87 × 265 = 14900 Н.

Расчетную поперечную силу Q принимаем в поперечном сечении на расстоянии с = 0,8 м от опоры, учитывая разгружающее влияние постоянной и половины временной (снеговой) нагрузки (см. п. 3.22):

при действии всех нагрузок

Q = Q_max - q₁с = 24,57 - 6,9 × 0,8 = 19,05 кН,

где

q₁ = q - s/2 = 8,4 - 3/2 = 6,9 кН/м;

при действии постоянных и длительных нагрузок

кН,

где

q₁_l = q_l - s_l/2 = 7,2 - 1,8/2 = 6,3 кН/м.

Определим по формуле (216) напряжение в хомутах при действии постоянных и длительных нагрузок:

Ширину продолжительного раскрытия трещин от действия этих нагрузок определим по формуле (214), принимая j_l = 1,5; h = 1,2; d_w = 4 мм;

; ;

мм,

что меньше предельно допустимого значения a_crc₂ = 0,3 мм (см. табл. 1б).

Определим напряжение s_sw при действии всех нагрузок:

Ширину непродолжительного раскрытия трещин определим по формуле (213), принимая :

мм,

что меньше предельно допустимого значения a_crc₁ = 0,4 мм.

РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО ЗАКРЫТИЮ ТРЕЩИН 4.21 (4.18). Железобетонные элементы должны рассчитываться по закрытию (зажатию) трещин:

нормальных к продольной оси элемента;

наклонных к продольной оси элемента.

Расчет по закрытию трещин производится для зон элементов (см. п. 1.10), к трещиностойкости которых предъявляются требования 2-й категории, если в этих зонах элементов трещины образуются от действия постоянных, длительных и кратковременных нагрузок при коэффициенте надежности по нагрузке g_f > 1,0.

Расчет по закрытию трещин, нормальных к продольной оси элемента 4.22 (4.19). Для обеспечения надежного закрытия трещин, нормальных к продольной оси элемента, при действии постоянных и длительных нагрузок должны соблюдаться следующие требования:

а) в напрягаемой арматуре S от действия постоянных, длительных и кратковременных нагрузок не должны возникать необратимые деформации, что обеспечивается соблюдением условия

s_sp + s_s £ 0,8R_s,ser, (217)

где s_s - приращение напряжения в напрягаемой арматуре S от действия внешних нагрузок, определяемое согласно п. 4.17; при этом для ненапрягаемой арматуры класса Вр-I также должно выполняться условие (217) с заменой s_sp на - s_sb (см. п. 4.17)

б) сечение элемента с трещинами в растянутой зоне от действия постоянных, длительных и кратковременных нагрузок должно оставаться обжатым при действии постоянных и длительных нагрузок с нормальными напряжениеми сжатия s_b на растягиваемой внешними нагрузками грани элемента не менее 0,5 МПа; при этом величина s_b определяется как для упругого тела от действия внешних нагрузок и усилия предварительного обжатия Р₂; для изгибаемых элементов данное требование соблюдается, если выполняется условие

M £ P₂ (e₀_p + r) - 0,5W_red, (218)

где r - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до ядровой точки, наиболее удаленной от растягиваемой внешними нагрузками грани элемента, определяемое по формуле

; (219)

W_red - см. п. 4.2;

0,5 - требуемое напряжение сжатия в МПа на растягиваемой внешними нагрузками грани элемента.

Для внецентренно сжатых и внецентренно растянутых элементов в условии (218) момент М заменяется значением M_r, определяемым согласно п. 4.2; при этом r определяется по формуле (219).

4.23 (4.20). Для участков элементов, имеющих начальные трещины в сжатой зоне (см. п. 4.5), величина s_sp в условии (217) умножается на коэффициент q, а величина Р₂ в условии (218) умножается на коэффициент, равный 1,1q, но не более 1,0, где значения q определяются согласно указаниям п. 4.6.

Расчет по закрытию трещин, наклонных к продольной оси элемента 4.24 (4.21). Для обеспечения надежного закрытия трещин, наклонных к продольной оси элемента, оба главных напряжения в бетоне, определяемые, согласно указаниям п. 4.9, на уровне центра тяжести приведенного сечения при действии постоянных и длительных нагрузок, должны быть сжимающими (т.е. значение s_mt должно быть отрицательным) и по величине не менее 0,5 МПа.

Указанное требование обеспечивается с помощью предварительно напряженной поперечной арматуры (хомутов или отогнутых стержней). В этом случае требуемая величина сжимающего напряжения в бетоне, вызванная влиянием предварительного напряжения поперечной арматуры (см. п. 4.11), определяется по формуле

, (220)

где s_x, t_xy, s_y,loc - принимаются в МПа и определяются, согласно пп. 4.9 - 4.12, на уровне центра тяжести приведенного сечения; при этом напряжения t_xy и s_y,loc определяются от действия постоянных и длительных нагрузок.

Формулу (220) следует использовать при подборе поперечной напрягаемой арматуры лишь в том случае, если при найденной по ней величине s_yp наклонные трещины образуются, т.е. при действии постоянных, длительных и кратковременных нагрузок с g_f > 1,0 не выполняется условие (183). В противном случае значение s_yp может быть снижено таким образом, чтобы обеспечить указанное условие.