Пособие по проектированию стальных конструкций

Формула (49) СНиП РК 5.04-23-2002 для определения коэффициента a получена из условия огра ничения максимальных остаточных деформаций в сечении значением = 3 (где = E/R_y).

В соответствии с требованиями п. 5.22 СНиП РК 5.04-23-2002 допускается принимать значения коэффициента a, соответствующие меньшему огра ничению пластических деформаций < 3 . В этом случае коэффициент a необходимо определять по формуле

a = 1 – 0,167 (48)

Проверку прочности в характерных сечениях не разрезных балок необходимо выполнять согласно требованиям п. 5.22 СНиП РК 5.04-23-2002 с учетом одно временного действия в сечении изгибающего момен та М и поперечной силы Q.

Расчет неразрезных и защемленных стальных двутавровых балок с поперечно-гофрированной стенкой может выполняться с учетом развития пластических деформаций в поясах и выравнивания расчетных опорных и пролетных моментов. При этом для ограничения уровня пластических деформаций поясов следует создавать в этих участках балок зоны равного сопротивления. Методика расчета таких балок изложена в п. 5.2.14 на Примере 2.

5.2.13 (5.23) При изгибе неразрезных балок в двух главных плоскостях коэффициенты перерас пределения изгибающих моментов a необходимо определять в каждой плоскости отдельно с учетом условий и требований, относящихся к балкам, изгибаемым в одной плоскости.

5.2.14 ( 5.22) Рассмотрим примеры расчета нераз резных балок за пределом упругости.

Пример 1. Определить значение коэффициента a для четырехпролетной балки, нагруженной сосредо точенными силами в третях каждого пролета (рис.7,а).

а -схема нагружения и эпюры моментов; б - эпюры мо ментов для свободно опертых балок

Рисунок 7 - Перераспределение изгибающих моментов в нераз резной балке

Наибольший изгибающий момент, определяемый из расчета неразрезной балки в предположении уп ругой работы материала, действует на опоре 1 и его значение равно

М _mах = 0,2856 Pl.

Найдем наибольшее значение изгибающего мо мента M _ef . Изгибающий момент в крайнем пролете, вычисляемый как в свободно опертой балке (рис. 7, б), при а = 0,3333 l равен М₁ = 0,3333 Рl.

По формуле (50) СНиП РК 5.04-23-2002 находим

М _ef = = 0,25 Pl.

Для второй силы в этом пролете при а = 0,6667l получим

М _ef = = 0,2 Pl.

Для промежуточного пролета имеем М₂ = 0,3333 Pl; по формуле (51) СНиП РК 5.04-23-2002 находим M _ef = 0,5 М₂ = 0,3333 Рl / 2 = 0,1667 Рl.

Наибольшее значение М _ef = 0,25 Рl.

По формуле (49) СНиП РК 5.04-23-2002 находим а - значение коэффициента перераспределения моментов

а = 0,5 = 0,9376.

Расчетное значение изгибающего момента М равно

М = a М _mах = 0,9376 × 0,2856 Pl = 0,2678 Pl.

Уменьшение изгибающего момента за счет пере распределения моментов составляет 6,24 %. Эпюра расчетных моментов показана на рис. 7, а сплошной линией.

Пример 2. Определить значение коэффициента а для однопролетной статически неопределимой бал ки (рис.8).

Рисунок 8 - Эпюры моментов в однопролетной стати чески неопределимой балке

Пластические деформации ограничены значением = 2.

Наибольший изгибающий момент в заданной бал ке при упругой работе материала действует в задел ке и его значение равно M _max = 0,125 ql². Наиболь ший изгибающий момент в пролете на расстоянии а = 0,375 l от левой опоры равен М = 0,07031 ql². Изгибающий момент M₁ на расстоянии a = 0,375 l от левой опоры, вычисленный как в однопролетной свободно опертой балке, равен M₁ = 0,1172 ql².

По формуле (50) СНиП РК 5.04-23-2002 находим

M _ef = = 0,08524 ql².

Значение коэффициента a определяем по фор муле (48)

a = 1 - 0,167 × 2 = 0,894.

Расчетное значение изгибающего момента М равно

М = 0,894 × 0,125 ql² = 0,112 ql².

Уменьшение расчетного момента за счет пере распределения моментов составляет 10,6 %. Эпюра расчетных моментов М показана на рис. 8 сплош ной линией.

Пример 3. Для однопролетной статически неопределимой балки (рисунок 8), выполненной из сварного двутавра с поперечно-гофрированной стенкой с целью снижения ее металлоемкости следует выравнять максимальные изгибающие моменты на правой опоре и в пролете.

После возникновения пластического шарнира на правой опоре при изгибающем моменте М _т, расчетная схема балки будет такой, как показано на рисунке 9.

Рисунок 9 - Расчетная схема балки при пластическом шарнире на правой опоре

Реакция на левой опоре R_л = .

Изгибающий момент в пролете на расстоянии х от опоры:

. (49)

Для определения места максимального момента в пролете приравняем нулю первую производную от М_х:

= 0, откуда х_т = . (50)

В сечении с координатой х_т изгибающий момент будет равен aМ_т, причем коэффициент a должен быть меньше единицы для того, чтобы исключить появление второго пластического шарнира в балке. В этом случае максимальный изгибающий момент в пролет определится по формуле

aМ _т = или

a М _т = (51)

Решая (51), определим М_т:

М_т ; = 0

Мт = 0,5qℓ² (1+2a) – 0,5qℓ² . (52)

При a = 0,95 , М_т = 0,5 qℓ²(1+2×0,95- ) = 0,089qℓ² ; х_т = - 0,089ℓ = 0,411ℓ.

Коэффициент a можно принять равным 0,9 , тогда

М_т = 0,5 qℓ² [1+2×0,9- ] = 0,5qℓ² × 0,1847 = 0,09233qℓ².

Расчетный изгибающий момент в заделке балки работающей в упругой стадии М_о = 0,125 qℓ²

Уменьшение расчетного момента за счет пластической работы материала поясов составляет 26,1 %.

Максимальный пролетный момент в этом случае будет равен

М₁ = a М_т = 0,9 × 0,09233 qℓ² = 0,083 qℓ², т.е. на 10 % меньше, чем на правой опоре.

Пластический момент в заделке балки возникнет при нагрузке q₁ = = 0,739 q. Оставшуюся нагрузку 0,261 q будет воспринимать разрезная балка. Угол поворота опорного сечения такой балки от нагрузки равной 0,261 q:

Ө = = 0,2356 = 0,2356 × e_т × , (53)

где h₁ - расстояние между центрами поясов, e_т = - предельные относительные упругие деформации пояса.

Общие пластические деформации одного из поясов (лучше растянутого) балки у правой опоры будут равны:

D_f,пл = Ө × h₁ = 0,2356 × e_т × ℓ. (54)

Для того, чтобы уровень пластических деформаций пояса при статической нагрузке

n = был не более 3, нужно создать в нем зону равного сопротивления длиной

ℓ_зрс = = 0,0785 ℓ у правой опоры.

Например, при ℓ = 12 м. ℓ_зрс = 94,2 см.

Если в обоих поясах балки будут созданы зоны равного сопротивления у правой опоры, то их длина будет в два раза меньше - 47,1 см. На рисунке 10 показана зона равного сопротивления в поясе балки, выполненная путем фрезеровки.

Рисунок 10 - Зона равного сопротивления в поясе балки

Уровень пластических деформаций металла на всей длине зоны равного сопротивления одинаков и составляет не более n = 3.

Если такой зоны не сделать, то уровень пластических деформаций будет во много раз больше, так как они разовьются только на небольшой длине из-за резкого снижения опорного изгибающего момента в соседних сечениях балки.

Из приведенного примера видно насколько эффективней такой конструктивный подход к перераспределению изгибающих моментов в статически неопределимых балках, чем приведенный в Примере 2 Пособия для балки с плоской стенкой.

Гораздо проще и надежней получить тот же результат выравнивания изгибающих моментов в такой балке путем предварительного напряжения с помощью изменения уровня опор. Действительно, если поддомкратить левый конец балки после ее монтажа силой F и зафиксировать его в таком положении с помощью прокладки, то в заделке возникнет изгибающий момент М₁ = F×ℓ и поперечная сила Q = F.

О т нагрузки q на правом конце балки изгибающий момент будет равен: М_q = 0,125 qℓ², а поперечная сила на левой опоре Q_л = qℓ.

В балке предварительно напряженной силой F и загруженной равномерной нагрузкой q изгибающий момент на правом конце будет равен М_о = 0,125 qℓ² - Fℓ, а в пролете:

М_х = .

Приравнивая нулю первую производную найдем максимальный момент в пролете:

qℓ + F – qx = 0; х = ;

М _n,max = .

а - схема нагружения шарнирно-опертого конца балки сосредоточенной силой (предварительное напряжение) и эпюра моментов от этой силы; б - схема нагружения балки равномерно-распределенной нагрузкой; в - эпюра моментов от равномерно-распределенной нагрузки

Рисунок 11 - Эпюры моментов в однопролетной статически неопределимой

предварительно напряженной балке

Если принять, что максимальный изгибающий момент в пролете должен быть не более 0,9 М_о, то можно записать уравнение:

0,9 (0,125 qℓ² - Fℓ) или

Запишем это уравнение в таком виде F² + 2,55 qℓF - 0,084375 q² ℓ² = 0

F = - 1,275 qℓ ± = 1,275 qℓ ± 1,30767 qℓ = 0,03267 qℓ.

M_о = 0,125 qℓ² - 0,03267 qℓ² = 0,09233 qℓ² , т.е. получаем тот же расчетный момент в балке на правой опоре, но при упругой работе материала.

Пример 4. Определить значение коэффициента a для однопролетной балки с обоими защем ленными концами (рис. 12).

Рисунок 12 - Эпюры моментов в однопролетной балке с обоими защемленными концами

Наибольший изгибающий момент в заданной бал ке при упругой работе материала достигается одно временно на опорах и в пролете; его значение равно М _тах = 0,125Рl. Изгибающий момент в середине пролета, вычисленный как в однопролетной сво бодно опертой балке, равен M₃ = 0,25Рl. Согласно п. 5.22 б СНиП РК 5.04-23-2002 имеем a = 1.

В рассматриваемой балке перераспределения из гибающих моментов при работе материала за преде лом упругости не происходит.

5.3 Элементы, подверженные действию осевой силы с изгибом

5.3.1 (5.24, 5.25) Согласно требованиям СНиП РК 5.04-23-2002 расчет на устойчивость элементов при действии осевой силы с изгибом обычно выпол няется с учетом развития пластических деформаций. При этом приближенную формулу (52) СНиП РК 5.04-23-2002 для проверки прочности сечения можно считать предельным условием расчета на устойчивость при l = 0, поэтому при указанных в п. 5.24 СНиП РК 5.04-23-2002 условиях достаточно огра ничиться только проверкой устойчивости по форму ле (55) СНиП РК 5.04-23-2002. В этом случае условия фор мулы (52) СНиП РК 5.04-23-2002, в принципе, должны быть удовлетворены автоматически (рис. 13).

Что касается формулы (53) СНиП РК 5.04-23-2002, то проверка прочности сечения в пределах упругих деформаций может привести к меньшим значениям предельных нагрузок, чем проверка устойчивости по формуле (55) СНиП РК 5.04-23-2002 особенно для ко ротких стержней. Поэтому проверку прочности сечения по формуле (53) СНиП РК 5.04-23-2002 необхо димо выполнять помимо проверки устойчивости с учетом указанных в СНиП РК 5.04-23-2002 условий при менения этой формулы (см. рисунок 13).